1、第二十一講 圓錐曲線中的最值和范圍問題（一）高考在考什么【考題回放】1已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C )A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+)2 P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓(x5)2y24和(x5)2y21上的點，則|PM|PN|的最大值為（ D ）A. 6 B.7 C.8 D.93拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是( A )A B C D4已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1

2、|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為：（B）(A) (B) (C) (D)5已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是32 .6對于拋物線y2=4x上任意一點Q，點P（a，0）都滿足|PQ|a|，則a的取值范圍是( B )（A）（，0） （B）（，2 （C）0，2 （D）（0，2）高考要考什么【熱點透析】與圓錐曲線有關的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）結合定義利用圖形中幾何量之間的大小關系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結合圖形（如點在曲線內等）列出所討論的參數適合的不等式（組），通過

3、解不等式組得出參數的變化范圍；（3）函數值域求解法：把所討論的參數作為一個函數、一個適當的參數作為自變量來表示這個函數，通過討論函數的值域來求參數的變化范圍。（4）利用代數基本不等式。代數基本不等式的應用，往往需要創造條件，并進行巧妙的構思；（5）結合參數方程，利用三角函數的有界性。直線、圓或橢圓的參數方程，它們的一個共同特點是均含有三角式。因此，它們的應用價值在于：通過參數簡明地表示曲線上點的坐標；利用三角函數的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；（6）構造一個二次方程，利用判別式D³0。突破重難點【例1】已知點M(-2，0)，N(2,0)，動點P滿足條件.記動點的軌

4、跡為W.（）求W的方程；（）若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求的最小值.解：（）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，所求方程為： （x>0）（）當直線AB的斜率不存在時，設直線AB的方程為xx0，此時A（x0，），B（x0，），2 當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為ykxb，代入雙曲線方程中，得：(1k2)x22kbxb220依題意可知方程1°有兩個不相等的正數根，設A(x1,y1),B(x2,y2)，則解得|k|>1，又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b2>2綜上可知的最小值為2【例2

5、】給定點A(-2,2)，已知B是橢圓上的動點，F是右焦點，當取得最小值時，試求B點的坐標。解：因為橢圓的，所以，而為動點B到左準線的距離。故本題可化為，在橢圓上求一點B，使得它到A點和左準線的距離之和最小，過點B作l的垂線，垂點為N，過A作此準線的垂線，垂點為M，由橢圓定義于是 為定值其中，當且僅當B點AM與橢圓的定點時等點成立，此時B為所以，當取得最小值時，B點坐標為【例3】已知P點在圓x2+(y-2)2=1上移動，Q點在橢圓上移動,試求|PQ|的最大值。解：故先讓Q點在橢圓上固定，顯然當PQ通過圓心O1時|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.設Q(x，y)，則|

6、O1Q|2= x2+(y-4)2 因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2) 將代入得|O1Q|2=9(1-y2)+(y-4)2因為Q在橢圓上移動，所以-1£y£1，故當時，此時【點睛】1.與圓有關的最值問題往往與圓心有關；2.函數法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數最常見的有二次函數等，值得注意的是函數自變量取值范圍的考察不能被忽視。【例4】已知橢圓的一個焦點為F1(0,-2)，對應的準線方程為，且離心率e滿足：成等差數列。（1）求橢圓方程；（2）是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線平分，若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在

7、，請說明理由。（1）解：依題意e， a3，c2，b1， 又F1(0，2)，對應的準線方程為 橢圓中心在原點，所求方程為 (2)假設存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被平分直線l的斜率存在。 設直線l：ykxm由消去y，整理得 (k29)x22kmxm290l與橢圓交于不同的兩點M、N，4k2m24(k29)(m29)0即m2k290設 M(x1,y1),N(x2,y2) 把代入式中得，k或k直線l傾斜角第二十二講圓錐曲線中的最值和范圍問題（二）【例5】長度為（）的線段的兩個端點、分別在軸和軸上滑動，點在線段上，且（為常數且）（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡類型；（2）當=2時，已知直線與原點

8、O的距離為，且直線與軌跡有公共點，求直線的斜率的取值范圍答案：(1)設、，則，由此及，得，即 （*）當時，方程（*）的軌跡是焦點為，長軸長為的橢圓當時，方程（*）的軌跡是焦點為，長軸長為的橢圓當時，方程（*）的軌跡是焦點為以O點為圓心，為半徑的圓（2）設直線的方程：，據題意有，即由得 因為直線與橢圓有公共點，所以又把代入上式得 ：【例6】橢圓E的中心在原點O，焦點在軸上，其離心率,過點C（1,0）的直線與橢圓E相交于A、B兩點，且滿足點C分向量的比為2.（1）用直線的斜率k(k0)表示OAB的面積；（2）當OAB的面積最大時，求橢圓E的方程。解：（1）設橢圓E的方程為(ab0)，由e=a2=3

9、b2故橢圓方程x2+3y2=3b2設A(x1,y1)、B(x2,y2),由于點C（1，0）分向量的比為2， 即由消去y整理并化簡得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直線l與橢圓E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)兩點得：而SOAB由得:x2+1=，代入得：SOAB = （2）因SOAB=,當且僅當SOAB取得最大值此時x1+x2=1,又=1x1=1,x2=2將x1,x2及k2=代入得3b2=5橢圓方程x2+3y2=5 【例7】設直線過點P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，若試求l的取值范圍.解：當直線垂直于x軸時，可求得;當與x軸不垂直時，設，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得解之得 因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮的情形.當時，所以 .由， 解得 ，所以，yO.Mx.綜上 .【例8】我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中， 如圖，設點，是相應橢圓的焦點，和，是“果圓” 與，軸的交點，是線段的中點（1） 若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程； （2）設是“果圓”的半橢圓上任意一點求證：當取得最小值時，在點或處；（3）若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標解：（1），于是，所求“果圓”方程為，（2）設，則， ，的最小值只能在或處取到 即當取得