1、第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分習習 題題 課課一、主要內容一、主要內容二、典型例題二、典型例題（一曲線積分與曲面積分（一曲線積分與曲面積分（二各種積分之間的聯系（二各種積分之間的聯系（三場論初步（三場論初步 一、主要內容一、主要內容曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對面積的對面積的曲面積分曲面積分對坐標的對坐標的曲面積分曲面積分對弧長的對弧長的曲線積分曲線積分對坐標的對坐標的曲線積分曲線積分定義定義計算計算定義定義計算計算聯絡聯絡聯絡聯絡（一曲線積分與曲面積分（一曲線積分與曲面積分 曲曲 線線 積積 分分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對坐標的曲線積分定定義義

2、 niiiiLsfdsyxf10),(lim),( LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim10iiiniiiiyQxP 聯聯絡絡dsQPQdyPdxLL)coscos( 計計算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定)( dtQPQdyPdxL),(),(二代一定 (與方向有關)與路徑無關的四個等價命題與路徑無關的四個等價命題條條件件在在單單連連通通開開區區域域D上上),(),(yxQyxP具具有有連連續續的的一一階階偏偏導導數數, ,則則以以下下四四個個命命題題成成立立. . LQdyPdxD與與路路徑徑無無關關內內在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線線, 0)2(Qdy

3、PdxduyxUD 使使內存在內存在在在),()3(xQyPD ,)4(內內在在等等價價命命題題 曲曲 面面 積積 分分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分定定義義 niiiiisfdszyxf10),(lim),( xyiniiiiSRdxdyzyxR)( ),(lim),(10 聯聯絡絡 RdxdyQdzdxPdydz計計 算算一代,二換,三投(與側無關) 一代,二投,三定向 (與側有關) dSRQP)coscoscos( dszyxf),( xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(, dxdyzyxR),( xyDdxdyyxzyxR),(,定積分定積分

4、曲線積分曲線積分重積分重積分曲面積分曲面積分計算計算計算計算計算計算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二各種積分之間的聯系（二各種積分之間的聯系點函數點函數)(,)(lim)(10MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR 時時上區間上區間當當.),()(,2 DdyxfdMfDR 時時上上區區域域當當積分概念的聯系積分概念的聯系定積分定積分二重積分二重積分 dVzyxfdMfR),()(,3 時時上區域上區域當當.),()(,3 dszyxfdMfR 時時上上空空間間曲曲線線當當.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 時時上上曲曲面面當當曲面積

5、分曲面積分曲線積分曲線積分三重積分三重積分.),()(,2 LdsyxfdMfLR 時時上上平平面面曲曲線線當當曲線積分曲線積分計算上的聯系計算上的聯系)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)( ,),(),()()(),(),(2121體元素體元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲線元素線元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影投影線元素線元素 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyx

6、fdxdyzyxR),(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsQPQdyPdxLL)coscos( )(曲曲面元素面元素dS)(投影投影面元素面元素dxdy理論上的聯系理論上的聯系1.定積分與不定積分的聯系定積分與不定積分的聯系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯系二重積分與曲線積分的聯系)()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式3.三重積分與曲面積分的聯系三重積分與曲面積分的聯系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高

7、斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯系曲面積分與曲線積分的聯系 dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式 DLdxdykArotsdA)( DLdxdyAdivdsnA)(Green公式公式,Guass公式公式,Stokes公式之公式之間的關系間的關系 dSnArotdSA)( RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx dvAdivdsnA)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( DLdxdyyPxQQdyPdx)( DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推廣推廣為平面向量場為平面向量場)(MA為空間向量場

8、為空間向量場)(MA梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度環流量環流量zRyQxPAdiv RdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()( RdzQdyPdx散度散度（三場論初步（三場論初步例例 1 1 計計算算 LdyyxdxxyxI)()2(422, ,其其中中L為為由由點點)0 , 0(O到到點點)1 , 1(A的的曲曲線線xy2sin . .思路思路: LQdyPdxIxQyP xQyP 0 LQdyPdxI ),(),(00yxyxQdyPdxI閉合閉合非閉非閉閉合閉合 DdxdyyPxQI)(非閉非閉補充曲線或用公式補充曲線或用公式

9、二、典型例題二、典型例題解解xxyxyyP2)2(2 知知xyxxxQ2)(42 ,xQyP 即即 104102)1(dyydxx故故原原式式.1523 xyo11A dyyxdxxyxI)()2(422由由例例 2 2 計計算算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, ,其其中中L為為由由點點)0 ,(a到到點點)0 , 0(的的上上半半圓圓周周0,22 yaxyx. .解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xQyP 即即( (如下圖如下圖) )xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(0

10、0 medxxaAO, 0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI曲面面積的計算法曲面面積的計算法SDxy),(yxfz xyoz dSS xyDyxdxdyzz221dsyxfSL ),(dxyyxfba 21),(zxoy),(yxfz sLab曲頂柱體的表面積曲頂柱體的表面積 LDyxdsyxfdffS),(122 xzyo),(yxfz LD如圖曲頂柱體，如圖曲頂柱體，例例 3 3 求求柱柱面面13232 yx在在球球面面1222 zyx內內的的側側面面積積. .解解由對稱性由對稱性 LLdsyxzdsS2218, 1:3232 yxL)20(,sin,cos

11、33 ttytx參參數數方方程程為為,cossin3)()(22tdttdtyxdstt tdttttScossin3sincos182066 tdttttcossincossin3242022 2022cossin324tdtt.233 在第四卦限部分的上側在第四卦限部分的上側為平面為平面為連續函數為連續函數其中其中計算計算1,),(,),(),(2),( zyxzyxfdxdyzzyxfdzdxyzyxfdydzxzyxfI例例xyoz111 解解利用兩類曲面積分之間的關系利用兩類曲面積分之間的關系,1 , 1, 1 n的的法法向向量量為為.31cos,31cos,31cos dSzzyx

12、fyzyxfxzyxfI),(31),(231),(31 dSzyx)(31 xyDdxdy3131.21 向量點積法向量點積法 ,1,),(:yxffyxfz 法法向向量量為為設設 RdxdyQdzdxPdydzIdxdyffRQPyx1 , dSnA0, dxdydzdxdydzRQP.1,dxdyffRQPxoyyxDxy 面面投投影影在在將將所所截截部部分分的的外外側側被被平平面面錐錐面面為為其其中中計計算算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzI例例解解,2222yxyfyxxfyx D 利用向量點積法利用向量點積法 21220rdrrd.215 dxdyz2 x

13、yDdxdyyx)(22 dxdyyxyyxxzxyI 1 ,2222241:22 yxDxy例例 6 6 計計算算曲曲面面積積分分yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , ,其其中中 是是由由曲曲線線)31(01 yxyz繞繞y軸軸旋旋轉轉一一周周所所成成的的曲曲面面, ,它它的的法法向向量量與與y軸軸正正向向的的夾夾角角恒恒大大于于2 . .解解22101xzyyxyz 軸軸旋旋轉轉面面方方程程為為繞繞( (如下圖如下圖) )xyzo132 * *I且有且有dxdydzzRyQxP)(* dxdydzyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18

14、(2 欲欲求求 dv 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 xzDxzdydxdz3122 3120202dydd一、一、 選擇題選擇題: :1 1、 設設L為為230,0 yxx, ,則則 Lds4的值為的值為( ).( ). (A) (A)04x， (B) (B),6 (C) (C)06x. .2 2、 設設L為直線為直線0yy 上從點上從點),0(0yA到點到點),3(0yB的的有向直線段有向直線段, ,則則 Ldy2=( ).=( ). (A (A)6; (B) )6; (B) 06y; (C)0.; (C)0.3 3、 若若L是上半橢圓是上半橢

15、圓 ,sin,costbytax取順時針方向取順時針方向, ,則則 Lxdyydx的值為的值為( ).( ). (A (A) )0 0; (B); (B)ab2 ; (C); (C)ab . .測驗題測驗題4 4、設、設),(,),(yxQyxP在單連通區域在單連通區域D內有一階連續內有一階連續 偏導數偏導數, ,則在則在D內與內與 LQdyPdx路徑無關的條件路徑無關的條件 DyxyPxQ ),(,是是( ).( ). (A) (A)充分條件充分條件; (B); (B)必要條件必要條件; (C); (C)充要條件充要條件. .5 5、設、設 為球面為球面1222 zyx, ,1 為其上半球面

16、為其上半球面, ,則則 ( ) ( )式正確式正確. . (A) (A) 12zdszds; ; (B) (B) 12zdxdyzdxdy; ; (C) (C) 1222dxdyzdxdyz. .6 6、若、若 為為)(222yxz 在在xoy面上方部分的曲面面上方部分的曲面 , , 則則 ds等于等于( ).( ). (A) (A) rrdrrd022041 ;(B);(B) 2022041rdrrd ; ; (C)(C) 2022041rdrrd . .7 7、若、若 為球面為球面2222Rzyx 的外側的外側, ,則則 zdxdyyx22等于等于( ).( ). (A) (A) xyDd

17、xdyyxRyx22222; ; (B) (B) 2 2 xyDdxdyyxRyx22222; ; (C) 0(C) 0 . .8 8、曲曲面面積積分分 dxdyz2在在數數值值上上等等于于( ( ) ). .( (A A) ) 向向量量iz2穿穿過過曲曲面面 的的流流量量；( (B B) ) 面面密密度度為為2z的的曲曲面面 的的質質量量；( (C C) ) 向向量量kz2穿穿過過曲曲面面 的的流流量量 . .9 9、設、設 是球面是球面2222Rzyx 的外側的外側, ,xyD是是xoy面面 上的圓域上的圓域222Ryx , ,下述等式正確的是下述等式正確的是( ).( ). (A) (A

18、) xyDdxdyyxRyxzdsyx2222222； (B) (B) xyDdxdyyxdxdyyx)()(2222； (C) (C) xyDdxdyyxRzdxdy2222. .1010、若、若 是空間區域是空間區域 的外表面的外表面, ,下述計算中運用奧下述計算中運用奧- -高高 公式正確的是公式正確的是( ).( ). (A) (A) 外側外側dxdyyzdydzx)2(2 = = dxdydzx)22(； (B) (B) 外側外側zdxdyydzdxxdydzyzx232)( = = dxdydzxx)123(22； (C) (C) 內側內側dxdyyzdydzx)2(2 = = d

19、xdydzx)12(. .二、計算下列各題二、計算下列各題: :1 1、求、求 zds, ,其中其中 為曲線為曲線 ,sin,costzttyttx)0(0tt ；2 2、求、求 Lxxdyyedxyye)2cos()2sin(, ,其中其中L為上為上 半圓周半圓周222)(ayax , ,0 y, ,沿逆時針方向沿逆時針方向 . .三、計算下列各題三、計算下列各題: :1 1、求、求 222zyxds其中其中 是界于平面是界于平面Hzz 及及0 之間的圓柱面之間的圓柱面222Ryx ；2 2、 求求 dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(222， 其中其中 為錐面為錐面)0(22hzyxz 的外側；的外側；3 3、 3222)(zyxzdxdyydzdxxdydz其中其中 為曲面為曲面9)1(16)2(5122 yxz)0( z的上側的上側 . .四、證明四、證明: :22yxydyxdx 在整個在