1、剛體一章習題解答習題41 如圖所示，X軸沿水平方向，Y軸豎直向下，在t=0時刻將質量為m的質點由a處靜止釋放，讓它自由下落，則在任意時刻t，質點對原點O的力矩；在任意時刻t，質點對原點的角動量。解：作用于質點上的重力為X Y O a b 習題41圖 v=gt 任一時刻t質點 (也是重力的作用點) 的位置矢量為據定義，該重力對原點O點的力矩為任一時刻t質點的動量為據定義，質點對原點O的角動量為衛星 A1 A2 R l1 l2 O 習題42圖 習題42 我國第一顆人造衛星沿橢圓軌道運動，地球的中心O為橢圓的一個焦點(如圖)，已知地球半徑R=6378km，衛星與地面的最近距離l1=439km，與地面

2、的最遠距離l2=238km。若衛星在近地點A1的速度v1=8.1km/s，則衛星在遠地點的速度v2=。解：衛星受到地球引力(有心力)的作用，對地心O的角動量守恒。因此解得 km/s習題43 光滑圓盤面上有一質量為m的物體A，栓在一根穿過圓盤中心光滑小孔的細繩上，如圖所示。開始時，物體距離圓盤中心O的距離為r0，并以角速度繞圓盤中心O作圓周運動，現向下拉繩，當物體A的徑向距離由r0減少到時，向下拉的速度為v，求下拉的過程中拉力所作的功。分析：下拉過程并不是緩慢的，在下拉過程中的任一時刻，物體的速度不是剛好沿半徑為r的切線方向，而是既有切向分量，又有法向分量。另一方面，此題可以考慮用動能定理求拉力

3、的功，這就得先求出物體的末態速度。 習題43圖 A O 解：設在末態物體的速度的切向分量為vt，法向分量為vn(亦為下拉速度)。同時考慮到速度的法向分量vn與矢徑r反平行，其相應的角動量為零，由角動量守恒可得所以，末態速度的切向分量由質點動能定理，下拉的過程中拉力所作的功習題44 質量為m1的粒子A受到第二個粒子B的萬有引力作用，B保持在原點不動。最初，當A離B很遠(r = )時，A具有速度，方向沿圖中所示直線Aa，B與這條直線的垂直距離為D。粒子A由于粒子B的作用而偏離原來的路線，沿著圖中所示的軌道運動，已知這軌道與B之間的最短距離為d，求B的質量mB。 A a D B 習題44圖 d 解：

4、粒子A在粒子B的有心力場中運動，系統的角動量和機械能均守恒。因此，我們可以得到聯立、兩式解得B的質量為習題45 在光滑的水平面上，一根長L=2m的繩子，一端固定于O點，另一端系一質量m=0.5kg的物體，開始時，物體位于位置A，OA間距離d=0.5m，繩子處于松弛狀態。現在使物體以初速度vA=4m/s垂直于OA向右滑動，如圖所示，設以后的運動中物體到達位置B，此時物體速度的方向與繩垂直。則此刻物體對O點角動量的大小LB=，物體速度的大小vB=。解：由質點角動量守恒定律有習題45圖 A B d O 因此，物體在B點時對O點的角動量為物體在B點時的速度為習題46 一質量為m的質點沿著一條空間曲線運

5、動，該曲線在直角坐標系下的定義為：，其中a、b、皆為常數，則此質點所受的對原點的力矩；該質點對原點的角動量。解：依定義，質點的加速度質點受到的力為因此力矩因為所以質點角動量為 習題47 兩個勻質圓盤A和B的密度分別為和，若，但兩圓盤的質量和厚度相同，如兩盤對通過盤心且垂直于盤面的軸的轉動慣量各為JA和JB，則：(A) 。(B) 。(C) 。(D) 、哪個大不能確定。解：圓盤的轉動慣量又因為所以有這樣一來因為已知，因而，故應選擇答案(B)。習題48 如圖所示，A、B為兩個相同的繞著輕繩的定滑輪，A滑輪掛一質量為M的物體，B滑輪受拉力F，而且F=Mg ，設A、B兩滑輪的角加速度分別為和，不計滑輪軸

6、的摩擦，則有：(A) 。(B) 。(C) 。(D) 開始時，以后。A B M F 習題48圖 解：由牛頓定律及轉動定律對A：對B： 從以上各式可解得，顯然所以，應當選擇答案(C)。l m 習題49圖 習題49 一長為l，質量可以忽略的細桿，可繞通過其一端的水平光滑軸在豎直平面內作定軸轉動，在桿的另一端固定著一質量為m的小球，如圖所示。現將桿由水平位置無初速度地釋放，則桿剛被釋放時的角加速度，桿與水平方向夾角為60°時的角加速度。解：細桿對軸的轉動慣量為J=ml2，由轉動定律，當桿剛被釋放時的角加速度為當桿與水平方向夾角為60°時的角加速度為 m A O 習題410圖 習題4

7、10 長為l、質量為M的勻質細桿可繞通過桿的一端O的水平光滑固定軸轉動，轉動慣量為，開始時桿豎直下垂，如圖所示，有一質量為m的子彈以水平速度v0射入桿上A點，并嵌在桿中，OA=，則子彈射入后瞬間桿的角速度。解：子彈射入桿內并嵌在其中，射擊過程系統角動量守恒容易解得 習題411 兩個質量都是100kg的人，站在一質量為200kg、半徑為3m的水平轉臺的直徑兩端，轉臺的固定轉軸通過其中心且垂直于臺面，初始時，轉臺每5s轉動一圈，當這兩個人以相同的快慢走到轉臺中心時，轉臺的角速度。(轉臺對轉軸的轉動慣量，計算時忽略轉臺在轉軸處的摩擦)解：系統角動量守恒式中為系統的初始角速度，其值為所以，當兩個人以相

8、同的快慢走到轉臺中心時，轉臺的角速度為l1 l2 d1 d2 軸題解412圖 習題412 一飛輪由一直徑為30cm、厚度為2.0cm的圓盤和兩個直徑都為10cm、長為8.0cm的共軸圓柱體組成，設飛輪的密度為7.8kgm3，求飛輪對軸的轉動慣量。解：轉動慣量具有可加性，而且圓盤和兩個圓柱體共軸，因此飛輪對軸的轉動慣量為習題413 一燃氣輪機在試車時，燃氣作用在渦輪上的力矩為2.03×103N·m，渦輪的轉動慣量為25kg·m2。當輪的轉速由2.80×103r·min1增大到1.12×104r·min1，所經歷的時間t為多少?

9、 解：根據轉動定律，渦輪的角加速度為再由剛體轉動運動學公式所經歷的時間t為習題414 質量為0.50kg、長為0.40m的均勻細棒，可以繞垂直于棒的一端的水平軸轉動。如將此棒放在水平位置，然后任其落下。求：(1) 當棒轉過60°時的角加速度和角速度；(2) 下落到豎直位置時的動能；(3) 下落到豎直位置時的角速度。mg 題解414圖 m，l O 軸正向解：(1) 當棒轉過時所受的力矩為根據轉動定律，棒的角加速度為當時 根據定義分離變量再積分棒的角速度為當時(2) 下落到豎直位置時的角速度為所以棒的動能為此步還可用機械能守恒定律求得棒的動能：設重力勢能零點在棒原來的水平位置處，則有所以

10、(3) 由(2)可知，下落到豎直位置時 A B C 習題415圖 習題415 如圖所示，A和B兩個飛輪的軸桿在同一中心線上，設兩輪的轉動慣量分別為JA=10kgm2和JB=20kgm2，開始時，A輪轉速為600rev/min，B輪靜止，C為摩擦嚙合器，其轉動慣量可忽略不計，A、B分別與C的兩個組件相連，當C的左右組件嚙合時，B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的速度相等為止，設軸光滑，求：(1) 兩輪嚙合后的轉速；(2) 兩輪各自所受的沖量矩。解：(1) rad/s； 由角動量守恒有解得rad/s=200rev/min(2) 由角動量定理Nms Nms或者 NmsA B L 習題416圖 O x

11、dx 習題416 一勻質細棒長為2L，質量為m，以與棒長方向相垂直的速度v0在光滑水平面內平動時，與前方一固定的光滑支點O發生完全非彈性碰撞，碰撞點位于棒中心的一方L/2處，如圖所示。求棒在碰撞后的瞬時繞O點轉動的角速度。(細棒繞通過其端點且與其垂直的軸的轉動慣量為，式中的m和l分別為棒的質量和長度)解：棒與O點碰撞前后其角動量守恒。但棒碰撞前的角動量須作積分才能求得，為此，我們在棒上距支點O為x處取線元dx ,其元角動量為式中為棒的質量線密度。由此，我們可以得到碰撞前棒的角動量為 碰撞后棒的角動量為式中J為棒對O點的轉動慣量令即解得R M m 習題417圖 習題417 如圖所示，一個質量為m

12、的物體與繞在定滑輪上的繩子相連，繩子質量可以忽略不計，它與定滑輪之間無滑動。假設定滑輪質量為M，半徑為R，其轉動慣量為，滑輪軸光滑。試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時間的關系。解法：對物體m：對定滑輪(圓盤剛體)：由角量與線量的關系 聯立以上三式可得可見，物體下落的加速度是常量。又因為其下落的初速度為零，所以，物體下落速度與時間的關系為解法：把圓盤和物體作為定軸系統，由角動量定理有又因為，由上述關系可以解得習題418 一作定軸轉動的物體，對轉軸的轉動慣量為J=3.0kgm2，角速度，現對物體加一恒定的制動力矩M=12Nm，當物體的角速度減慢到時，物體已轉過了角度。解：物體的角加速度

13、為由于角加速度為恒量，所以滿足公式因此習題419 一定滑輪半徑為0.1m，相對于中心軸的轉動慣量為1×10-3kgm2，一變力F=0.5t(SI)沿切線方向作用在滑輪的邊緣上，如果滑輪最初處于靜止狀態，忽略軸承的摩擦，試求它在1s末的角速度。解：作用于定滑輪上的外力矩為定滑輪的角加速度為因此應用初始條件t=0時，對上式積分所以，定滑輪在1s末的角速度為習題420 電風扇在開啟電源后，經過t1時間達到了額定轉速，此時相應的角速度為，當關閉電源后，經過t2時間風扇停轉。已知風扇轉子的轉動慣量為J，并假定摩擦阻力矩和電機的電磁力矩均為常量，試根據已知推算電機的電磁力矩。解法：設電機的電磁力

14、矩為M，摩擦阻力矩為Mf。由轉動定律，從開啟電源到達到額定轉速的過程中有從關閉電源到風扇停轉的過程中有由剛體運動學公式有聯立以上四式可得電機的電磁力矩為解法：由剛體角動量定理可得聯立以上兩式可得電機的電磁力矩為習題421 轉動慣量為J的圓盤繞一固定軸轉動，角速度為，設它所受阻力矩與角速度成正比，即(k>0)，求圓盤的角速度從變為所需要的時間。解：由轉動定律分離變量并積分解得2m m m，r m，r 習題422圖習題422 一輕繩跨過兩個質量均為m、半徑均為r的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質量為m和2m的重物，如圖所示，繩與滑輪之間無相對滑動，滑輪軸光滑，兩個定滑輪的轉動慣量均為，將

15、由兩個定滑輪以及質量為m和2m的重物組成的系統從靜止釋放，求兩滑輪之間繩內的張力。解：對滑輪和重物分別列式可得2m 2mg T1 T1 T3 T3 T2 T2 m mg 題解422圖 聯立以上五式可求得兩滑輪之間繩內的張力2r m m m 2m r 習題423圖 習題423 質量分別為m和2m、半徑分別為r和2r的兩個均勻圓盤，同軸地粘在一起，可繞通過盤心且垂直于盤面的水平光滑軸轉動，對軸的轉動慣量為，大小圓盤邊緣均繞有繩子，繩子下端都掛有一個質量為m的重物，如圖所示，求盤的角加速度的大小。解：由示力圖可得如下方程mg mg T1 T2 T2 T1 題解423圖 N Mg 2r r 聯立以上五式可解得(俯視圖) m1，l m2 O A 習題424圖 習題424 有一質量為m1、長為l的均勻細棒，靜止平放在滑動摩擦系數為的水平桌面上，它可繞通過其水平端點O且與桌面垂直的光滑固定軸轉動。另有一水平運動的質量為m2的小滑塊，從側面垂直于棒與棒的另一端A相碰撞，設碰撞時間極短，已知小滑塊在