1、第十講：數論之余數問題余數問題是數論知識板塊中另一個內容豐富， 題目難度較大的知識體系，也 是各大杯賽小升初考試必考的奧數知識點，所以學好本講對于學生來說非常重 要。許多孩子都接觸過余數的有關問題， 并有不少孩子說“遇到余數的問題就基本暈菜了！”余數問題主要包括了帶余除法的定義， 三大余數定理（加法余數定理，乘法 余數定理，和同余定理），及中國剩余定理和有關棄九法原理的應用。知識點撥：一、帶余除法的定義及性質：一般地，如果a是整數，b是整數（bM0）,若有a* b=qr，也就是a= bx q+ r,0< rv b;我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里: 當r =0時：我們稱a可以

2、被b整除，q稱為a除以b的商或完全商當r H0時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個完美的帶余除法講解模型可以理解為被除數，現在要求按照 b本一捆打如圖，這是一堆書，共有a本，這個a就包，那么b就是除數的角色，經過打包后共打 包了 c捆，那么這個c就是商，最后還剩余d本，這個d就是余數。這個圖能夠讓學生清晰的明白帶余除法算式中 4個量的關系。并且可以看出余數一定要比除數小。、三大余數定理：1. 余數的加法定理a與b的和除以c的余數，等于a,b分別除以c的余數之和，或這個和除以 c的余數。例如：23，16除以5的余數分別是3和1,所以23+16=39除以5的余數等于4,即兩

3、個余數的和3+1.當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之和再除以c的余數。例如：23, 19除以5的余數分別是3和4,故23+19=42除以5的余數等于 3+4=7除以5的余數，即2.2. 余數的乘法定理a與b的乘積除以c的余數，等于a,b分別除以c的余數的積，或者這個積除以c所得的余數。例如：23, 16除以5的余數分別是3和1,所以23X16除以5的余數等于 3X 1=3。當余數的和比除數大時，所求的余數等于余數之積再除以c的余數。例如：23, 19除以5的余數分別是3和4,所以23X 19除以5的余數等于3X4除以5的余數，即2.3. 同余定理若兩個整數a、b被自然數m除有相同的余數

4、，那么稱a、b對于模m同余,用式子表示為： a= b ( mod m ),同余式讀作：a同余于b,模m由同余的性質，我們可以得到一個非常重左邊的式子叫做同余式。要的推論:若兩個數a, b除以同一個數m得到的余數相同，則a, b的差一定能被m整除用式子表示為：如果有a= b ( mod m )，那么一定有a b= mk,k是整數,即 m|(a b)三、棄九法原理：在公元前9世紀，有個印度數學家名叫花拉子米，寫有一本花拉子米算術， 他們在計算時通常是在一個鋪有沙子的土板上進行，由于害怕以前的計算結果丟 失而經常檢驗加法運算是否正確，他們的檢驗方式是這樣進行的:例如：檢驗算式 1234 +1898

5、+18922 +678967 +178902 =8899231234除以9的余數為11898除以9的余數為818922除以9的余數為4678967除以9的余數為7178902除以9的余數為0這些余數的和除以9的余數為2而等式右邊和除以9的余數為3,那么上面這個算式一定是錯的。上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的余數的加法定理，即如果這個等式是正確的，那么左邊幾個加數除以9的余數的和再除以9的余數一定與等式右邊和除以9的余數相同。而我們在求一個自然數除以9所得的余數時，常常不用去列除法豎式進行計算，只要計算這個自然數的各個位數字之和除以 9的余數就可以了，在算的時候往往就是一個9一個9的找并

6、且劃去，所以這種方法被稱作“棄九法”。所以我們總結出棄九發原理：任何一個整數模9同余于它的各數位上數字之和。以后我們求一個整數被9除的余數，只要先計算這個整數各數位上數字之和，再求這個和被9除的余數即可。利用十進制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數相加，對于檢驗相乘、相除和乘方的結果對不對同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗算式9+9=9時，等式兩邊的除以9的余數都是0,但是顯然算式是錯誤的但是反過來，如果一個算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復雜的算式迷問題。四、中國剩余定理：1.中國古代

7、趣題:中國數學名著孫子算經里有這樣的問題：“今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二，問物幾何？”答曰：“二十三。”此類問題我們可以稱為“物不知其數”類型，又被稱為“韓信點兵”韓信點兵又稱為中國剩余定理，相傳漢高祖劉邦問大將軍韓信統御兵士多少，韓信答說，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人。劉邦茫然而不知其數。我們先考慮下列的問題：假設兵不滿一萬，每 5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，則兵有多少?首先我們先求5、9、13、17之最小公倍數9945 （注：因為5、9、13、17Chin ese如果加上限制條件“滿足上面條件最

8、小的三位自然數”為兩兩互質的整數，故其最小公倍數為這些數的積）,然后再加3,得9948 （人）。孫子算經的作者及確實著作年代均不可考， 不過根據考證，著作年代不會在 晉朝之后，以這個考證來說上面這種問題的解法， 中國人發現得比西方早，所以 這個問題的推廣及其解法，被稱為中國剩余定理。中國剩余定理（Remai nder Theorem）在近代抽象代數學中占有一席非常重要的地位。2.核心思想和方法:對于這一類問題，我們有一套看似繁瑣但是一旦掌握便可一通百通的方法,F面我們就以孫子算經中的問題為例，分析此方法今有物，不知其數，三三數之，剩二，五五數之，剩三，七七數之，剩二, 問物幾何?題目中我們可以

9、知道，一個自然數分別除以3, 5, 7后，得到三個余數分別為2, 3, 2.那么我們首先構造一個數字，使得這個數字除以3余1,并且還是5和7的公倍數。先由5x7 =35，即5和7的最小公倍數出發，先看35除以3余2,不符合 要求，那么就繼續看5和7的“下一個”倍數35沢2 =70是否可以，很顯然70 除以3余1類似的，我們再構造一個除以5余1,同時又是3和7的公倍數的數字，顯 然21可以符合要求。最后再構造除以7余1,同時又是3, 5公倍數的數字，45符合要求，那么所求的自然數可以這樣計算:2X70+3%21+2X45±k3,5,7 = 233 - k3,5,7，其中 k 是從 1

10、開始的自然數。也就是說滿足上述關系的數有無窮多，如果根據實際情況對數的范圍加以限 制，那么我們就能找到所求的數。例如對上面的問題加上限制條件“滿足上面條件最小的自然數”那么我們可以計算2X70 + 3X21 +2X45-2X3,5,7 =23 得至 U所求我們只要對最小的23 加上3,5,7即可，即 23+105=12&例題精講:【模塊一：帶余除法的定義和性質】【例1】（第五屆小學數學報競賽決賽）用某自然數a去除1992，得到商是46, 余數是r，求a和r .【解析】因為1992是a的46倍還多r ,得到1992子46 =4314，得1992 -46 43 14,所以 a =43 ,

11、r =14 .【鞏固】（清華附中小升初分班考試）甲、乙兩數的和是1088 ,甲數除以乙數商11【解析】余32，求甲、乙兩數.（法 1）因為 甲=乙X11+32，所以 甲+乙=乙咒11+ 32 +乙=乙X12 +32 =1088 ；則乙=(108832)+12=88，甲=1088 -乙=1000.（法2）將余數先去掉變成整除性問題，利用倍數關系來做：從 1088中減 掉32以后，1056就應當是乙數的（11 +1）倍，所以得到乙數=1056斗12=88 ,甲數=1088-88 =1000 .【鞏固】一個兩位數除310,余數是37,求這樣的兩位數。【解析】本題為余數問題的基礎題型，需要學生明白一個

12、重要知識點，就是把余 數問題-即“不整除問題”轉化為整除問題。方法為用被除數減去余數, 即得到一個除數的倍數；或者是用被除數加上一個“除數與余數的差”也可以得到一個除數的倍數。本題中310-37=273,說明273是所求余數的倍數，而273=3X 7X13,所求的兩位數約數還要滿足比37大，符合條件的有39, 91.【例2】（ 2003年全國小學數學奧林匹克試題）有兩個自然數相除，商是17，余數是13 ,已知被除數、除數、商與余數之和為2113 ,則被除數是多少?【解析】被除數+除數+商+余數=被除數+除數+ 17+13=2113所以被除數+除數=2083,由于被除數是除數的17倍還多13,則

13、由“和倍問題”可得：除數=(2083-13)-( 17+1) =115,所以被除數=2083-115=1968.【鞏固】用一個自然數去除另一個自然數，商為 40,余數是16.被除數、除數、商、余數的和是933,求這2個自然數各是多少？【解析】本題為帶余除法定義式的基本題型。根據題意設兩個自然數分別為x,y， 可以得到21.【例3】【解析】【鞏固】【解析】【例4】【解析】fx =40y +16+y+40+16=933,解方程組得，即這兩個自然數分別是856,（2000年“祖沖之杯”小學數學邀請賽試題）三個不同的自然數的和為2001，它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數也相同，這三

14、個數是設所得 的商為 a， 除數為 b .(19a + b) + (23a+b)+(31a+b)= 2001，73a+3b =2001，由b 19，可求得a =27， b =10 .所以，這三個數分別是19a+b =523， 23a+b =631， 31a+b =847。（2004年福州市“迎春杯”小學數學競賽試題）一個自然數，除以11時所得到的商和余數是相等的，除以 9時所得到的商是余數的3倍，這個自然數是設這個自然數除以11余a （0蘭a 11），除以9余b（0<bC9），貝U有11a+a=9X3b+b，即3a =7b，只有a =7，b=3，所以這個自然數為127 =84。（1997

15、年我愛數學少年數學夏令營試題）有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人.如果把書全部分給第一組，那么每人 4本,有剩余；每人5本，書不夠.如果把書全分給第二組，那么每人 3本, 有剩余；每人4本，書不夠.問：第二組有多少人？由48斗4 =12，48弓5=9.6知，一組是10或11人.同理可知48弓3=16，48+4=12知，二組是13、14或15人，因為二組比一組多5人，所以二 組只能是15人，一組10人.【鞏固】一個兩位數除以13的商是6,除以11所得的余數是6,求這個兩位數.【解析】因為一個兩位數除以13的商是6,所以這個兩位數一定大于13X6=78 ,并且小于13x（6 +1）

16、=91 ;又因為這個兩位數除以11余6,而78除以11余1，這個兩位數為78 +5 =83 .【模塊二：三大余數定理的應用】【例5】有一個大于1的整數，除45,59,101所得的余數相同，求這個數.【解析】這個題沒有告訴我們，這三個數除以這個數的余數分別是多少，但是由于所得的余數相同，根據同余定理，我們可以得到：這個數一定能整除這三個數中的任意兩數的差，也就是說它是任意兩數差的公約數.101-45 =56 , 59 -45 =14 , (56,14)=14 , 14 的約數有 1,2,7,14，所以這個數可能為2,7,14 0【鞏固】有一個整數，除39,51,147所得的余數都是3,求這個數.

17、【解析】(法 1)393=36 , 1473 =144 , (36,144)=12 , 12 的約數是 1,2,3,4,6,12 ,因為余數為3要小于除數，這個數是4,6,12 ;（法2）由于所得的余數相同，得到這個數一定能整除這三個數中的任意兩數的差，也就是說它是任意兩數差的公約數.51 -39 =12 , 147-39=108 ,(12,108)=12，所以這個數是 4,6,12 .【鞏固】在小于1000的自然數中，分別除以18及33所得余數相同的數有多少 個?（余數可以為0）【解析】我們知道18, 33的最小公倍數為18 , 33=198，所以每198個數一次.1198之間只有1, 2,

18、 3,，17, 198（余0）這18個數除以18及33所得的余數相同，而999- 198=59,所以共有5 X 18+9=99個這樣的數.【鞏固】（2008年仁華考題）一個三位數除以17和19都有余數，并且除以17后所得的商與余數的和等于它除以 19后所得到的商與余數的和.那么這樣的三位數中最大數是多少，最小數是多少?【解析】設這個三位數為s，它除以17和19的商分別為a和b，余數分別為m和n，貝U s =17a +m =19b +n .根據題意可知 a+m = b + n，所以 s(a+m) = s- b + n)，即 16a = 18b，得8a=9b .所以a是9的倍數，b是8的倍數.此時

19、，由a+m=b+n知A81n-m =a -b =a a =99由于s為三位數，最小為 100，最大為999,所以100蘭17a+m蘭999，而1 <m 06，所以 17a+1 <17a+m <999， 100 <17a+m <17a+16，得至U 5<a<58，而 a是9的倍數，所以a最小為9，最大為54.1當a =54時，n-ma =6，而n <18，所以m蘭12，故此時s最大為917X 54+ 12= 9301當a =9時，n-m =-a =1，由于m >1，所以此時s最小為179+1=154 .9所以這樣的三位數中最大的是 930,最

20、小的是154.【例6】兩位自然數ab與ba除以7都余1,并且a :>b，求abxba .【解析】ab-ba能被7整除，即（10a+b） -（10b+a）=9a-b）能被7整除.所以只能有a-b =7，那么ab可能為92和81，驗算可得當ab=92時，ba =29滿足題目要求，abx ba =92X29 =2668【鞏固】學校新買來118個乒乓球，67個乒乓球拍和33個乒乓球網，如果將這 三種物品平分給每個班級，那么這三種物品剩下的數量相同.請問學校共有多少個班?【解析】所求班級數是除以118,67,33余數相同的數.那么可知該數應該為118 -67 =51 和 67-33 =34的公約數

21、，所求答案為17.【鞏固】（2000年全國小學數學奧林匹克試題）在除13511, 13903及14589時能剩下相同余數的最大整數是【解析】因為 13903-13511 =392,14589 -13903 =686 ,由于13511, 13903, 14589要被同一個數除時，余數相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個數整除.（392,686） =98，所以所求的最大整數是98.【例7】（2003年南京市少年數學智力冬令營試題）2 2003與20032的和除以7的余數是【解析】找規律.用7除2，22，23，24，25，26，的余數分別是2，4，1, 2,4, 1, 2, 4, 1,2的個數是3的

22、倍數時，用7除的余數為1; 2的個數是3的倍數多1時，用7除的余數為2; 2的個數是3的倍數多2時, 用7除的余數為4 .因為22003 =23跡67豐，所以22003除以7余4 .又兩個數的積除以7的余數，與兩個數分別除以7所得余數的積相同.而2003除以7余1,所以20032除以7余1故22003與20032的和除以7的余數是4+1=5 .【鞏固】（2004年南京市少年數學智力冬令營試題 ）在1995, 1998, 2000, 2001,2003中，若其中幾個數的和被9除余7,則將這幾個數歸為一組這樣的數組共有組.【解析】1995, 1998, 2000, 2001, 2003 除以 9

23、的余數依次是 6, 0, 2, 3, 5.因為 2 + 5 =2 +5 + 0=7 , 2 + 5+3 +6 =0 +2+5 +3 + 6 =7 +9 ,所以這樣的數組共有下面 4個：（200Q2003）,（1998,2000,2003）,(2000,2003,2001,1995) , (1998,200020032001,1995).【例8】（2005年全國小學數學奧林匹克試題）有一個整數，用它去除70,110,160所得到的3個余數之和是50,那么這個整數是【解析】（70 +110 +160）-50 =290 , 50子3 =16.2，除數應當是290的大于17小于70的約數，只可能是29

24、和58, 110子58 =1.52 , 52 >50，所以除數不是58.70-29=2.12 , 110-29 =3.23 , 160-29=5.15 , 12 +23 +15 =50 ,所以除數是29【鞏固】（2002年全國小學數學奧林匹克試題）用自然數n去除63, 91, 129得 到的三個余數之和為25,那么n=【解析】n能整除63+91 +129 -25 =258 .因為25子3=8.1，所以n是258大于8的約數.顯然，n不能大于63.符合條件的只有43.【鞏固】號碼分別為101,126,173,193的4個運動員進行乒乓球比賽,規定每兩人比賽的盤數是他們號碼的和被 3除所得的

25、余數.那么打球盤數最多的運動員打了多少盤？【解析】本題可以體現出加法余數定理的巧用。計算 101, 126, 173, 193除以3的余數分別為2, 0, 2, 1。那么任意兩名運動員的比賽盤數只需要用2,0, 2, 1兩兩相加除以3即可。顯然126運動員打5盤是最多的。【例9】（2002年小學生數學報數學邀請賽試題）六名小學生分別帶著14元、17元、18元、21元、26元、37元錢，一起到新華書店購買成語大詞典.一看定價才發現有5個人帶的錢不夠，但是其中甲、乙、丙 3人的錢湊在一起恰好可買 2本，丁、戊2人的錢湊在一起恰好可買1本.這種成語大詞典的定價是元.【解析】六名小學生共帶錢133元.

26、133除以3余1,因為甲、乙、丙、丁、戊的錢恰好能買3本，所以他們五人帶的錢數是 3的倍數，另一人帶的錢除 以3余1.易知，這個錢數只能是37元，所以每本成語大詞典的定價是(14+17 +18 +21 +26)子 3 =32 (元).【鞏固】（2000年全國小學數學奧林匹克試題）商店里有六箱貨物，分別重 15,16, 18, 19, 20, 31千克，兩個顧客買走了其中的五箱.已知一個顧客買的貨物重量是另一個顧客的2倍，那么商店剩下的一箱貨物重量是千克.【解析】兩個顧客買的貨物重量是3的倍數.(15+16+18+19+20+31)(1+2) =119子3=39.2，剩下的一箱貨物重量除以3應當

27、余2,只能是20千克.【例10】求2461咒135x6047+11的余數.【解析】因為 2461 11= 223.8, 13511 =12.3 , 6047 斗11 =549.8，根據同余定理2461X135X6047-11 的余數等于 838-11 的余數，而 8X38=192 ,192子11=17.5，所以 2461X135X6047 +11 的余數為 5.【鞏固】（華羅庚金杯賽模擬試題）求478X296X351除以17的余數.【解析】先求出乘積再求余數，計算量較大.可先分別計算出各因數除以17的余數，再求余數之積除以17的余數.478,296,351除以17的余數分別為2 , 7和11

28、,(2X7X11)+17 =9【鞏固】求31997的最后兩位數.【解析】即考慮31997除以100的余數.由于100 =4X25，由于33 =27除以25余2,所以39除以25余8,310除以25余24,那么320除以25余1;又因為32除以4余1,則3刀除以 4余1;即320 -1能被4和25整除，而4與25互質，所以320 1能被100 整除，即320除以100余1,由于1997 =20x99+17，所以31997除以100的余數即等于317除以100的余數，而 36 =729 除以 100 余 29, 35=243 除以 100余 43 , 317 =(36)2 x 35，所以 317除

29、以100的余數等于29x29x43除以100的余數，而29x29x43 = 36163除以100余63,所以31997除以100余63,即31997的最后兩位數為63.【鞏固】222除以13所得余數是2000個"2"【解析】【鞏固】求14389除以7的余數.【解析】法一:我們發現222222整除13, 2000-6余2,所以答案為22- 13余9。由于143三3（mod7 ） （143被7除余3），所以14389三389 （mod7 ） （ 14389被7除所得余數與389被7除所得余數相等）而 36 =729， 729 三 1 （mod7 ）（ 729 除以 7 的余數為

30、 1），所以 389 三36 X36、討 |)X36'X35 三35 三5(mod7 ).14個故14389除以7的余數為5.法二:計算389被7除所得的余數可以用找規律的方法，規律如下表:31323334353637mod 73264513于是余數以6為周期變化.所以389三35三5（mod7 ）.【鞏固】（2007年實驗中學考題）12 +22 +32 +111+20012 +2002除以7的余數是多少？【解析】由于 12 +22 + 32+山+ 20012+ 2002=4005 10012003 1,33而61001是7的倍數，所以這個乘積也是7的倍數，故12 +22 +32 +1

31、11 +20012 +20022 除以 7 的余數是 0；【鞏固】30 +3031 ）被13除所得的余數是多少?【解析】31被13除所得的余數為5,當n取1, 2, 3,時5n被13除所得余數分別是5, 12, 8, 1, 5, 12, 8, 1以4為周期循環出現，所以530被13除的余數與52被13除的余數相同，余12,則3130除以13的余數為12;30被13除所得的余數是4,當n取1, 2, 3,時，4n被13除所得的 余數分別是4, 3, 12, 9, 10, 1, 4, 3, 12, 9, 10,以6為周期循環出現，所以431被13除所得的余數等于41被13除所得的余數，即4, 故3

32、031除以13的余數為4;所以（3130 +3031 ）被13除所得的余數是12+4-13=3 .【鞏固】（2008年奧數網杯）已知a =20082008|丄|-2008，問：a除以13所得的余數是2008個2008多少?【解析】2008 除以 13余 6,10000除以 13余 3,注意到 20082008 =2008"0000+2008 ；200820082008 =20082008X10000 +2008 ;2008200820082008 =200820082008X10000 +2008 ;根據這樣的遞推規律求出余數的變化規律:20082008 除以 13 余 6咒3+6-

33、13=11 , 200820082008 除以 13 余11X3+6-39 =0，即 200820082008是 13 的倍數.而2008除以3余1,所以a =2008?008丄|如08除以13的余數與2008除以132008個2008的余數相同，為6.【鞏固】除以41的余數是多少?199&個 7【解析】找規律： 7- 4 77+41=”36 ,777 + 41= “”39【鞏固】【解析】字,7777 +41 =“28 ,77777弓41 =0 , ，所以77777是41的倍數，而19965=399川1 ,所以77尹可以分成399段77777和1個7組成，那么它除以41的余1996個

34、7數為7.11 +22 +33 +44 +111111 +20052005除以10所得的余數為多少?求結果除以10的余數即求其個位數字.從1到2005這2005個數的個位數字是10個一循環的，而對一個數的幕方的個位數，我們知道它總是4個一循環的，因此把所有加數的個位數按每 20個（20是4和10的最小 公倍數）一組，則不同組中對應的個位數字應該是一樣的.首先計算11 +22 +33 +44 +1川1) +2O20的個位數字，為 1 +4 +7 +6 +5 +6 +3 +6 +9 +0 +1 +6 +3 +6 +5 +6 +7 + 4 + 9 +0 =94 的個位數為4,由于2005個加數共可分

35、成100組另5個數，100組的個位數字和是4X100 =400 的個位數即 0,另外 5個數為 20012001、20022002、20032003、20042004、20052005 ,它們和的個位數字是1+4+7+6+5=23的個位數3 ,所以原式的個位數字是3,即除以10的余數是3.【例11】求所有的質數P,使得4p2 +1與6p2十1也是質數.【解析】如果p=5,則4p2+1=101 , 6p2+1=151都是質數，所以5符合題意.如果P不等于5,那么P除以5的余數為1、2、3或者4, p2除以5的余數即等于12、22、32或者42除以5的余數，即1、4、9或者16除以5的余數，只有1

36、和4兩種情況.如果p2除以5的余數為1,那么4p2+1除以5的余數等于43+1=5除以5的余數，為0,即此時4p2+1被5整除,而4p2+1大于5,所以此時4p2+1不是質數；如果p2除以5的余數為4,同理可知6p2+1不是質數，所以P不等于5, 4p2+1與6p2+1至少有一個不是質數，所以只有p=5滿足條件.【鞏固】在圖表的第二行中，因數的乘積除以11因數89909192939495969798因數恰好填上8998這十個數，使得每一豎列上下兩個所得的余數都是3.【解析】因為兩個數的乘積除以11的余數，等于兩個數分別除以11的余數之 積.因此原題中的8998 可以改換為110，這樣上下兩數的

37、乘積除以11余3就容易計算了 .我 們得到下面的結果:答案是:因數89909192939495969798因數37195621048進而得到本題的因8999999999數9012345678因9989999999數1597340826試題)3個三位數乘積的算式abcbcax cab =234235286【鞏固】(2000年“華杯賽”(其中a Ab Ac)，在校對時，發現右邊的積的數字順序出現錯誤，但是知道最后一位6是正確的，問原式中的abc是多少?【解析】234235286 三2 +3 +4 +2 +3 +5 +2 +8 +6 三8(mod9)3abcxbcacab 三(a+b+ c) (mo

38、d9)，于是(a +b + c)3 三8(mod9)，從而(用 a +b +c 三0,1,2,.,8(mod9)代入上式檢驗)a+b+c 三2,5,8(mod9)(1)，對 a 進行討論:如果a =9，那么b+c三2,5,8(mod 9)，又caxb的個位數字是6，所以bxc的個位數字為4，bxc可能為4X1、7X2、83、6咒4，其中只有(b,c) =(4,1),(8,3)符合，經檢驗只有983咒839咒398 =328245326 符合題意.如果a =8，那么b+c三3,6,0(mod9)，又b"的個位數字為2或7,則bxc可能為 2x1、4x3、6x2、7x6、7x1，其中只有

39、(b,c)=(2,1)符合(3),經檢驗，abC =821不合題意.女口果a =7，那么b+c三4,7,1(mod9)(4)，貝Ubxc可能為4x2、6咒3，其中沒有符合的(b,c).c<4abcxbcax面 <700x600咒500 =210000000 C222334586，因此這時 贏不可能符合題意.綜上所述，abc=983是本題唯一的解.【例12】一個大于1的數去除290, 235, 200時，得余數分別為a，a+2，a+5，則這個自然數是多少?【解析】根據題意可知，這個自然數去除290,233,195時，得到相同的余數(都既然余數相同，我們可以利用余數定理，可知其中任意兩

40、數的差除以這個數肯定余0.那么這個自然數是290233=57的約數，又是233195 =38的約數，因此就是57和38的公約數，因為57和38的公約數只有19和1,而這個數大于1,所以這個自然數是19.【鞏固】一個大于10的自然數去除90、164后所得的兩個余數的和等于這個自然數去除220后所得的余數，則這個自然數是多少?【解析】這個自然數去除90、164后所得的兩個余數的和等于這個自然數去除90+164 =254后所得的余數，所以254和220除以這個自然數后所得的余 數相同，因此這個自然數是254-220 =34的約數，又大于10,這個自然 數只能是17或者是34.如果這個數是34,那么它

41、去除90、164、220后所得的余數分別是22、28、16,不符合題目條件；如果這個數是 17, 那么他去除90、164、220后所得的余數分別是5、11、16,符合題目條件，所以這個自然數是17.【例13】甲、乙、丙三數分別為603, 939, 393.某數A除甲數所得余數是A除乙數所得余數的2倍，A除乙數所得余數是A除丙數所得余數的2倍求A等于多少?【解析】根據題意，這三個數除以A都有余數，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來:603A=KiHIH|ri 939 子 A =心 H |川心 393-由于1=22 ,2=23，要消去余數1,2,3,我們只能先把余數處理成相同的，再兩數相減.這樣

42、我們先把第二個式子乘以2,使得被除數和余數都擴大2倍，同理,第三個式子乘以4.于是我們可以得到下面的式子：603-A=K1HH|r1 （939X2廣A =2呵|山22 （393X4尸A =2&仙1|43這樣余數就處理成相同的.最后兩兩相減消去余數，意味著能被A整除.939X2603 =1275 , 393X4 603 =969 , (1275,969 ) = 51 =3X17 .51的約數有1、3、17、51，其中1、3顯然不滿足，檢驗17和51可知17滿足，所以A等于17.【鞏固】一個自然數除429、791、500所得的余數分別是a中5、2a、a，求這個自然數和a的值.【解析】將這些

43、數轉化成被該自然數除后余數為2a的數：（429-52 =848，791、500咒2 =1000，這樣這些數被這個自然數除所得的余數都是2a，故同余.將這三個數相減，得到848 -791 =57、1000 -848 =152 ,所求的自然數一定 是57和152的公約數，而（57,152 ）=19，所以這個自然數是19的約數，顯然1是不符合條件的，那么只能是19.經過驗證，當這個自然數是19時, 除429、791、500所得的余數分別為11、12、6 , a =6時成立,所以這個自然數是19 , a =6.【模塊三：余數綜合應用】【例14】著名的裴波那契數列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、

44、21這串數列當中第2008個數除以3所得的余數為多少?【解析】【鞏固】斐波那契數列的構成規則是從第三個數起每一個數都等于它前面兩個數的和，由此可以根據余數定理將裴波那契數列轉換為被3除所得余數的數列:1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第九項和第十項連續兩個是1,與第一項和第二項的值相同且位置連續, 所以裴波那契數列被3除的余數每8個一個周期循環出現，由于 2008除以8的余數為0,所以第2008項被3除所得的余數為第8項被3除所 得的余數，為0.（2009年走美初賽六年級）有一串數：1, 1, 2, 3, 5, 8,，從第 三個數起，每個數都是前兩個數之和，在這串數的前2009個數

45、中，有【解析】由于兩個數的和除以5的余數等于這兩個數除以5的余數之和再除以5的余數.所以這串數除以5的余數分別為：1, 1, 2, 3,0, 3, 3, 1, 4, 0, 4,4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 0,可以發現這串余數中，每20個數為一個循環，且一個循環中，每5個數中第五個數是5幾個是5的倍數?的倍數.由于2009子5=401川4，所以前2009個數中，有401個是5的倍 數.【例15】（圣彼得堡數學奧林匹克試題）托瑪想了一個正整數，并且求出了它分別除以3、6和9的余數.現知這三余數的和是 15.試求該數除以18的余數.【解析】除以3、6

46、和9的余數分別不超過2, 5, 8,所以這三個余數的和永遠不超過 2+5 + 8=15, 既然它們的和等于15,所以這三個余數分別就是 2, 5, &所以該數加1后能被3, 6, 9整除，而3,6,9 =18，設該數為a，則a=18m_1，即a=18（m_1）+17 （ m為非零自然數），所以它除以18的余數只能為17.【鞏固】（2005年香港圣公會小學數學奧林匹克試題）一個家庭，有父、母、兄、妹四人，他們任意三人的歲數之和都是3的整數倍，每人的歲數都是一個質數，四人歲數之和是100,父親歲數最大，問：母親是多少歲 ？【解析】從任意三人歲數之和是3的倍數,100除以3余1,就知四個歲數

47、都是3k+1型的數，又是質數.只有7, 13, 19, 31, 37, 43,就容易看出：父 歲，母37歲，兄13歲，妹7歲.43【例16】（華杯賽試題）如圖，在一個圓圈上有幾十個孔（不到100 個）,小明像玩跳棋那樣，從A孔出發沿著逆時針方向，每隔幾孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔他先試著每隔2孔跳一步，結果只能跳 到B孔.他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到 B孔.最后他每隔孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道這個圓圈上共有多少個孔嗎【解析】設想圓圈上的孔已按下面方式編了號：A孔編號為1,然后沿逆時針方向順次編號為2, 3, 4,，B孔的編號就是圓圈上的孔數.我們先看每隔2孔跳一步時，小明跳在

48、哪些孔上？很容易看出應在1, 4,7, 10,上，也就是說，小明跳到的孔上的編號是3的倍數加1 按題意,小明最后跳到B孔，因此總孔數是3的倍數加1.同樣道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味著總孔數是5的倍數 加1;而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味著總孔數是7的倍數.如果將孔數減1,那么得數既是3的倍數也是5的倍數，因而是15的倍數.這個15的倍數加上1就等于孔數，設孔數為a ,則a=15m州（m為非零自然數）而且a能被7整除.注意15被7除余1,所以15X6被7除余6, 15的6倍加1正好被7整除我們還可以看出,15的其他（小于的7）倍數加1都不能被7整除，而15X7=105已經大于

49、100. 7以上的倍數都不必考慮，因此，總孔數只能是15X6+1=91.【解析】【鞏固】【解析】通過逐次計算，可以求出3n被11除的余數,【鞏固】（ 1997年全國小學數學奧林匹克試題 ）將12345678910111213依次寫到第1997個數字，組成一個1997位數，那么此數除以9的余數是【解析】本題第一步是要求出第1997個數字是什么，再對數字求和.19共有9個數字，1099共有90個兩位數，共有數字：90x2 =180 （個）,100999共900個三位數，共有數字：900x3 =2700 （個）,所以數連續寫, 不會寫到 999,從100開始是3位數，每三個數字表示一個數，（1997

50、 9 -180）子3 =6022 ,即有602個三位數，第603個三位數只寫了它的百位和十位.從100開始的第602個三位數是701，第603個三位 數是9,其中2未寫出來.因為連續9個自然數之和能被9整除，所以 排列起來的9個自然數也能被 9整除，702個數能分成的組數是:702子9 = 78 （組），依次排列后，它仍然能被 9整除，但702中2未寫出 來，所以余數為9-2=7 .【例17】設2n+1是質數，證明：12 , 22 ,，n2被2n+1除所得的余數各不相同.假設有兩個數a、b , （1蘭b<a<n），它們的平方a2 , b2被2n+1除余數相同.那么，由 同余定理得

51、a -b =0(mod(2 n+1)，即(a - b)(a+ b)三 0( mod( r2 1)由于 2n+1 是質數，所以 a+b 三0(mod(2 n+1)或 a-b 三0(mod(2 n+1)，由于 a+b， a-b均小于2n+1且大于 0,可知，a+b與2n+1互質，a-b也與2n+1互質，即a+b , a-b都不能被2n+1整除，產生矛盾，所以假設不成立，原題得證.試求不大于100,且使3n+7n+4能被11整除的所有自然數n的和.依次為：31為3，32為9，33為5， 34為4，35為1，因而3n被11除的余數5個構成一個周期：3, 9, 5, 4，1, 3, 9, 5, 4,1,；類似地，