1、第四章平面波討論髙斯波束的平面波展開， 4.9 證明電磁波沿某一方向傳播可與特定參數(shù)傳輸線上電 電流波的傳播等效，即電磁波傳播的傳輸線模型。4.1波方程研究在均勻介質(zhì)中平面波的傳播及其主要本章從麥克斯韋方程及物質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系出發(fā)， 特征。首先討論線性、均勻、各向同性介質(zhì)中均勻平面波的傳播，再推廣到各向異性介質(zhì)中 的情況。 比平面波更復(fù)雜的電磁波也可用平面波展開， 本章對此也作了討論。 最后討論平面 波傳播的傳輸線模型，為以后用傳輸線模型求解復(fù)雜的場問題打下基礎(chǔ)。4.1 得出電場強(qiáng)度 E 與磁場強(qiáng)度 H 滿足的波方程， 4.2 從波方程得到簡單介質(zhì)中的平面 波解， 4.3、 4.4 討論平面波的極

2、化特性以及平面波在有耗介質(zhì)中的傳播，4.5 介紹色散與群速的基本概念， 4.6 與 4.7 分別研究電各向異性介質(zhì)和磁各向異性介質(zhì)中平面波的傳播特征。 4.8 壓、3.4 已分析過，麥克斯韋方程組中兩個旋度方程是獨立的。在兩個旋度方程中電場強(qiáng)度E 與磁場強(qiáng)度 H 耦合在一起。從解方程角度看，先要將E 跟 H “去耦”，即從兩個旋度方程消去H (或E),然后得到只關(guān)于 E (或H )的方程。本節(jié)討論無源、 簡單介質(zhì)中麥克斯韋方程的解， 所謂無源， 就是指所研究的區(qū)域內(nèi)不存 在產(chǎn)生電磁場的源 J與V。對于簡單介質(zhì)，、是常量。在這種特定情況下，將物質(zhì)的本構(gòu) 關(guān)系( 3.4.1)、( 3.4.2)代入

3、麥克斯韋方程( 3.2.8) ( 3.2.11)，得到E =- j H(4.1.1)H = j E( 4.1.2)E = 0(4.1.3)H = 0(4.1.4)E 或 H 的方程，對式( 4.1.1)取旋度，并將式( 4.1.2)代入，式( 4.1.1)、(4.1.2)兩個方程中，只有 E 和 H 兩個獨立的場量，但 E 和 H 耦合在一起。為 了從這兩個方程得到只關(guān)于 得到2H j j E 2 E利用恒等關(guān)系為E 0 ，所以上式成2E2E ，而根據(jù)式( 4.1.3)，2E同樣對式( 4.1.2)系，得到2E0取旋度，將式(4.1.5)4.1.1)代入，并利用式( 4.1.4)及上面的矢量運

4、算恒等關(guān)2H2H0式( 4.1.5)、( 4.1.6 )可合并寫成E0Hk2式中k24.1.6)4.1.7)4.1.8)在自由空間或真空中，2 2k。0 0（ 4.1.9）式（4.1.5）、（4.1.6）或（4.1.7）叫做無源簡單介質(zhì)中的波方程，在這個方程中E跟H不再耦合在一起。kJ 叫做傳播常數(shù)，其物理意義以后會深入討論。式（4.1.7）在形式上與傳輸線上電壓 V電流I滿足的波方程類似。（V、I）是標(biāo)量，而（E、H ）是矢量，所以 式（4.1.7）叫做矢量波方程。0，= 0， k記作 k04.2 平面電磁波要從無源、簡單介質(zhì)中 E和H滿足的波方程得到具體電磁問題的解，還要給出特定的 邊界條

5、件。本節(jié)研究邊界趨于無窮遠(yuǎn)的情況。傳輸線理論告訴我們，線上只有入射波，沒有反射波。由此可推論，在邊界趨于無窮遠(yuǎn)的情況下， 在從無窮遠(yuǎn)反射回來的波。在直角坐標(biāo)系中E、H可表示為E趨于無窮遠(yuǎn)的均勻傳輸均勻介質(zhì)中不存x,y, zEx x, y,z x。Ey x, y, z y。x, y,zHx X, y,zx0H y x, y, z y0E、H表達(dá)式代入波方程(4.1.7)22 Ex x, y,zx0 Ey x, y,z y。kH x x, y,z x0 H y x, y,z y要使上式成立，只有等式左邊每個分量都等于零，即Ex x,y,z2 2k ) Ey x,y,z 0Ez x, y,z將上述H

6、 x x,y,z2 2k ) Hy x,y,z 0 H z x,y, z 的求解歸結(jié)為解標(biāo)量波方程 2 k2) x, y,z 0所以對式（4.2.3）（式（4.2.5）可用熟知的分離變量法求解。設(shè)將式（4.2.6）代入式（2rxx,y,zX(x) Y(y)Z(z)4.2.5)2得到2Ez x, y,z Z0H z x, y,z z0Ez x, y, z zoH z x, y,z z0（x, y, z）可分離成:茫 k2）x（x）Y（y）Z（z）0X(x Y(y)Z(z)2xy等式兩邊除以X(x)Y(y)Z(z)得到2 2Y(y)X(x)Z(z) ZX(x) Y(y)z(4.2.1)(4.2.2

7、)(4.2.3)(4.2.4a)(4.2.4b)(4.2.5)(4.2.6)k2X(x) Y(y)Z(z) 02X(x)2XX(x)2(Y)2 yY(y)等式左邊第一、二、三項分別只是2Z2z k2Z(z)X、y、z的函數(shù),(427)要使它們加起來為常數(shù)"k2，只能是每一項都等于某一待定常數(shù)2d X(x) dx2 d2Y (y) dy2 d2Z(z) dz2 k2kx, k：, k；，即2kxX(x)k2Y (y)k；Z(z)以及1 2. 2kykzk22(4.2.8a)(4.2.8b)(4.2.8c)(4.2.9)式(4.2.8a、b、c)的解分別為7 I 、jkxXX (x) e

8、Y(y)e jkyyZ(z)e jkzze - x等表示沿x方向傳播到無窮遠(yuǎn)的波， 波，因為假定邊界趨于無窮遠(yuǎn)，不存在反射波， 根據(jù)式(4.2.6),可得(x. y.z)ek kxX0 kyy0 kzZ0叭x等表示沿j(kxx kyy式中另一個解ejk這個解可以不予考慮。x等表示逆x方向由無窮遠(yuǎn)傳播來的kzz)e jkr(4.2.10)(4.2.11)r XX0 yy。 zz。k叫做波矢，其絕對值 k叫做傳播常數(shù), 所以電場E和磁場叫做介質(zhì)的色散方程。k2滿足的方程(4.2.9)H在均勻介質(zhì)中每一分量的解為Ei (x,y, z) E0iejkr, i x, y,z ,Hi(x, y,z) H0

9、ie jkr, iX, y,z步得到E(r) E(x,y,z) XoEoxejkr y0E0ye jkrz0E0ze jkrE0e jkr(4.2.12)式中E 0E0xX0E0yy 0E0zz0(4.2.13)同理H(r) H(x, y, z) He jk r(4.2.14)式中H 0H 0xX0H 0yy 0H 0zz0(4.2.15)計及時間因子ej t后，其解為E(r,t) E0ej( t k r)(4.2.16)H(r,t) H0ej(tkr)(4.2.17)進(jìn)這里我們省略了取實部的運算符號Re,以后遇到類似情況不再特別說明。從形式上看式(4.2.12)、( 4.2.14)表示電場E

10、和磁場H的解是一個常數(shù)矢量E0、H0與一個指數(shù)函數(shù)e氷"的乘積。即方向由常數(shù)矢量E0、H0決定，大小由標(biāo)量函數(shù)e jkr決定。這個解我們以后把它叫做平面波。在深入討論其物理意義之前，熟悉對式（4.2.12）、（4.2.14）所表示的場量進(jìn)行散度、旋度運算是十分必要的。E0e jkr 的筆。【例4-1】求場量E解：因為e jk rXoXZoZj kxX kyy kzZ再利用矢量運算恒等關(guān)系Ej kxX。kyy。, jk rjke:1.5.50)、(1.5.51)得到E0e jkr E0kzZ。e jkrkxX kyV kzZ(4.2.18)jkr 匚E0jk E0e jkrE0e jk

11、rjk E0e jkrE0e jkrjk Ee jkrjk E2 E0e(4.2.19)E0jk r波方程的解（4.2.12）、（4.2.14）有豐富的內(nèi)涵：1. E、H、k三者相互垂直，且構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，模將式（4.2.12）、（4.2.14）H0E0ejkr E0(4.2.20)k2E(4.2.21)|E|與|H 之比為一常數(shù)，叫做波阻抗。 代入麥克斯韋方程組中兩個旋度方程可得到k E0-k H0(4.2.22)(4.2.23)0=1, k=k 0引入單位波矢0使得則式（4.2.22 ）、（4.2.23）成為式中H0= Y 0 E0E0 = tZ 0 H0 Z 1Y/k k/(4.2.2

12、4)(4.2.25)(4.2.26)(4.2.27a)(4.2.27b)(4.2.27c)(4.2.28a)(4.2.28b)(4.2.28c)Z、Y叫做均勻介質(zhì)中平面波的本征阻抗或本征導(dǎo)納。本征阻抗也叫波阻抗，習(xí)慣上也用 表示。對于自由空間，波阻抗為 J 0 / 0 = 377 ，習(xí)慣上用0表示。由兩個散度方程E 0, H 0及式（4.2.24）、（4.2.25）還可得到E0 , H0,0三者正交。0 H0=00 E0=0E0 H0=0因此我們可以選擇一個特定的坐標(biāo)系使得Eo = E0X0H0 = H0y0k = kz0在這個特定坐標(biāo)系中，電場、磁場、波矢各只有一個分量。于是式（4.2.12

13、）（ 4.2.14）成為E E0e jkzx0 H H0e jkzy0一般情況下E、H、k各有三個分量。如果我們定義z為縱向，則在這個特定坐標(biāo)系中，電場、磁場都沒有縱向分量。電場、 磁場都沒有縱向分量的場叫做橫電磁模或TEM模。平行雙導(dǎo)線、同軸線中電磁場就屬于 TEM模。2 .電場E和磁場H取平面波形式的解對式（4.2.12）乘ej t再取實部得到電場 E的瞬時表達(dá)式E r,t ReE0ejkrejt E0 cos t k r在前面討論的特定坐標(biāo)系中E0、H0、k如（4.2.28）表示，則上式成為E r,t x0E0 cos t kz式（4.2.32）正是第一章討論過的波動表達(dá)式，它表示沿 波

14、長及等相位點運動速度 Vp為2_T(4.2.29)(4.2.30)(4.2.31)（4.2.32）z方向（也就是k方向）傳播的波,(4.2.33)Vp匸丁廠式（4.2.34）表示波運動的速度等于介質(zhì)中的光速。 真空中0,0，傳播常數(shù)k這時等相位點運動速度1ko=C 3 1080m/s即真空中光速，而波長2_0k。(4.2.36)(4.2.34)y圖4-1與k垂直的等相位面寸 0 0k0，f為波的頻率。參看圖4-1，在與k垂直的平面內(nèi)，影都等于OP，所以在此平面內(nèi)每一點， 也就是說在該平面， 波的相位到處都一樣。r在k上的投 k r都相等， 這就是我們把式（4.2.12）、（ 4.2.14）叫做

15、平面波的原因。而且只要 k是實數(shù)，電場E或磁場H的幅值對于一給定的常數(shù)相 平面是均勻的，一個平面波具有均勻的幅度， 平面波。由上面分析可知，平面波的性質(zhì)主要由波矢叫做均勻定，因為k的方向就是波傳播的方向，波長A 圖4-2平面波，其傳播方向與z軸夾角為等相位點運動速度 Vp /k , E、H、k三者相互垂直構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，等相位面是與 k垂直的平面。平面波是被理想化了的。 點被限制在一個局部的小區(qū)域， 【例4-2】平面波傳播方向與 在什么方向？因為平面波的電場 E，磁場H以及波矢 4-2 , E從紙面出來，H 定平行于紙面且跟 E、H、k三者又構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，所以 U0=Z0Sin -X0C

16、OS 。【例4-3】在r 0、0介質(zhì)中電場E求介質(zhì)的相對介電常數(shù)解：由例如從很遠(yuǎn)的天線輻射來的波嚴(yán)格地說是球面波， 就可近似為一平面波。Z軸夾角為，電場垂直紙面（即 y方向）見圖4-2，問磁場H但如果觀察k三者相互垂直并構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，根據(jù)圖 k垂直，所以H平行于圖H在OB方向，如果4-2的AOB線，此外H的方向為 U0,則k r kz波長相速波阻抗r，等相位面、E的指數(shù)項表達(dá)式可知，X0E0e j2k0z, k。/n,、相速Vp、波阻抗及磁場0 r 02 J 00 =k垂直的等相位面就是與 z軸垂直的平面。23 1086150m2 2 106波長k2k0z，即k與z0方向一致,vPH。2k

17、0，106弧度/秒,所以r = 4，2k2k022k03772j2k0Z0 E1.5 108m/s187.52 L j2koz y0 E0e j0j 0【例4-4】從微波爐泄漏出的微波場在某一點測得其電場強(qiáng)度為 多少？對人體有否危害？解：將式（4212）、（ 4.2.14）代入式（3.6.8）得到時間平均的坡印廷矢量為1 *2ReE H Z02V/m,請問該點功率密度是00 |20代入，得到422W/m20.53MW/cm22 120按美國制定的安全標(biāo)準(zhǔn)，人曝露在微波場中微波功率密度不超過 超過6分鐘，所以上述微波泄漏對人不會有損害。將E0=2以及自由空間的Sz0、10mW/cm2，時間不得4

18、.3極化電磁波的極化（或偏振）描述電磁波運動的空間性質(zhì)。對于時諧電磁場，空間固定點的電場 E隨時間作簡諧變化。波的極化可以用固定點的 電場矢量末端點在與波矢 k垂直的平面內(nèi)投影隨時間運動的軌跡來描述。如果電場矢量末端點運動軌跡是一條直線，這種波叫做線極化波。如果末端點運動軌跡是一圓，叫做圓極化波。如果末端點運動軌跡是一橢圓，就叫做橢圓極化波。太陽光、普通照明光源發(fā)出的光可以是隨幾極化的，這種電磁波叫做非極化波。電磁波也可能是部分極化。極化波與非極化波的混合。將式(4.2.32 )重寫如下E(z,t)E0 cos( t kz)X0在z的任何位置，電場 E矢量末端點軌跡隨時間變化，但總是在Eo,因

19、此式(4.2.32)表示的平面波是線極化波。現(xiàn)在考慮下式表示的平面波E x E e j(kz a) y E e j(kz匚只0匚xmD7 0匚ymD根據(jù)時諧矢量的復(fù)矢量表示的定義，可得Ex(z,t)ReExme j(kz a)ejEy(z,t)ReEyme j(kz b)ej式中Exm, Eym為實數(shù)。為了得到電場矢量平面隨時間變化的軌跡方程，需將式(t-kz)消去得到關(guān)于Ex, Ey的方程。分以下幾種情況部分極化波可以看成是x軸上，最大位移為tt(431)線極化定義如果EyExmCOS( tEym COS( t末端點在x-yE4.3.2a)與(4.3.2b)中b a，那么Ex, Ey滿足的方

20、程為(Em)ExExm(4.3.3)kzkza)b)、 . *-p/(4.3.2a)(4.3.2b)n i/?,U，)的直線。 Exm=取負(fù)號。=的情況見圖4-3。在Ex-Ey平面，這是關(guān)于斜率為(=0取正號,圖4-3線極化圓極化如果先考慮ExEy2=/2，A=1，式Exm COS( tExm Sin( tA弘1Exm(4.3.2)成為kzkza )a)(4.3.4a)(4.3.4b)消去t，得到E2 E2E2x yxm其圖解在Ex-Ey平面這是一個圓，末端點隨時間是順時針轉(zhuǎn)的，所以是圓極化的。 如果用左手順著旋轉(zhuǎn)方向,圓的半徑等于Exm，(4.3.5)注意電場矢量E大姆指就指向Z,故稱左手極

21、化波。當(dāng)=-/2, A=1時，也得到一個圓極化波，但這是右手圓極化波，即當(dāng)右手四指順著矢量端點旋轉(zhuǎn)時，大姆指就是+z的方向。由螺旋天線輻射的右旋圓極化波，其電場矢量末端點運動軌跡見圖4-4。E螺旋天線輻射源TEx如大姆指在z方向，電場沿右手四指方向旋轉(zhuǎn)圖4-4圓極化（右旋）橢圓極化除了線極化和圓極化這兩種特殊情況外，式（ b a的定義可得Ey .Sin aEymEycos aE ym則可消去式中的4.3.1）表示的平面波都是橢圓極化的。由式（4.3.2）及ExmCOSkz sin(4.3.6a)Ex cosExm求以上兩式的平方和，E；EyE2E2E E匚 xm匚 ymi- xmym這是一個橢

22、圓方程，它說明Ex、Ey合成矢量圓極化。橢圓的中心在原點，橢圓內(nèi)切于邊長 以及橢圓的取向角滿足2 b2匚2匚2a bExmEymab Exm E ym sin2ExmEymsin(t kz) sinkz，得到(4.3.6b)2 cosE廠 ExEysin 2(4.3.7)E的端點軌跡為橢圓（圖 4-5）,故稱為橢2Exm、2Eym的矩形。橢圓的長軸 2a、短軸2b(4.3.8a)(4.3.8b)tan 2 cosEimE：m為了預(yù)示電場矢量末端點運動軌跡的形狀與 旋轉(zhuǎn)方向，我們把前面幾種情況都表示在一復(fù)平 面上，在該平面上每一點都對應(yīng)一幅度（見圖4-6），假定復(fù)矢量表示的電場E（XoEx yo

23、Ey）e jkz(4.3.8c)A與相位E為(4.3.9)A和由下式定義Ey/Ex Aej(4.3.10)那么對于線極化波，Ey/Ex在該復(fù)平面對應(yīng)的點就是實軸，該復(fù)平面對應(yīng)的點就是A=1, = /2。進(jìn)一步研究表明，如果左手橢圓極化的，落在下半平面都是右手橢圓極化的。當(dāng)虛軸因為此時電場的 Ex分量可略去。=0或。對于圓極化，在 Ey/Ex落在上半平面，都是 y時，近似為線極化波，【例4-5】當(dāng)Exm Eym, b- a= /2，E由式（4.3.1）表示，求出磁場矢量末端點的運動軌跡。 解：由麥克斯韋方程（4.1.1）以及式（4.3.1）表示的電場，磁場H為Hx0EmejbejkZ y0l2x

24、mejae jkz0所以在時域中磁場分量Hx, Hy為Hx（z,t） 皂sin（ t kz0Exm z 丄 Icos（ t kz0Hy( Z,t)圖4-6a)山$抽或hnCEj/H.)z / / /遇三】'f = it fAjLZ / / Z極化圖波的極化取決于比值 巳，波的傳播方向為Z0Ex（旦）20磁場矢量末端運動軌跡也是一個圓，與式（4.3.4）比較，在kz= a, t=0時，E在x方向，H在y方向，隨時間演變，它們按同樣方向旋轉(zhuǎn)，且永遠(yuǎn)相互垂直，見圖4-7。正確利用極化特性，可提髙通信系統(tǒng)質(zhì)量。調(diào)幅電臺輻射的電磁波其電場垂直于地面平行于天線塔。所以收音機(jī)天線就要安置得與電場方向

25、平行即與地面垂直接收效果才最好。但是對于電視廣播，電場E與地面平行，所以電視機(jī)接收天線就要與地面平行，且對準(zhǔn)電視x發(fā)射臺方向。很多調(diào)頻廣播電臺，波是圓極化的， 接收天線就可任意放置， 只要對準(zhǔn)電視信號發(fā)來的 方向。為了增加特定頻率范圍內(nèi)的通信容量， 某些衛(wèi) 星通信系統(tǒng)利用正交極化的兩個波束， 使通信容量 比單極化通信系統(tǒng)增加一倍。4.4有耗介質(zhì)中的平面波導(dǎo)體是非常重要的一類介質(zhì)，電導(dǎo)率(單位是S/m)是其特征參數(shù)。對于各向同性導(dǎo)體，歐姆 定律為Jc EJc是傳導(dǎo)電流密度。H j計及傳導(dǎo)電流密度后，安培全電流定律的微分形式為D對于各向同性介質(zhì),JcD= E, Jc= E代入安培全電流定律描述的方

26、程，得到j(luò)-)E如果我們定義復(fù)介電常數(shù)(442)那么，復(fù)介電常數(shù)的虛部就表示介質(zhì)電導(dǎo)率的影響，這里我們用 引入復(fù)介電常數(shù)后，麥克斯韋方程為j Hj :E0 0兩邊取旋度并將式(443b)代入，可得到波方程2 -E 0k2)E 02 £匕表示復(fù)介電常數(shù)。EHHE對式(443a)2(443a)(4.4.3b)(443c)(443d)或 (2 式中k2(4.4.4) 其解也是平面波，如在特定坐標(biāo)系下，使得E、H、k都只有一個分量，便得到j(luò)kzE XoEoe(4.4.5a)II/ E。. jkzH y0()e(445b)式中(4.4.6)為導(dǎo)電介質(zhì)的波阻抗。因為匕是復(fù)數(shù)，所以導(dǎo)電介質(zhì)中 k,

27、都是復(fù)數(shù)，定義,1/21.krjki(4.4.7)式中/叫做導(dǎo)電介質(zhì)的損耗正切。以及 I |ej| |、分別為復(fù)數(shù)本征阻抗數(shù)，ki前面取負(fù)號使所得到的解當(dāng)（4.4.5），得到E（4.4.8）的模和相角。kr, ki分別為k的實部和虛部，并假定為正實ki取正實數(shù)時有物理意義。將式（446）、（ 4.4.7）代入式LkiZjkr ZXoEoe i e j r. E。kiZjkrZ jy。一e e eX0Ex(4.4.9)(4410)E的瞬時值為Ev E0e kiZcos( t kr z)(4.4.11)ki奈貝/米（N/m）。如果+Z方向傳播，幅度不斷增加，不符合實際情況，所以dp,當(dāng)kiz=ki

28、dp=1時，按式（4.4.11）場幅度衰減到所以krkiJ （1 廠 -匸2 V)廠(1 j)(4412a)(4412b)因此在電導(dǎo)率很小的介質(zhì)中，波以傳播常數(shù)kr沿正Z方向傳播，其幅度不斷衰減，衰減速率為ki （ N/m），每行進(jìn)dp距離f場衰減到1/e。例4-6設(shè)冰的電導(dǎo)率很小，10-6S/m，3.2解：頻率為1兆赫時的損耗正切為dp0,(4413)求頻率在兆赫范圍內(nèi)的穿透深度。x式（4.4.11 ）表示的波Z方向傳播的速度為v 一 kr隨著波向+Z方向傳播，幅度則按指數(shù)規(guī)律衰減，其衰減速率為 式（4.4.7） ki前面取+號，則隨著波向 ki前應(yīng)取負(fù)號。現(xiàn)在我們定義穿透深度Z=0處的1/

29、e。顯然dp為 dpk-r-j i為復(fù)數(shù)時，虛部i的影響就是使正Z方向傳播的波以上討論表明，當(dāng)介電常數(shù)5 =衰減，故虛部i表示介質(zhì)的損耗。為簡化書寫，以后不再區(qū)分用匕表示的復(fù)介電常數(shù)以及表示的實介電常數(shù)，不管介質(zhì)有耗還是無耗都用表示。下面分幾種情況分析電導(dǎo)率對波傳播的影響。（1）電導(dǎo)率很小的介質(zhì)電導(dǎo)率很小的介質(zhì)，其/ ?1，式（4.4.7）可近似為10 66巨<<1，故可利用式(4.4.13)計算穿透深度21063.2 8.854 10.2廠 2逐 d P 1 6 9.5kmP ¥ 10 6 120這就是說在兆赫頻率范圍，電磁波用于探測冰層厚度是很好的。美國阿波羅登月飛行

30、也利用兆赫范圍頻率電磁波，因在該頻率范圍月球表面電導(dǎo)率也很低，電磁波有較大的穿透深度。對于更高的頻率，由于冰層中含有氣泡， 氣泡中空氣對高頻電磁波產(chǎn)生散射，上面簡單的模型對于更高頻率的電磁波不再適用。(2)電導(dǎo)率很大的介質(zhì)電導(dǎo)率很大的介質(zhì)叫良導(dǎo)體，/ ?1，此時k近似為1/2(4414)k廠1 j1/2 J 刖 j)因此穿透深度為dp(4415)V表示dp很小很小，習(xí)慣上叫做趨膚深度。這就是說對于良導(dǎo)體電磁場主要集中在表面 趨膚深度 厚度的薄層內(nèi)，這種效應(yīng)叫做趨膚效應(yīng)。(3)完純導(dǎo)體 對于完純導(dǎo)體，J E因為，欲保證表面電流有限，趨膚深度0,導(dǎo)體內(nèi)沒有電磁場，此時歐姆定律,對于Au, Ag,

31、Cu, Al等良導(dǎo)體，可被視為完純導(dǎo)體，例如 些金屬在極低溫度下呈超導(dǎo)特性，叫做超導(dǎo)體，超導(dǎo)鉛在2.7 1020S/mo 【例4-7】海水的介電常數(shù)Cu的電導(dǎo)率 =5.8 107S/mo某4.2K對于直流其電導(dǎo)率大于解:=8181=4S/m，=81 0,0- j 0(181 0(181 0(181 0(181 0)j1.78 107) j8.9 102) j8.9)0,50Hz, 1MHz，100MHz三個頻率下海水的復(fù)50Hz1MHz100MHz虛部越大，表示導(dǎo)電性能越好，所以對于頻率低于100MHz電磁波，海水可視作導(dǎo)體。【例4-8】海水的特征參數(shù)同例 4-7, f=1000HZ,水表面電

32、場強(qiáng)度為 1V/m,問50m深處電場 強(qiáng)度多大。解：當(dāng) f=1000Hz,4 361093 12 103 81所以對1000HZ頻率，海水是良導(dǎo)體，可用式（4.4.15）求dpd p1J103410 74所以50m深處場強(qiáng)為e 50/7.97 1V/m 0.00188V/m繼續(xù)例4-8，水表面功率密度是多少？（4.4.9-10）得到S1ReE（e 2kiZej ）Zo2 | |7.97m【例4-9】用式因為j81 8.854 10 12Eo .e cos2| |.4j 2 _10002kiZZoj6.3710 4所以卜r| | =4.43 10-210 7 j6.37 10 44.43 10

33、vr=45在 z=0 處，|E|=1V/m,所以Sz08.006W/m2電磁波在海水中傳播衰減很快，81，平均電導(dǎo)率為4S/m,從式（447）可得衰減常數(shù) 匕為ki/T 1 （）21/4si nGtg1（）2隨著頻率增加，損耗不斷增加，在很高的頻率，式（由例4-8可見, 對介電常數(shù)差不多為這給潛艇間通信帶來了困難。海水的相4.4.12b）適用,kj83.8N/m這個衰減系數(shù)非常大，波每傳播 為使損耗減小，工作頻率必須降低，728dB/m4mm距離，功率就衰減一半。但是，即使f=1kHz，衰減還是較大，按式（447）ki0.126N/m 1.1db/m （1kHz 時）因此，在1kHz頻率，電磁

34、波在海水中傳播100m，其衰減達(dá)到110dB。如應(yīng)用更低的頻率，可傳播的信號速率就很小。【例4-10】為屏蔽電磁波，屏蔽室銅包層厚度要大于 率范圍為10kHz100MHZ，求銅外包層的厚度解：對于 Cu，= 0，= 0，=5.8 107Sm，5.8 107 361094 12 10所以銅是良導(dǎo)體，用式（4415）計算dpd 1d p 47 7V 104410 7 5.8 107所以銅包層厚度要大于 3.3mm。隨頻率升高，趨膚深度減小，3.3mm厚度的Cu包層對于屏蔽10KHz到100MHz電磁波（用當(dāng)5倍趨膚深度，如果要屏蔽的電磁波頻 mm表示）f = 1O4H z,0.66mm是足夠的。牛

35、排的損耗正 損耗很小,用微波加熱食物的原理是多數(shù)食物對于微波為有耗介質(zhì)，微波穿透這些食物時，在食物內(nèi)部的微波損耗就轉(zhuǎn)變?yōu)闊帷Ｌ攸c是升溫速度快， 而且可從食物內(nèi)部熱起來。切很大，所以牛排可用微波烹飪。因為聚乙稀的介電常數(shù)接近自由空間介電常數(shù)，對微波可看作透明，所以這種材料可做加熱食物的容器。牛排的介電常數(shù)近似為=40(1-j0.3) 0,在f=3GHz時，其復(fù)數(shù)波數(shù) k為k 402j59穿透深度dp =1/ki=1.7cm，所以在接近牛排表面0.85cm的范圍內(nèi)，微波功率損耗 63%，尚有37%功率可用于加熱離表面 0.85cm以內(nèi)的牛排。4.5色散與群速，即具有不同的相速度所致。對于理 J ，

36、k與 成正比，相速Vp與頻率 無關(guān)，所以理想介質(zhì)是非色散介質(zhì)。 不成線性關(guān)系，相速 Vp與 有關(guān)，這種介質(zhì)就稱為色散介質(zhì)。對于有損耗介質(zhì)，色散的名稱來源于光學(xué)。當(dāng)一束陽光投射到三棱鏡上時，在棱鏡的另一邊就可看到赤、 橙、黃、綠、藍(lán)、青、紫七色光散開的圖象。這就是光波段電磁波的色散現(xiàn)象，這是由于不 同頻率的光在棱鏡中具有不同的介電系數(shù)(或折射率) 想介質(zhì)，k 如果k與k是耗的。的復(fù)雜函數(shù)，vp與 有關(guān)，所以有耗介質(zhì)一定色散的。 反過來，色散介質(zhì)一定有損引起色散的原因是多方面的，介質(zhì)色散只是其一。 其它原因引起的色散， 本書后面還會討論。當(dāng)信號加到電磁波載體上傳播時，因為任何信號可表示為任一時間函

37、數(shù)，我們總可用傅里葉展開將信號表示為無數(shù)不同頻率正弦波的疊加。如果每個頻率正弦波的相速相同，那么信號傳播一段距離后其合成波形與初始波形不會有變化。如果信號所包含的各頻率分量相速不等，那么信號傳播一段距離后，信號各分量合成的波形將與起始時的波形不同。圖4-8表示矩形脈沖波經(jīng)光纖長距離傳輸后因色散畸變?yōu)橐荤娦尾ǎ饷}沖變寬后有可能使接收端的前后兩個脈沖無法分辨，從而限制光纖傳輸?shù)淖畲蟠a率。./纖芯包層圖4-8光纖色散引起傳輸信號的畸變以E z,t E0COS t kz表示的平面波是在時間、空間上無限延伸的單頻率的電磁波，叫做單色波。單色波不能傳播信息。信號加到電磁波上就不再是單色波。非單色波的傳

38、播與單色波的傳播有什么區(qū)別呢？下面考慮一種最簡單的情況，傳播的信號只含兩個頻率分量，一個比載波c略高，為c+d，另一個比c略低，為c-d，其瞬時表達(dá)式為E(t)E0 cos( c d )t E0 cos( c d )t此信號沿波導(dǎo)傳播z距離后，兩個波的合成為E(z,t) E0cos( c d )t (kzc 上式可寫成更簡潔的形式E(z,t) 2E0 cos(d因此，該信號可看成是一高頻載波cos(dkz)z cos( c d )t 限 dkz)z)t (dkz)zcos( ct kzcz) ct kzz)，其振幅被低頻波 cosd )t (dkz)z調(diào)制，見圖4-9。類似于式(1.4.4)的

39、推導(dǎo)，振幅包絡(luò)的傳播速度為Vg(4.5.1)2E«£cEk r C 屮 r d .圖4-9合成波的振幅被的波所調(diào)制如果有更復(fù)雜的信號波形， 信號中包含更多的頻率分量，假定波導(dǎo)(導(dǎo)引電磁波的結(jié)構(gòu))色散比較小，那么在一個不大的頻率范圍內(nèi)，整個信號包絡(luò)可近似為以Vg速度在傳播。信號包絡(luò)運動的速度才真正表示信號傳播的速度，也就是電磁能流運動的速度，故稱 Vg為波導(dǎo)的群速。利用Vp/kz表達(dá)式，群速可進(jìn)一步表示為Vp1 妝Vp dVg(4.5.2)dvp由式(4.5.2)可見，如果Vp與頻率無關(guān)，即 一 =0，則群速等于相速，vg=vP。對于以 dVP等于vg,且都等于前討論的平行雙

40、導(dǎo)線、同軸線，當(dāng)工作于TEM模時，VP與頻率無關(guān)，傳輸線所在介質(zhì)的光速。是表示兩種不同的色散類型。色散特性k ()在k平面上表示為一條曲線，圖4-10是典型的等離子體的色散曲線。曲線上任一點與原點連線斜率tg P表示該點相速vp，而切線斜率tg g表示該點群速Vg，1p、« 2g的意義亦示于圖4-10中。因為根據(jù)式（3.5.8），對于等離子體，k ¥ 0 0 1 VPP 時，k = 0，時，k/77。對于無色散介質(zhì)，色散曲線是從原點出發(fā)斜率為4.6電各向異性介質(zhì)中平面波4.6.1各向異性介質(zhì)中的并矢表示各向異性介質(zhì)中波傳播特性與波傳播的方向有關(guān)。在電各向異性介質(zhì)中，各向異性

41、介質(zhì)之分。 一般的線性關(guān)系為電場強(qiáng)度各向異性介質(zhì)有電各向異性介質(zhì)與磁 E與電通量密度 D不再平行，E與D的直線。按并矢一次點積的定義式（E因為E (yx ExzxExXX E Xyy Eyzy E yxy E y xz E z)x0 yzEzWo zzE z)z0DxXXxyxzExDyyxyyyzEy(4.6.1)DEzzxzyzz而在磁各向異性介質(zhì)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B與磁場強(qiáng)度H不再平行，其關(guān)系為BHXXxyxz''XByyxyyyzHy(4.6.2)BHzxzyzz'I z式（4.6.1）表示在電各向異性介質(zhì)中，外加電場Ex分量可感應(yīng)Dx、Dy、Dz三個分量，（4.6

42、.2）表示，外加磁場BX分量可感生Hx、Hy、Hz三個分量。余類推。如定義并矢xxX0X0xyX0y 0xzX0z0yxy0X0yyy0y0yzy0z0(4.6.3)zxz0X0zyz0 y 0zzz0z0而式DZZ0EzZo4.6.1 )可簡寫為而 DDxx0 Dyy。 ExX。Eyy。(4.6.4)X、 D y、它的三個分量剛好是式（461）所表示的Dx、Dy、Dz，所以并矢 的元素ij表示Ej分量產(chǎn)生Di分量的比例系數(shù)。 同樣引入并矢xxX oxoxyX oY 0xzx0Z0yxY oX 0yyY oY 0yzYoZo(4.6.5)zxZoXozyZoY 0zzZoZo式（4.6.2）可

43、記為B = H(4.6.6)4.6.2電各向異性介質(zhì)中的波方程及其平面波解電各向異性介質(zhì)中的介電系數(shù)用并矢表示后，麥克斯韋方程為E j H(4.6.7)H j D j - E(4.6.8)D 0(4.6.9)B 0(4.6.10)由此可導(dǎo)出電磁場滿足的矢量波動方程E2 EEk； r E=0(4.6.11)r1H) ko2H0(4.6.12)200r其中 ko，并矢r定義為現(xiàn)在我們假定各向異性介質(zhì)中波方程也取平面波形式的解, 形式的平面波E（r,t）并研究其特性。為此將如下H（r,t）代入波動方程（k2EoEoe jkrHoe jkr4.6.11 )和(4.6.12)，經(jīng)過矢量運算后得k(k E

44、o) ko(4.6.13)(4.6.14)r Eo(4615a)(4615b)k r1（k Ho）kfHo 0這就是平面波復(fù)數(shù)振幅應(yīng)當(dāng)滿足的矢量方程式，而每個矢量方程式可分解為三個直角坐標(biāo)分量方程。矢量波動方程（4615a）和（4.6.15b）的非零解條件所導(dǎo)致的方程式將用于確 定平面波的波數(shù) k作為 的函數(shù)，稱為色散方程。下面針對單軸介質(zhì)導(dǎo)出它們的色散方程。在具體推導(dǎo)并求解色散方程之前，我們先看一下電各向異性介質(zhì)中平面波與各向同性介質(zhì)中平面波有什么異同。為此將平面波解（4.6.13）、（4.6.14）代入麥克斯韋方程中的兩個散度方程（4.6.9）、（ 4.6.1o），得到k D o（ 4.6

45、.16）k B k H o（ 4.6.17）式（4.6.16）、（4.6.17）表明D和B（或H）均與波矢量k垂直。再以平面波解代入H的旋度方程（4.6.8），得D（ 4.6.18）D， H （ B）和k三個矢量是按右手螺旋關(guān)系互相垂直的，但由于介電k H此式進(jìn)一步說明常數(shù)是張量，D與E 般是不平行的。將式（4613）表示的平面波解代入E得E k2 E 蘆 k2E(4.6.19)這里(4.6.19)E是電場垂直于波矢量k方向的分量。式與式（4.6.11）比較，可見D匚E(4620)E的垂直于k的分量E與矢量D平行，E矢 量處于D與k構(gòu)成的平面內(nèi)。電各向異性介質(zhì)中平面波 的電磁場矢量方向與波矢量

46、方向之間的關(guān)系示于圖因此D、E、k平面Ox圖4-11電各向異性介質(zhì)中平面波場矢量與波矢量的關(guān)系4-11。所以，與各向同性介質(zhì)中平面波相比，電各向異性介質(zhì)中不是E， H， k，而是D， H， k三者構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，互相垂直。下面具體討論單軸介質(zhì)中平面電磁波的特性。單軸介質(zhì)的典型代表如石英、方解石，當(dāng)z軸時，其主軸系統(tǒng)中的介電系數(shù)張量可寫作取主對稱軸（在光學(xué)中稱為光軸）為(4.6.21)將上式代入式/(4.6.16)，得到1 丄 kzEz(4.6.22)再將上式代入矢量波動方程（4.6.15a）,分解為直角坐標(biāo)分量方程后的矩陣形式（4.6.15a）可寫成下面k22仝 kxkzE0xk22(1勺k

47、ykzE0y(4.6.23)k；kyk；/E0z方程（4623）有非零解的條件detk22(1仏)kxkzk22(1勺kykz(4.6.24)k；kyk；2/稱為色散方程,容易看出它有兩個解k22(4.6.25)1 2 2 / 2 kxkykz/(4626a)如果設(shè)k在（y）平面內(nèi)， 式可寫成更方便的形式是波矢k與z軸的夾角，則kx=O,ky=ksin，第二個解（4.6.26a）k2(si n2/2 COS )2/(4626b)式（4625）和（4.6.26b）表示在單軸介質(zhì)中可能傳播的兩種平面波，它們具有不同的 物理特征，分別稱為尋常波和非尋常波。4.6.3尋常波與非尋常波1、尋常波(4.6.27)將解（4.6.25）代入矢量波動方程（4.6.23）后可以解出Ez 0代入式（4.6.22），得到k E 0（4.6.28）式（4.6.28）表明波的電場矢量 E沒有平行于波矢量 k的分量，因此 E與D的方向重 合。由于Ez=0，所以E （以及D）與光軸z方向垂直，因此 E及D垂直于k和z軸構(gòu)成的 平面。可見解（4.6.25）式表示的波是相對于傳播方向k的橫電磁波（TEM）,與各向同性介質(zhì)中的平面波性質(zhì)相同，所以稱為尋常波。由式（4.6.25）式容易求出尋常波的相速為Vp嚴(yán)2、非尋常波光軸z和波矢k構(gòu)成的平面（yz平面）稱為主截面。在如此選取的坐標(biāo)