1、1. 0 , sincos,sin , cos222BBAAyrlrxryrxExample自由度自由度q選廣義坐標為選廣義坐標為:自由度恒等于廣義坐標數自由度恒等于廣義坐標數1322s2 .)()(, ),( , ),(2212212221212211byyxxayxyxyx 、 .coscos , sinsin,cos , sin2211baybaxayaxExample自由度自由度選廣義坐標為選廣義坐標為:1222s0;0;ooxy; sin2 ;CCxryH rH OA ABrcos ;sin ;AAxOAyOAcoscos ;sinsin ;BBxOAAByOAAB3.3.約束方程約

2、束方程( (在點在點O O建立直角坐標建立直角坐標) )1.1.剛體數目剛體數目 3;3;2.2.定軸轉動剛體定軸轉動剛體 OA OA ; ;平面運動剛體平面運動剛體 ABAB及輪及輪C C ; ;結論結論:8個約束方程個約束方程Example8;s 5自由度計算自由度計算3*31ks4廣義坐標數為廣義坐標數為 :3n-s=1, 即即:自由度自由度約束方程數約束方程數qq或或剛體數剛體數n=36選廣義坐標為選廣義坐標為:自由度恒等于廣義坐標數自由度恒等于廣義坐標數 xAB0lk21;qxqcoslxxABsinlyB0Ay2k廣義坐標廣義坐標自由度自由度Example總總 結結(1)檢查剛體檢

3、查剛體(質點質點)數目數目 n。(2)檢查各剛體的運動形式檢查各剛體的運動形式。(3)列寫出約束方程。列寫出約束方程。(4)計算自由度計算自由度,確定廣義坐標確定廣義坐標。(a)空間剛體系空間剛體系 k=6n-s,空間質點系空間質點系 k=3n-s(b)平面剛體系平面剛體系 k=3n-s,平面質點系平面質點系 k=2n-s 二、虛位移的分析方法二、虛位移的分析方法 1 1、幾何法、幾何法 （虛速度法）（虛速度法）自由度：自由度：k322211在同一時刻（位置），各點之間的虛位移的關在同一時刻（位置），各點之間的虛位移的關系等同于各點之間的虛速度的關系。系等同于各點之間的虛速度的關系。,sin2

4、1sin2,aaPBPCrrlarrBCAC二、虛位移的分析方法二、虛位移的分析方法 1 1、幾何法、幾何法 （虛速度法）（虛速度法）自由度：自由度：k322211在同一時刻（位置），各點之間的虛位移的關在同一時刻（位置），各點之間的虛位移的關系等同于各點之間的虛速度的關系。系等同于各點之間的虛速度的關系。,sin21sin2,aaPBPCrrlarrBCAC9. 0 , cos2,sin , cos,sin , cosBBAACCyaxlylxayax.0 ,sin2,cos ,sin,cos ,sinBBAACCyaxlylxayaxExample 2 1BAabxy1cosayA1sin

5、axA21sinsinbaxB21coscosbayB11cosaxA11sinayA2211coscosbaxB2211sinsinbayB自由度：自由度：2取廣義坐標：取廣義坐標： 1 1， 2 2Example圖示橢圓規機構圖示橢圓規機構,連桿連桿A、B長為長為l,，桿重和摩擦力不計桿重和摩擦力不計，試求試求:在圖示位置平衡時主動力在圖示位置平衡時主動力FA和和FB之間的關系。之間的關系。xyO BFAFExample1.幾何法幾何法0BBAArFrFcoslrAsinlrBtan:BAFF則解：解：00)sincos(lFlFBA0)sincos(lFlFBA xyO BFAF rB

6、rA1.幾何法幾何法0BBAArFrFcoslrAsinlrBtan:BAFF則解：解：00)sincos(lFlFBA0)sincos(lFlFBA xyO BFAF rB rA圖示一雙擺，擺長分別為圖示一雙擺，擺長分別為l1與與l2，質量分，質量分別為別為m1與與m2在擺端在擺端B上受到一水平力求系上受到一水平力求系統平衡時，雙擺的位置統平衡時，雙擺的位置 OABFExample解解質心質心C1坐標坐標OABxy12gm11C02121BxFygmygmW11yx1r22yx2rBByxr系統有兩個自由度系統有兩個自由度取廣義坐標取廣義坐標12質心質心C2坐標坐標點點B坐標坐標2CFgm2

7、1111sin2ly111222coscosBxll 2211122sinsin2lyl 111cos2ly22112coscos2lyl1122sinsinBxllOABFxy122C1C1r111211111222222sinsincos2sincos2m glWm glFlm glFl 12Wm g ym g yF xB12OABFxy122C1C1r111211111222222sinsincos2sincos2m glWm glFlm glFl 22222cossin22FlglmQ11112111cossinsin21FlglmglmQ平衡充要條件平衡充要條件22222cossin

8、22FlglmQOABFxy12gm2gm12C1C1r11112111cossinsin21FlglmglmQ01Q02Q0cossinsin211112111Flglmglm0cossin222222FlglmgmgmF21122arctangmF222arctan平衡位形平衡位形平衡充要條件平衡充要條件22222cossin22FlglmQOABFxy12gm2gm12C1C1r11112111cossinsin21FlglmglmQ01Q02Q0cossinsin211112111Flglmglm0cossin222222FlglmgmgmF21122arctangmF222arcta

9、n21求靜定連續梁支座求靜定連續梁支座B的約束力的約束力.Example22,0211mrPrRrPCBB. 211BBCBBrmrrPrrPR.96118111211121614 , 811 , 21 1BCBEBGBBCBrrrrrrrrrrr.961181121 21mPPRB結構及其受力如圖所示，試求結構及其受力如圖所示，試求A端的約束力偶。端的約束力偶。aaa1F2F ABCMD DExampleAAAMAFAx解：解：2 畫出虛位移（如圖所示）畫出虛位移（如圖所示）01niiirF02211AMrFrFaaa1F2F ABCMD DCr1rAM2r1 將固定端將固定端A變成固定鉸鏈

10、變成固定鉸鏈22ar 2rrCCrr3110)232(21AMaFaF0)31(221FFaMAaaa1F2F ABCMD DCr1rAM2r3確定虛位移的關系確定虛位移的關系圖示機構是由圖示機構是由8根連桿鉸接成根連桿鉸接成3個相同的菱形。菱形的邊長為個相同的菱形。菱形的邊長為b，鉸鉸O固定，鉸固定，鉸A、B與與C限定在鉛垂線上運動。不計各桿的重量及限定在鉛垂線上運動。不計各桿的重量及摩擦摩擦,求機構處于平衡時，力求機構處于平衡時，力FA與與FC之間的關系之間的關系Example28yxAFBBCAOCF一個自由度一個自由度定義角定義角 為廣義坐標為廣義坐標虛功原理虛功原理FyFyAACC

11、0sin2byAcos2byA0)cos6cos2(bFbFCA1:3:CAFF虛位移的關系虛位移的關系sin6byCcos6byC0cos6cos2bFbFCA定義虛位移定義虛位移AyCy03CAFF29套筒套筒D 套在套在AB 桿上，帶動桿上，帶動CD 桿上下滑動桿上下滑動. 當當 =0o, 彈簧處彈簧處于原長于原長, 彈簧的剛性系數為彈簧的剛性系數為5(kN/m). 當系統在某當系統在某 角度處于角度處于平衡狀態時，求此時作用于平衡狀態時，求此時作用于AB桿上的力偶桿上的力偶M的大小的大小Example解：以整個系統為研究對象解：以整個系統為研究對象),kN( |sec1 |5 . 1|

12、),m( |sec1 |3 . 0|.cos300600 , ).mm(300300600 ,0000llkFFllll在當. tsec3 . 0S ,sec3 . 0 DgsD. tsec3 . 0S ,sec3 . 0 DgsD).mkN( cos)cos1 (sin45. 03M, 0sFM, 0 tgsec3 . 0|sec1|5 . 1M虛功原理虛功原理32列車在水平軌道上行駛，車廂內懸掛一單擺，當車廂向右作勻列車在水平軌道上行駛，車廂內懸掛一單擺，當車廂向右作勻加速運動時，單擺左偏角度加速運動時，單擺左偏角度 ，相對于車廂靜止。求車廂的加，相對于車廂靜止。求車廂的加速度速度 。aE

13、xample33 選單擺的擺錘為研究對象選單擺的擺錘為研究對象 虛加慣性力虛加慣性力 ) maQamQ(0cossin , 0QmgXtgga 角隨著加速度角隨著加速度 的變化而變化，當的變化而變化，當 不變時，不變時， 角也角也不變。只要測出不變。只要測出 角，就能知道列車的加速度角，就能知道列車的加速度 。這就是擺。這就是擺式加速計的原理。式加速計的原理。aaa解：解：由動靜法由動靜法, 有有 解得解得 34均質桿長均質桿長l ,質量質量m, 與水平面鉸接與水平面鉸接, 桿由與平面成桿由與平面成 0角位置靜止角位置靜止落下。求開始落下時桿落下。求開始落下時桿AB的角加速度及的角加速度及A點

14、支座反力。點支座反力。 選桿選桿AB為研究對象為研究對象 虛加慣性力系：虛加慣性力系： 2mlFI3 , 02mlJMmaFAIAnnI解：解：根據動靜法，有根據動靜法，有Example35(3) 02/cos , 0)(2) 0sin , 0(1) 0cos , 0000QAAnQnAnQAMlmgFmRmgRFRmgRF。得代入得由得由 cos4 :(1) ; cos23 :) 3( ; sin :)2( 000mgRlgmgRAnA36cos2331cos22lgmllmg0 , cos23g , , 此時時000lt用動量矩定理用動量矩定理+質心運動定理再求解此題：質心運動定理再求解此

15、題：解：選解：選AB為研究對象為研究對象2coslmgIA由由得：得：由質心運動定理：由質心運動定理：nAnARmgmaglamgRma000sin0cos432 cos00cos4 , sin mgRmgRAnA37牽引車的主動輪質量為牽引車的主動輪質量為m，半徑為，半徑為R，沿水平直線軌道滾動，沿水平直線軌道滾動，設車輪所受的主動力可簡化為作用于質心的兩個力設車輪所受的主動力可簡化為作用于質心的兩個力 及驅及驅動力偶矩動力偶矩M，車輪對于通過質心，車輪對于通過質心C并垂直于輪盤的軸的回轉半并垂直于輪盤的軸的回轉半徑為徑為 ，輪與軌道間摩擦系數為，輪與軌道間摩擦系數為f , 試求在車輪滾動而

16、不滑動試求在車輪滾動而不滑動的條件下，驅動力偶矩的條件下，驅動力偶矩M 之最大值。之最大值。TS、 OExample38 取輪為研究對象取輪為研究對象 虛加慣性力系：虛加慣性力系： 2mIMmRmaRCQCCQ解：解：O39(3) 0 , 0)(2) 0 , 0(1) 0 , 0QCcyQxMFRMFmSPNFRTFF由由(1)得得TFmRRQ得代入所以(3) mRTF O由動靜法，得：由動靜法，得：(4) )()( 2222RTRRFTFRFRMmRTFmFRMFRMQC40由由(2)得得 N= P +S，要保證車輪不滑動，要保證車輪不滑動，必須必須 Ff N =f (P+S) (5)RTR

17、RSPfM22)(可見，可見，f 越大越不易滑動。越大越不易滑動。 Mmax的值為上式右端的值。的值為上式右端的值。把把(5)代入代入(4)得：得：O41質量為質量為m1和和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為半徑為r1和和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉軸并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉軸O的轉動慣量為的轉動慣量為I，系統在重力作用下發生運動，求鼓輪的角加速，系統在重力作用下發生運動，求鼓輪的角加速度。度。Example42 1 取系統為研究對象取系統為研究對象解：方法1 用達朗伯原理求解Example 2 sho

18、ulifenxi 取系統為研究對象取系統為研究對象43虛加慣性力和慣性力偶：虛加慣性力和慣性力偶：IIMamRamROQOQQ , , 222111由動靜法：由動靜法：00 , 0)(222111221122112211IramramgrmgrmMrRrRgrmgrmFmQOQQO列補充方程：列補充方程： 代入上式得：代入上式得：2211 , raragIrmrmrmrm222211221144方法方法2 用動量矩定理求解用動量矩定理求解 2211)(222211222111)( grmgrmMIrmrmIrvmrvmLeOOgIrmrmrmrm2222112211 根據動量矩定理：根據動量矩

19、定理：2211222211)( grmgrmIrmrmdtd取系統為研究對象45)(2 21212122221122222211IrmrmIvmvmT取系統為研究對象，任一瞬時系統的取系統為研究對象，任一瞬時系統的 )gdr-mr(m dgrmdgrmgdsmgdsmWF221122112211 元功方法方法3 用動能定理求解用動能定理求解46gIrmrmrmrm2222112211 gdrmrmIrmrmdWdTF)()(2 22112222112得由兩邊除以兩邊除以dt，并求導數，得，并求導數，得47在圖示機構中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓輪在圖示機構中，沿斜面向上作純滾動的圓柱體和鼓

20、輪O均為均均為均質物體，各重為質物體，各重為P和和Q，半徑均為，半徑均為R，繩子不可伸長，其質量不，繩子不可伸長，其質量不計，斜面傾角計，斜面傾角 ，如在鼓輪上作用一常力偶矩，如在鼓輪上作用一常力偶矩M， 試求：試求：(1)鼓輪的角加速度？鼓輪的角加速度？ (2)繩子的拉力？繩子的拉力？ (3)軸承軸承O處的支反力？處的支反力？ (4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦）？圓柱體與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦）？Example48解：解：方法方法1 用達朗伯原理求解用達朗伯原理求解取輪取輪O為研究對象，虛加慣性力偶為研究對象，虛加慣性力偶OOOIRgQJM221列出動靜方程：列出動靜方程：(

21、3) (2) (1) ,000000sincos)(TQ , YFT , XFMMTRFmOyOxIOAAQRgPagPR2QA21M , 取輪取輪A為研究對象，虛加慣性力為研究對象，虛加慣性力 和慣性力偶和慣性力偶MQC如圖示。如圖示。QR49列出動靜方程：列出動靜方程：(5) 0sin , 0(4) 0sin , 0)(PFRTXMRTRRRPFmQQAQC運動學關系：運動學關系： ，OAOAARRa 將將MQ，RQ，MQA及運動學關系代入到及運動學關系代入到(1)和和(4)式并聯立求解得：式并聯立求解得：。33322 ,RPQQRMPTgRPQRPMO)()si n()()si n(50

22、代入代入(2)、(3)、(5)式，得：式，得：。 )3()sin(, sin)3()sin3( , cos)3()sin3(RPQPRMP FQRPQQRMPYRPQQRMPXOO51方法方法2 用動力學普遍定理求解用動力學普遍定理求解(1) 用動能定理求鼓輪角加速度。用動能定理求鼓輪角加速度。 取系統為研究對象取系統為研究對象)sin( sinPRMPRMWF )( AORRv222222221)3(4 22121221)( RPQgRgPvgPRgQTCTOAO常量52)sin()3(4 , 2212PRMCRPQgWTTOF得由gRPQPRMO232)()si n( 兩邊對兩邊對t求導數

23、：求導數： OOOPRMRPQg)sin()(2341253(2) 用動量矩定理求繩子拉力用動量矩定理求繩子拉力 （定軸轉動微分方程）（定軸轉動微分方程） 取輪取輪O為研究對象，由動量矩定理得為研究對象，由動量矩定理得TRMRgQO22RPQQRMPT)3()sin3(54(3) 用質心運動定理求解軸承用質心運動定理求解軸承O處支反力處支反力 取輪取輪O為研究對象，根據質心運動定理：為研究對象，根據質心運動定理：sin0 , cos0 , yTQYFMaTXFMaOCyOxCxQRPQQRMPYRPQQRMPXOO sin)3()sin3( , cos)3()sin3(55(4) 用剛體平面運

24、動微分方程求摩擦力用剛體平面運動微分方程求摩擦力 取圓柱體取圓柱體A為研究對象，為研究對象， 根據剛體平面運動微分方程根據剛體平面運動微分方程)OAAAFRJ( RPQPRMPgRPQPRMRgPRRJFAA)()si n()()si n(3322122方法方法3：用動能定理求鼓輪的角加速度：用動能定理求鼓輪的角加速度 用達朗伯原理求約束反力用達朗伯原理求約束反力（繩子拉力（繩子拉力 、軸承、軸承O處反處反 力力 和和 及摩擦力及摩擦力 ）。）。TOXOYF56均質圓柱體重為均質圓柱體重為P，半徑為，半徑為R，無滑動地沿傾斜平板由靜止自，無滑動地沿傾斜平板由靜止自O點開始滾動。平板對水平線的傾

25、角為點開始滾動。平板對水平線的傾角為 ，試求，試求OA=S時平板在時平板在O點的約束反力。板的重力略去不計。點的約束反力。板的重力略去不計。解：解：(1) 用動能定理求速度，加速度用動能定理求速度，加速度圓柱體作平面運動。在初始位置時，圓柱體作平面運動。在初始位置時，處于靜止狀態，故處于靜止狀態，故T1=0；在末位置時，；在末位置時，設角速度為設角速度為 ，則，則vC = R , 動能為：動能為：PExample57222224322121CCvgPRgPvgPT 主動力的功：主動力的功：sinPSWF由動能定理由動能定理 得得FWTT12sin34 sin04322gSvPSvgPCC對對

26、t 求導數，則：求導數，則：sinsinRggaC32 ,32(2) 用達朗伯原理求約束反力取系統為研究對象，虛加慣性力 和慣性力偶MQCQRP58sin3sin3221, sin322PRRgRgPMPagPRQCCQ 0sincossin32sin3 , 0)(0sinsin32 , 00cossin32 , 0RPPSRPRPMFm ,PP YY , P XXOOOO列出動靜方程：列出動靜方程：SP MOcos2sin3P XO)sin3212P( YO59繞線輪重繞線輪重P，半徑為，半徑為R及及 r ，對質心，對質心O轉動慣量為轉動慣量為JO，在與水平，在與水平成成 角的常力角的常力T

27、 作用下純滾動，不計滾阻，求：作用下純滾動，不計滾阻，求：(1)輪心的加速輪心的加速度；度；(2)分析純滾動的條件。分析純滾動的條件。解：用達朗伯原理求解解：用達朗伯原理求解 繞線輪作平面運動繞線輪作平面運動 （純滾動）（純滾動）), ( RaaRJMagPROOOOOQ由達朗伯原理，得由達朗伯原理，得0cos , 0)(RTTrRRMFmQQOC將將RQ 、MQO代入上式，可得代入上式，可得2)cos(RgPIrRTRaOOExample600QRFTFcos ,0 x22)cos()cos(cos cosRgPIRrgPITRgPIrRTRgPTRTFOOOQsinsinTPNTPNF ,

28、y00純滾動的條件：純滾動的條件： F f N )sin()cos(TPfRgPJRrgPJTOO2)(si n()cos(2RgPJTPRrgPJTfOOOABCAB桿與圓盤桿與圓盤O組成的組合體，桿和圓盤質量都為組成的組合體，桿和圓盤質量都為m, AB = 2r。圓盤在地面上作純滾動。求此位置無初速開始剛開始運動時，圓盤在地面上作純滾動。求此位置無初速開始剛開始運動時， 地面對圓盤的約束力。地面對圓盤的約束力。Example62OABC2mgFfFN解：解：1 受力分析受力分析2022年1月14日理論力學CAI 靜力學63OABC2 運動分析運動分析3 根據運動分析加慣性力、慣性力偶根據運

29、動分析加慣性力、慣性力偶*AMAxOaartAyAOaarAxa*AxF*AyFAya以以O為基點求為基點求A點的加速度點的加速度 0CM 0OM 0AMOABC2mgFfFNF*x*AMF*y02mgrrFrFMyxA02mgrrFrFMyfA0rFrFMNfA*65小球小球P1與與P2與鉛垂軸與鉛垂軸AB固連，將小球視為質點，質量均固連，將小球視為質點，質量均為為m軸軸AB作勻角速度作勻角速度 旋轉。求軸承旋轉。求軸承A與與B處所受的力處所受的力 1Pb2PblABExample66解2 運動分析運動分析 Abxby1PgmAyFBxF1aAxF2Pgm2a*1F*2F系統作定軸勻角速度轉

30、動系統作定軸勻角速度轉動 質點質點P1與與P2作勻速圓周運動轉動作勻速圓周運動轉動 加速度加速度 1a2a加慣性力加慣性力1Fsin221baa2F設定正向設定正向122111,amFamFgmBAyFAxFBxF與加速度方向相反與加速度方向相反大小大小sin221bmFF1 受力分析受力分析 3 虛加慣性力虛加慣性力67Axy1PgmAyFBxF1aAxF2Pgm2a*1F*2F慣性力慣性力sin221bmFF主動力主動力gm理想約束力理想約束力AyFBAxFBxF平面力系平面力系平衡方程平衡方程0)(Fmz0 MlFBx0 xFFFBxAx 00yFFmgAy20構成力偶構成力偶2sinc

31、os222*1bmFbM*M68Abxby1PgmAyFBxF1aAxF2Pgm2a*1FB2sin22*bmM 2sin22lbmFBxFmgAy 22sin22lbmFAx69質量為m，長為l的均質桿AB一端A與半徑為r的圓盤的邊緣固結圓盤以角速度與角加速度繞O轉動不計重力。計算圖示瞬時AB桿在A處的約束力OrACBExample70ACBOrO*FCaCa*FAxFAyFAMACByxbrl224/mbF *2*mbFCMJOO*JJmbm rlOC2223(/ )0cossin*FFFAx0sincos*FFFAy0cossin*rFrFMMOA2/coslbrbsin221mlmrF

32、Ax221mrmlFAy221132AMmlmrl 平衡方程*OM71兩根質量為m，長為l的均質桿OA與AB以鉸鏈連接，鉸鏈O與機座連接在圖示位置無初速開始運動求此瞬時兩桿的瞬時角加速度OABExample72解 桿OA定軸轉動運動分析角加速度設定正向O2CBAxy1C121CaAa1桿AB 平面運動2角加速度質心加速度1Ca2/11laC設定正向質心加速度yCxCCaaa222222tnCAC AC Aaaaa1laA22/ 2tC Aal2/sin212llaxCcos12layCAa2CAaACa2此瞬時角速度為0 xCa2yCa273桿OA定軸轉動慣性力分析桿AB 平面一般運動2/11laC2/sin21