1、、函數、極限、連續重要概念公式定理(一)數列極限的定義與收斂數列的性質數列極限的定義：給定數列天，如果存在常數A,對任給0,存在正整數N,使當nN時，恒有4A，則稱A是數列4的當n趨于無窮時的極限，或稱數列xn收斂于A,記為“m%A若Xn的極限不存在，則稱數列Xn發散.收斂數列的性質：(1)唯一性：若數列Xn收斂，即limXnA,則極限是唯一的.n(2)有界性：若limXnA,則數列Xn有界,即存在M0,使得對n均有XnM.n(3)局部保號性：設limXnA,且A0或A0,則存在正整數N,當nN時，有Xn0或Xn0n(4)若數列“斂于A則它的任何子列也收斂于極限A.(二)函數極限的定義名稱表達

2、式任給存在當時恒有當XX0時，fX以A為極限當X時，fX以A為極限當xX)0時，fX以A為右極限當X%0時，fX以A為左極限當X時，fX以A為極限當X時，fX以A為極限(三)函數極限存在判別法(了解記憶)1.海涅定理：limfxA對任意一串X0xX),n1,2L，都有xX02.充要條件：(1)limf(x)AlimfxlimfxA;XX0XX0XX0(2)limf(x)Alimf(x)limf(x)A.XXX3.柯西準則：limfxA對任意給定的0,存在0,當xX00X1X0,0x2x0時，有fX1fx2.limfxnAn4 .夾逼準則：若存在0,當0xx0時，有(x)f(x)(x)，且lim

3、(x)lim(x)A,xX)xxo則limf(x)A.xxo5 .單調有界準則：若對于任意兩個充分大的x1,x2,xx2，有f為fx2(或fx1fx2，且存在常數M,使fxM(或fxM，則limfx存在.x(四)無窮小量的比較(重點記憶)1 .無窮小量階的定義，設lim(x)0,lim(x)0.(1)若lim()0,則稱(x)是比(x)高階的無窮小量.(x)若lim3，則(x)是比(x)低階的無窮小量.(x)若lim(c(c0),則稱(x)與(x)是同階無窮小量.(x)若lim(x)1,則稱(x)與(x)是等價的無窮小量，記為(x)(x).(x)(5)若limk(x)c(c0),k0,則稱(x

4、)是(x)白k階無窮小量k(x)2 .常用的等價無窮小量(命題重點，歷年必考)當x0時，(五)重要定理(必記內容理解掌握)定理1limf(x)Af(x0)f(x0)A.xx定理2limf(x)Af(x)Aa(x),其中lima(x)0.xx0xx0定理3(保號定理)：設limf(x)A,又A0(或A0),則一個0,當xx0x(%,%)，且x%時，f(x)0(或f(x)0).定理4單調有界準則：單調增加有上界數列必有極限；單調減少有下界數列必有極限.定理5(夾逼定理)：設在先的領域內，恒有(x)f(x)(x)，且lim(x)lim(x)A,則limf(x)A.x0xx0xx0定理6無窮小量的性質

5、：(1)有限個無窮小量的代數和為無窮小量；(2)有限個無窮小量的乘積為無窮小量；(3)無窮小量乘以有界變量為無窮小量.定理7在同一變化趨勢下，無窮大量的倒數為無窮小量；非零的無窮小量的倒數為無窮大量.定理8極限的運算法則：設limfxA,limgxB,則lim(f(x)g(x)AB(2)limf(x)g(x)AB（3）lim fix） - （B 0） g（x） B定理9數列的極限存在，則其子序列的極限一定存在且就等于該數列的極限.定理10初等函數在其定義域的區間內連續.定理11 設f x連續，則f x也連續.（六）重要公式（重點記，卜內容，應考必備）sin x . lim 1x 0 x1(2)

6、 |im(1 x)x e,lim(11)n ne.（通過變量替換，這兩個公式可寫成更加一般的形式：設lim f x 0 ,且 f xsin f x-0 則有 lim 1, lim 1 f x f x e)f x0, n mnn 1.a°xaxLan1xana。(3) lim -mmi -, n m -x b°x>xLbm1xbmb,n m（4）函數f x在x M處連續f x0fx°f x°（5）當x時，以下各函數趨于的速度（6）幾個常用極限lim ex 0,lim ex,lim xx 1.xxx 0（七）連續函數的概念1. f x在x %處連續，需

7、滿足三個條件：f x在點x0的某個領域內有定義f x當xx時的極限存在 lim f x f m lim y lim f & x f m 0.x x0x 0x x02. f x在x0左連續：fx在Xj ,x）內有定義，且lim f xf%x x3. f x在X。右連續：fx在X），X）內有定義，且lim f xfxox xo4. f x在a,b內連續:如果f x在a,b內點點連續.b處左連5.fx在a,b內連續：如果fx在a,b內連續，且左端點xa處右連續，右端點x續.（八）連續函數在閉區間上的性質1.有界性定理：設函數fx在a,b上連續，則fx在a,b上有界，即常數M0,對任意的xa,

8、b，恒有fxM2 .最大最小值定理:設函數f x在a, b上連續，則在a, b上f x至少取得最大值與最小值各一次，即,使得：f max f xa x ba,b ; f min f x , a,ba x b3.介值定理:若函數f x在a, b上連續,是介于f a與f b （或最大值M與最小值m）之間的任一實數，則在a,b上至少一個，使得0,則在a,b內至少 一個，使得4.零點定理：設函數fx在a,b上連續，且fafbf0ab.（九）連續函數有關定理1 .連續函數的四則運算：連續函數的和、差、積、商（分母在連續點處的數值不為零）仍為連續函數.2 .反函數的連續性：單值、單調增加（減少）的連續函數，其反函數在對應區間上也單值、單調增加（減少）且連續.3 .復合函數的連續性：ux在點xo連續，xoU0,而函數yfu在點Uo連續，則復合函數yfx在點x0連續.4 .初等函數的連續性：一切初等函數在其定義區間內是連續函數.（十）間斷點的定義及分類1.定義：若在xxo處，limfx不存在，或f%無定義，或limfxf為，則稱fx在xx0處間xxoxxo斷，x%稱為fx的間斷點.2.間斷點的分類間斷點的類型條件例子第一類間斷點可去型間斷點c日