1、第11章 算法復數推理與證明 第2講A組基礎關1. （2018 榆林模擬)已知復數 Z1= 6 8i , Z2= i ,則一=(Z2A. 8-6i B . 8+6i C . 8+6i D . - 8-6i答案 B8解析Z1Z26-8i=(6 8i)i = 8 + 6i.2. （2019 青島模擬）在復平面內，復數47i -z=7-(i是虛數單位 2 3i），則z的共軻復數z在復平面內對應的點位于（）B.第二象限D.第四象限A.第一象限C.第三象限答案 B4- 7i 47i 2 3i 1326i解析 z=E=n1 2i，其共軻復數 z=1 + 2i對應的點（一1,2）在第二象限.3.（2018

2、河南省天一大聯考）已知復數z=2- 3i ,若z是復數z的共軻復數，則z （ z+ 1)=()B. 15+3iD. 15-3iA. 15- 3iC. 15+3i答案 A解析依題意，z ( z + 1) = (23i)(3 +3i) =6+6i 9i +9=153i.a+ i4. (2019 廣東測試)若z=(a 42)+ai為純虛數，其中 aCR,則一7=()1 + aiA. i B . 1 C.i D.1答案 Ca V2=0，解析:z為純虛數，"，a=42,aw0,a+i7 也-iV2-i1-V2i 3i，1 + ai-1 + /- 1 + /2i1-福 3 - l.故選C.5.已

3、知m為實數，i為虛數單位，若(n2-4)i>0 ,則 9"?=()2 - 2iA. i B . 1 C.i D.1答案 A故 m= 2.n>0,解析 因為( m- 4)i>0 ,所以( m- 4)i是實數，所以 2m-4= 0,所以仔2i2 2i2 + 2i _1 + i2 2i =口i.y6. （2018 成都市第二次診斷性檢測）若虛數（x2）+yi（ x, yCR）的模為J3,則:的最x大值是（）A. -3 B.也 C. 1 D. ；3232-1答案 D解析因為（x 2）+yi是虛數，所以yw。，又因為 |（ x-2） + yi| =，3, 所以（x2）2+y2

4、=3.因為（是復數x + yi對應點的斜率,所以y max= tan / AOB= ® 所以y的最大值為 正 xx7. （2017 全國卷I ）設有下面四個命題：pi:若復數z滿足J C R,則z C R;P2：若復數z滿足z2e R,則zC R;6：若復數 zi, z2滿足 ziz2c R,則 zi = z 2；P4：若復數ze R,則Ee R其中的真命題為（）A. Pi,P3B .pi,P4C .P2,P3D .P2,P4答案 B解析 設 z=a+ bi（a,be R）,zi=ai + bii（ai,bi eR）,z2= %+ 血（a,b2er».對于Pi,若1er,即

5、一二=a2bi2cR,則 b=0 且 awo? z=a+bi = ae r,所以pi為za+bia+b真命題.對于+ bi = bi對于P2,若/ R,P3,若z2CR,即(a+bi)2= a2+2abib2CR,則 ab=0.當 a= 0, bwo 時，z= a 所以P2為假命題.Z1Z2CR,即(a1 + b1i)( 32+ b2i) = (aa2b1b2) + (db2+a2b1)i CR,則 db2 +a2b1 = 0.而Z1= z 2,即b1i=a2b2i? a =a2,b1= b2.因為a1b2+a2b1= 07a1 =a2,b1 =-b2,所以P3為假命題.對于 P4,若 ze

6、R,即 a+bi R,8. （2017 天津高考）已知aC R,則b= 0? z = a bi = a R,所以p4為真命題.故選B.1 4a i一，一i為虛數單位，若干為實數，則a的值為解析 , aa- ia- i2-iR 7='2 i 2 i 2-i2a-1 -a+2 i52a1 a+2i為實數,答案 2a= 2.9. （2018 合肥模擬）設Z2= Z1-iZ1（其中Z1表示Z1的共軻復數），已知Z2的實部是答案解析設 zi= a+ bi , Z2= 1+ ci ,因為Z2=Z1 i Z1 ,所以一1 + ci =(a+bi) i( abi) = (ab) + (ba)i ,a

7、b= - 1,所以所以c= 1,所以Z2的虛部為1.b- a= c,“二 i + i 2+i 3+ i2022 l_一皿10.已知復數z=誨，則復數z在復平面內對應點的坐標為答案(0,1)解析 因為 i4n+1 + i4n+2+i4n+3+i4n+4=i + i2+i3+i4= 0,而 2022 = 4X505+ 2,所以z=i + i2+i3+ + i2022 i + i2 1 + i1+i 1+i 1 + i 1 i 2iTTl1=T= i ,對應的點為(0,1) .I 十 i I i 2B組能力關1 .（2018 華南師大附中模擬）歐拉公式eix=cosx+isin x（i為虛數單位）是

8、由瑞士著名數學家歐拉發現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，在復變函數論里占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋sin2 a+ i數二在復平面內對應的點位于 （）1 + i建立了三角函數和指數函數的關系,”，已知eai為純虛數，則復B.第二象限A.第一象限D.第四象限C.第三象限答案 Aacosa=0,解析 由題意得 e' = cosa+isin a是純虛數，所以所以sin2a =sin aw0,_ sin2a+i i i 1-i 1+i 1 1 2sinacosa=0, -仃二=丁斤 =2= 2,其在復平面內對應的點2，2 在第一象限.2 .對于復數zi, Z2,若(zi i) Z

9、2=1,則稱zi是Z2的“錯位共軻”復數，則復數 專；i的“錯位共軻”復數為()-'3 3.b>. -r+'i22C.昌 1i 62答案 D解析由(zi)乎J =1,可得z-i；3 3D.方 + 2i=近;=乎+3'所以z="234故選"2"2iD.3. (2019 西安模擬)已知方程 x2+(4 + i) x+4+ai = 0(aC R)有實根 b,且 z=a+bi , 則復數z等于()A. 2-2iB. 2 + 2iC. 2+2iD. 2-2i答案 A解析由題意得b2+ (4 + i) b+ 4+ ai = 0,整理得(b2+4b

10、+4) + (a+b)i =0,所以b+22=0,a+ b= 0,所以a= 2,b=- 2,所以 z = 2-2i.4.已知復數z在復平面內對應的點在第三象限，則z1= z +|z|在復平面內對應的點在()B.第二象限D.第四象限A.第一象限C.第三象限答案 A解析 令 z= a + bi( a<0,b<0),則 |z|=:a2+b2>|a|,z1=z + | z| = Wa2+ b2+ a)bi,又一a2+b2 +a>0, b>0,所以z1在復平面內對應的點在第一象限.5 .已知復數 z=(a-2) + (a+1)i( ae R)的對應點在復平面的第二象限，則 |1 +ai|的 取值范圍是.解析復數z=(a 2)+ (a+1)i對應的點白坐標為(a2, a+1),因為該點位于第二象限，所以a-2<0,a+1>0,1<a<2.所以 |1 +ai| = W + a2 e 1 ,巾).6 .復數 zi, Z2 滿足 zi =(4 m2)i , Z2= 2cos 8 + (入+ 3sin 0 )i( m入，8 C R),并且Zi = Z2,則入的取值范圍是.9答案 16, 7解析由復數相等的充要條件，可