1、“橢圓得切線方程”教學設計馬鞍山二中 文恫兵一、教學目標知識與技能：1、能根據已知條件求出已知橢圓得切線方程；2、讓學生可以運用研究圓得切線方程得方法類比到橢圓切線方程得研究。過程與方法：嘗試用橢圓得切線方程解決橢圓得切線性質問題。情感態度與價值觀：通過對橢圓得切線方程問題得探究，培養學生勤于思考，勇于探索得學習精神。二、教學重點與難點教學重點：應用特殊化(由特殊到一般)方法解決問題。教學難點：橢圓得切線方程得探究。三、教學流程設計(一)創設情境復習：怎樣定義直線與圓相切？設計意圖：溫故而知新。由前面學習過得直線與圓相切引出直線與橢圓相切。定義做類比 都就是“直線與其有且只有一個交點”來定義相

2、切，從而通過解析法中聯立方程組，消元，元二次方程中得判別式等于零來解決。(二)探究新知 基礎鋪墊： 問題1、已知橢圓與直線只有一個公共點(1) 請您寫出一條直線得方程；(2) 若已知直線得斜率為，求直線得方程；(3) 若已知切點，求直線得方程；(4) 若已知切點，求直線得方程。設計意圖：(1)根據橢圓得特征，可以得到特殊得切線方程如。先由特殊情況過渡到一般情況。切線確定，切點確定。(2) 已知斜率求切線，有兩條，并且關于原點對稱。利用斜截式設直線 元，得到一元二次方程，判別式。切線斜率確定，切線不確定。 已知切點求切線，只有唯一一條。利用點斜式設直線 ，聯立方程組，消元，得到一元二次方 程，判

3、別式。由于切點就是整數點 ，運算簡潔。切點確定，切線確定。可總結由(2)(3)兩道小 題得到求切線方程得一般步驟 ：設直線，聯立方程組，消元，得到一元二次方程，判別式。(4)同(3)得方法，但就是切點不就是整數點，運算麻煩，學生運算有障礙，所以要引出由切點得到橢圓切線得一般方法。問題一般化：猜想:橢圓與直線相切于點，則切線得方程？（橢圓得切線方程得具體求法，詳情請見微課）設計意圖：類比經過圓上一點P（xo,yo）得切線得方程為進行猜想，培養學生合情推理得能 力。由于具體得求解過于繁瑣 ，思想方法同問題 1,所以上課時沒必要花費時間進行求解，做成微課方便學生課后時間自己解決。探究:在橢圓中，有關

4、切線問題，還可以求哪些量？例:已知圓得方程就是X2 + y2 = r2,求經過圓上一點P（xo，yo）得切線得方程。經過圓上一點P（xo，yo）得切線得方程為，且直線0P垂直于切線，所以，1、點與圓設點P（xo，yo），圓則,得一元二次方程，設一元二次方程得根得判別式為點在圓內， 點在圓上， 點在圓外 由圓方程及直線得方程，消去一個未知數，則與圓相交，,若直線與軸、軸分別交于點、與圓相切， 與圓相離 類比到圓中： 已知圓與直線相切于點，且點在第一象限結論(1)過點P得切線方程為；(2)；(可以用極限得思想理解，當橢圓中得時，橢圓圓，所以)(3) 過點P得切線方程為與軸、軸分別交于點 ,所以;(

5、橢圓中也可理解為趨于時，趨于)(4) ,當且僅當時，取“=”由2014年浙江高考題最后一道題2014浙江卷如圖，設橢圓，動直線與橢圓只有一個公共點P,且點P在第一象限、(1) 已知直線得斜率為，用a,b,k表示點P得坐標；(2) 若過原點0得直線I1與I垂直，證明：點P到直線I1得距離得最大值為 a - b、a ba2b2 = 0、如圖,設橢圓，動直線與橢圓只有一個公共點P,且點P在第一象限、聯立消去 y 得(b2+ a2k2)x2 + 2a2kmx+ a2m2-由于I與C只有一個公共點，所以,化簡得(*),解得點P得坐標為a2km-b2 + a2k2b2mb2+ a2k2又點P在第一象限，故

6、，所以點P得坐標為、(2) 設點，且點在第一象限，用點P得坐標表示橢圓得切線方程；解:,則由知,則可設過點P切線得方程為消參得代入得 化為整式(因為點P在橢圓上，所以),兩邊同除以得橢圓得切線方程，與圓得切線方程做類比，形式相仿。所以，過切點得橢圓得切線方程、(3) 連接0P,切線得斜率為，直線得斜率為，求證定值；由中所得得 又因為，所以=定值(與圓得做類比，可以用極限得思想理解，當橢圓中得時，橢圓加強為了圓，所 以)問題2、已知橢圓與直線相切于點，且點在第一象限，若直線與軸、軸分別交于點 ，求線段得最小值。直線得方程設為，則根據兩點間得距離公式可得 代,又因為前面根據直線與橢圓相切已求出 可

7、(*),得1 AB |22m 2 p m k22. 2.2a kb.2 / 2. 2b (a k£）a2 b2 2ab (ab)2,線段得最小值為、 由前面已證過得知 問題3、已知橢圓與直線相切于點，且點在第一象限，若直線與軸、軸分別交于點、若過原點 0得直線11與I垂直交與點D,證明：定值、,取到“=”、下面再繼續討論當且僅當時此時代入得，所以可得到，代入得、取到時得條件。證明：由于過點P得切線方程為，直線與軸、軸分別交于點 由于直線11過原點O且與I垂直,故直線l1得方程為| 辱 xo| a fbV 彳 a4yo21 ky。 xo |前面已證過，代入得|PD| Jk2 1,所以，則x + ky= 0,所以點P到直線11得距離,1 2 .2 . |axoyo bxoyol7 a4 yo2b4Xo21 2 .2 . |a b | Ib42yo定值（c為橢圓得半焦距）問題4、如圖，設橢圓，動直線與橢圓只有一個公共點 線與垂直，證明：點P到直線得距離得最大值為、P,且點P在第一象限、若過原點0得直b2k因為a2k2 + 2>2ab,所以a2 b2a2 b2w = a ba2+ a2k2 + kfQb2+ a2+ 2ab，證明：方法一、由于直線1i過原點0且與I垂直，故直線11得方程為X+ ky= 0,所以點P到直線11得距離 a2k 斗彳 b寸 1