1、2013年高考理科數學全國新課標卷2word解析版2013年普通高等學校夏季招生全國統一考試數學理工農醫類（全國卷II新課標）注意事項：？ ？1 .本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號 填寫在本試卷和答題卡相應位置上。2 .回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用 橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3 .回答第n卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。4 .考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共 求的.1. （2013課標全國n ,理A . 0,1,2C.

2、 1,0,2,3答案：A第I卷12小題，每小題 5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要)m an =1)已知集合 M=x|(x1)2V4, xCR, N = -1,0,1,2,3,則 MAN=(B. 1,0,1,2D. 0,1,2,3解析：解不等式(x 1)2<4,得一1 VXV3,即 M = x| 1VXV3.而 N= 1,0,1,2,3,所以19 / 110,1,2,故選 A.2. (2013課標全國n,A . 1 + iC. 1+i答案：A理 2)設復數z滿足(1 i)z=2i,則z=().B.D.一 1 一 i 1-i解析：z二2i1 i3. (2013課標全國n,

3、2i1理2 2i=-1 + i.21A .一3答案：CB.3）等比數列an的前n項和為1C.D.Sn.已知 S3 = a2+10a1，a5= 9,則 a=(19)解析：設數列an的公比為 足題意，因此qw 1.q,右q= 1,則由a5 = 9,得a1=9,此時 S3 = 27,而 a2+10a1 = 99,不滿,qw1 時，S3 =a1(1 q3 4)=a1 q+ 10a1,a, n,平面8直線l滿足lm, ln,卜-a,A .B.C.D.答案:解析:D因為 m± a, l±m, '又因為m, n為異面直線，所以%所以l /a.同理可得l / 0a與3相交，且l平行

4、于它們的交線.故選 D.A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案：D r r2 21解析：因為(1 + x)5的二項展開式的通項為 C5X (0WrW5, rCZ),則含x2的項為C5X + ax C5X =(10+ 5a)x2,所以 10 + 5a=5, a=- 1.6. (2013課標全國n,理 6)執行下面的程序框圖，如果輸入的N=10,那么輸出的S=().彳1A. 1 + -2彳1C. 1 + -2答案：B131310111彳1 B. 1 + 2!,1 D. 1+ 2!3!13!解析：由程序框圖知，當k=1,當k=2時,當k=3時,當k=4時,當k=10時,21，S2 32 3 41

5、滿足k>N,輸出S,2所以S= 0, T=1 時,21 +23 4 L 10 'B正確.10!111!T=1, S= 1；1 + 12!3!7. (2013課標全國n,理 7) 一個四面體的頂點在空間直角坐標系是(1,0,1), (1,1,0), (0,1,1), (0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時，以 影面，則得到的正視圖可以為().zOx平面為投O xyz中的坐標分別1,k增力口 1變為11, 10!答案：A解析：如圖所示，該四面體在空間直角坐標系O xyz的圖像為下圖：影即正視圖為則它在平面 zOx 上的投,故選A.8. （2013 課標全國 n,理 8）設 a=

6、log36, b=log5l0, c=log7l4,則（）.A . c> b>a B. b>c>aC. a>c>b D. a>b>c答案：D解析：根據公式變形，a961旦2, b210192,c Jgl4lg3 lg3 lg 5 lg5 lg 75>lg 3,所以 lg2 ,即 cvbva.故選 D. lg7 lg5 lg3x 1,192 ,因為 lg 7>lglg79. （2013課標全國n,理 9）已知a>0, x, y滿足約束條件 x y 3,若z= 2x + y的最小值為1,則a=（）1A .一4答案：B解析：由題意作出

7、C. 1 D. 21,八 上 所表示的區域如圖陰影部分所示,y 3作直線2x+y=1,因為直線2x+y= 1與直線x= 1的交點坐標為(1, 1),結合題意知直線 y=a(x ，一口113)過點(1, 1),代入得a ,所以a .2210. (2013課標全國n,理10)已知函數f(x)=x3+ax2 + bx+c,下列結論中錯誤的是 ().A .x0 C R , f(x0) = 0B.函數y=f(x)的圖像是中心對稱圖形 C.若x0是f(x)的極小值點，則f(x)在區間(一00, x0)單調遞減 D.若x。是f(x)的極值點，則f'(x0)=0 答案：C 解析：二先是f(x)的極小值

8、點，則y=f(x)的圖像大致如下圖所示，則在(一00,x0)上不單調，故 C不正確.11. (2013課標全國n,理 11)設拋物線C: y2 = 2px(p>0)的焦點為F,點M在C上，|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為().A . y2= 4x 或 y2= 8xB. y2=2x 或 y2=8xC. y2 = 4x 或 y2= 16xD. y2=2x 或 y2=16x答案：C解析：設點M的坐標為(x°, y°),由拋物線的定義，得|MF|=x0+ =5,則x0=5.22又點F的坐標為 ,0 ,所以以MF為直徑的圓的方程為(x-x0) x +

9、 (y-y0)y= 0.222y0將 x=0, y= 2 代入得 px°+8 4y0 = 0,即-4y0+8=0,所以 y0 = 4.2,2一 一 _ P _ 、.一由 y° =2px0,得 16 2p 5 一,解之得 P=2,或 p= 8.2所以C的方程為y2= 4x或y2= 16x.故選C.B(1,0), C(0,1),直線 y=ax+b(a>0)將4ABC 分割為面積12. (2013課標全國n,理 12)已知點A(-1,0), 相等的兩部分，則b的取值范圍是().,2 1A. (0,1)B.1 ,2 2,2 11 1C.1 ，D.-,-2 33 2答案：B本卷

10、包括必考題和選考題兩部分，第13題第21題為必考題，每個試題考生都必須做答。 第22題 第24題為選考題，考生根據要求做答。二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分.uuir uuur13. (2013課標全國n,理13)已知正方形 ABCD的邊長為2, E為CD的中點，則 AE BD =則點 A的坐標為UULTBD = (2,2),所以答案：2解析：以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示, uur(0,0),點B的坐標為(2,0),點D的坐標為(0,2),點E的坐標為(1,2),則AE =(1,2),uuin uurAE BD 2.14. (2013課標全國n,

11、理14)從n個正整數1,2,，n中任意取出兩個不同的數，若取出的兩數之和等一1于5的概率為一,則n=.答案：825的有(1,4), (2,3)2種，所以41,解得 n=8.n n 114解析：從1,2,，n中任取兩個不同的數共有Cn種取法，兩數之和為2-,即7"c214 n n 1215.(2013課標全國n ,理15)設。為第二象限角，若tan1 El .八八一,則 sin 0+ cos 0=2解析：由tan1 tantan0=1一 cos 93將其代入 sin2 0+ cos2 0= 1,102得 一 cos 1.9因為。為第二象限角，所以cos 0= 3 10 , sin101

12、0.0=, sin100+ cos 0=1016. (2013課標全國n ,理16)等差數列an的前n項和為Sn,已知S10=0, S15=25,則nSn的最小值為答案：4910 9 一一解析：設數列an的首項為a1,公差為d,則S10=10a1Hd =10a+45d = 0,215 14 . 一 S15= 15al d = 15a1+ 105d= 25.2聯立，得a1 = -3, d3qqn(n 1) 21 210所以 Sn=3n - nn.23 3320一 n.3人.1 3 10 2、令 f(n)= nSn,則 f (n) - nn , f '(n)3320令f (n) = 0,得

13、n= 0或n .320 一n 百 時，f(n)取最小值，而nC N + ,則 f(6) =,20 一 ，-20 一 ，. 一當n 時，f(n)>0,0<n<時，f(n)v0,所以當33-48, f= 49,所以當n = 7時，f(n)取最小值一49.三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.a, b, c,已知 a17. (2013課標全國n,理17)(本小題滿分12分)4ABC的內角A, B, C的對邊分別為 =bcos C + csin B.求B；(2)若b=2,求 ABC面積的最大值.解：(1)由已知及正弦定理得sin A= sin Bcos C+ sin C

14、sin B.又A=兀一(B + C),故sin A= sin(B+ C)= sin Bcos C+cos Bsin C.由，和CC (0,兀得 sin B= cos B,)所以(2)AABC的面積S由已知及余弦定理得花B .412-acsin B ac.242.2c4=a2 + c2 2ac cos.4又 a2+ c2> 2ac,故4，八ac廣，當且僅當a=c時，等號成立.22因此ABC面積的最大值為 J2+1 .18. (2013課標全國n,理 18)(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E分別是 AB, BBi的中點，A-： 1AB.(1)證明：BCi /

15、平面 AiCD;(2)求二面角 D AiC E的正弦值.解：(1)連結ACi交AiC于點F,則F為ACi中點.又D是AB中點，連結 DF ,則BCi /DF .因為DF?平面AiCD, BCiL 平面AiCD,所以BCi/平面AiCD.(2)由 AC=CB= 殳 AB 得,ACXBC.uur以C為坐標原點，CA的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系 C xyz.設 CA=2,則 D(1,1,0), E(0,2,1), Ai(2,0,2), CD =(1,1,0), CE =(0,2,1) , CA=(2,0,2) .設n = (x1, y1, zi)是平面 AiCD的法向量,uur

16、n CD 則 uur n CA10,XiVi 0,即10,2xi 2zi 0.可取 n=(1, - 1, 1).同理，設m是平面A1CE的法向量， uuui m CE 0,則LULT可取 m=(2,1, 2).從而 cos n , mn m 屈|n|m|3if3即二面角 D A1C E的正弦值為.6m CA0,19. （2013課標全國n,理19）（本小題滿分12分）經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出 1 t 該產品獲利潤500元，未售出的產品，每 1 t虧損300元.根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農產品.

17、以X（單位：t,100WXW150）表示下一個銷售季度內的市場需求量，T（單位：元）表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤.將T表示為X的函數；（2）根據直方圖估計利潤 T不少于57 000元的概率；（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率（例如：若需求量 XC 100,110）,則取X= 105,且X=105的概率等于需求量落入100,110）的頻率），求T的數學期望.解：（1）當 XC 100,130）時,T=500X300（130 X）=800X39 000,當 XC 130,150時，T= 500X 13

18、0= 65 000.800X 39000,100 X 130,所以T65000,130 X 150.（2）由知利潤T不少于57 000元當且僅當120WXW150.由直方圖知需求量 XC 120,150的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7.（3）依題意可得T的分布列為T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以 ET = 45 000 X 0.1 + 53 000 X 0.2 + 61 000 X 0.3 + 65 000 X 0.4 = 59 400.20. (2013課標全國n,理20)(本小題滿分12分

19、)平面直角坐標系xOy中，過橢圓M:0)右焦點白直線x y J3 0交M于A,B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為2 xa1.22 y ,2 =1 (a> b> b(1)求M的方程；(2)C, D為M上兩點，若四邊形 解：設 A(x1, y1), B(x2, y2),ACBD的對角線CDXAB,求四邊形 ACBD面積的最大值.P(x0, y0),由此可得2江=1 b2=1，b2 &2*22 aX12a V2y12 y=1 b2 一1，y2y1x2 x1j= 1, x2 Xi=1 .y。1因為 X1 + X2= 2x0, y + y2=2y0, ,x02所以a2 = 2b2

20、又由題意知，M的右焦點為(屈,0),故a2b2=3.因此所以a2 = 6, b2= 3.2 xM的方程為2 J.3(2)由x2 x60,解得因止匕|AB| =2y34.33 ,334 ；61,0,63由題意可設直線CD5、3y= x n 3的方程為設 C(x3, y3), D(x4, y4).y x n,由 X2y2得 3x2+4nx+2n2-6=0.63 1 工曰 2n .2 9 n2于 ZE X3,4=.3因為直線CD的斜率為1,所以 |CD|=6|x4 x3| 459 n2 .3_1 -8.6 ,2由已知，四邊形 ACBD的面積S |CD|AB|二一J9 n .29當n = 0時，S取得

21、最大值，最大值為 蜒.3所以四邊形ACBD面積的最大值為 8叵.3(2013課標全國n,理 21)(本小題滿分12分)已知函數f(x) = e在(- 2, + 00 )單倜遞增. 2ln(x+m).(1)設x= 0是f(x)的極值點，求 m,并討論f(x)的單調性；(2)當 mW 2 時，證明 f(x)>0. v 1解：(1)f(x)=ex .由x=0是f(x)的極值點得f'(0)=0,所以m= 1.是 f(x)= ex- ln(x+ 1),定義域為(1, +0°), fx)=exx 1函數f(x)= e 在(-1, +8)單倜遞增，且 f(0) = 0.x 1因此當

22、xC (1,0)時，f'(x)V0；當 xC (0, + 8)時，f(x)>0.所以f(x)在(一1,0)單調遞減，在(0, +8)單調遞增.(2)當 mW 2, xC(m, + 8)時，ln(x+ m)< ln(x+ 2),故只需證明當 m=2 時，f(x) >0.當m= 2時，函數f'(x)= ex1，又 f(-1)<0, f'(0)>0,故 f'(x)=0 在(2, 十 8)有唯一實根 x。，且 x0C(1,0).當 xC(-2, x0)時,f'(x)0;當xC (x0, + 8)時，f(x)>0,從而當x= x

23、0時，f(x)取得最小值.由 f'(x0)= 0 得 e"故 f(x) > f(xo)=x01x021,ln(x0 + 2) = x0,2+ x0=0>0.x0 222.點,綜上，當mW 2時，f(x) > 0.請考生在第22、23、24題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，做答時請寫清題(2013課標全國n,理22)(本小題滿分10分)選彳41:幾何證明選講如圖，CD為 ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線 CD于點D, E, F分別為弦AB與弦AC上的 且 BCAE=DCAF, B, E, F, C 四點共圓.ABC外接圓面積的比值.證明

24、：CA是 ABC外接圓的直徑；(2)若DB=BE=EA,求過B, E, F, C四點的圓的面積與解：(1)因為CD為AABC外接圓的切線，一 BC DC所以/DCB = /A,由題設知, FA EA故CDBsAEF,所以/dbc = /efa.因為B, E, F, C四點共圓，所以/CFE=/DBC,故/EFA=/CFE = 90 :所以/CBA=90；因此CA是"BC外接圓的直徑.(2)連結CE,因為/CBE = 90°,所以過B, E, F, C四點的圓的直徑為 CE,由DB= BE,有CE= DC , 又 BC2=DB BA=2DB2,所以 CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2= DB DA = 3DB2,故過B, E, F, C四點的圓的面積與 ABC外接圓面積的比值為 -.223. (2013課標全國n,理23)(本小題滿分10分)選彳4-4:坐標系與參數方程x 2cost,已知動點P, Q都在曲線C:(t為參數)上，對應參數分別為t=