1、14.3數(shù)學(xué)歸納法典例精析題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式 【例1】是否存在常數(shù)a、b、c，使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切nN*都成立？若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由.【解析】 假設(shè)存在a、b、c使122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切nN*都成立.當(dāng)n1時，a(bc)1；當(dāng)n2時，2a(4bc)6；當(dāng)n3時，3a(9bc)19.解方程組解得證明如下：當(dāng)n1時，顯然成立；假設(shè)nk(kN*，k1)時等式成立，即122232k2 (k1)22212k(2k21)；則當(dāng)nk1時，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(

2、2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21.因此存在a，b2，c1，使等式對一切nN*都成立.【點撥】 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的恒等式時要弄清等式兩邊的項的構(gòu)成規(guī)律：由nk到nk1時等式左右各如何增減，發(fā)生了怎樣的變化.【變式訓(xùn)練1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)nN*時，.【證明】(1)當(dāng)n1時，左邊，右邊，左邊右邊，所以等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立，即有，則當(dāng)nk1時，所以當(dāng)nk1時，等式也成立.由(1)(2)可知，對一切nN*等式都成立.題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題【例2】 已知f(

3、n)(2n7)·3n9，是否存在自然數(shù)m使得任意的nN*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.【解析】 由f(1)36，f(2)108，f(3)360，猜想：f(n)能被36整除，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n1時，結(jié)論顯然成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時結(jié)論成立，即f(k)(2k7)·3k9能被36整除.則當(dāng)nk1時，f(k1)(2k9)·3k193(2k7)·3k918(3k11)，由假設(shè)知3(2k7)·3k9能被36 整除，又3k11是偶數(shù)，故18(3k11)也能被36 整除.即nk

4、1時結(jié)論也成立.故由(1)(2)可知，對任意正整數(shù)n都有f(n)能被36整除.由f(1)36知36是整除f(n)的最大值.【點撥】 與正整數(shù)n有關(guān)的整除性問題也可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明. 在證明nk1結(jié)論也成立時，要注意“湊形”，即湊出歸納假設(shè)的形式，以便于充分利用歸納假設(shè)的條件.【變式訓(xùn)練2】求證：當(dāng)n為正整數(shù)時，f(n)32n28n9能被64整除.【證明】方法一：當(dāng)n1時，f(1)348964，命題顯然成立.假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時結(jié)論成立，即f(k)32k28k9能被64整除.由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)9·8k9·98(k1)99(32k28

5、k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，所以nk1時命題也成立.根據(jù)可知，對任意的nN*，命題都成立.方法二：當(dāng)n1時，f(1)348964，命題顯然成立.假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時，f(k)32k28k9能被64整除.由歸納假設(shè)，設(shè)32k28k964m(m為大于1的自然數(shù))，將32k264m8k9代入到f(k1)中得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)，所以nk1時命題也成立.根據(jù)可知，對任意的nN*，命題都成立.題型三數(shù)學(xué)歸納法在函數(shù)、數(shù)列、不等式證明中的運用【例3】(2019山東模擬)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，已知對任意的nN*，點(n，Sn)均

6、在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上.(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時，記bn2(log2an1)(nN*)，求證：對任意的nN*，不等式···成立.【解析】(1)因為點(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上，所以Snbnr(b0且b1，b，r均為常數(shù)).當(dāng)n1時，a1S1br；當(dāng)n2時，anSnSn1bnrbn1r(b1)bn1.又數(shù)列an為等比數(shù)列，故r1且公比為b.(2)當(dāng)b2時，an2n1，所以bn2(log2an1)2(log22n11)2n(nN*)，所以，于是要證明的不等式為···

7、;對任意的nN*成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n1時，顯然成立.假設(shè)當(dāng)nk時不等式成立，即···.則當(dāng)nk1時，······，即當(dāng)nk1時不等式成立，所以原不等式對任意nN*成立.【點撥】 運用歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，需進行證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時必須要利用歸納假設(shè)的條件，并且靈活運用放縮法、基本不等式等數(shù)學(xué)方法. 【變式訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)ex1(aR).(1)若函數(shù)f(x)在x1處有極值，且函數(shù)g(x)f(x)b在(0，)上有零點，求b的最大值；(2)若f(x)在(1,2)上為單調(diào)函數(shù)，

8、求實數(shù)a的取值范圍；(3)在(1)的條件下，數(shù)列an中a11，an1f(an)f(an)，求|an1an|的最小值.【解析】(1)f(x)ex1，又函數(shù)f(x)在x1處有極值，所以f(1)0，即a1，經(jīng)檢驗符合題意.g(x)ex1，當(dāng)x(0,1)時，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，當(dāng)x1時，g(x)0，當(dāng)x(1，)時g(x)0，g(x)為增函數(shù).所以g(x)在x1時取得極小值g(1)2b，依題意g(1)0，所以b2，所以b的最大值為2.(2)f(x)ex1，當(dāng)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增時，ex10在1,2上恒成立，所以ax2ex1，令h(x)x2，則h(x)ex1(x22x)0在1,2上恒成

9、立，即h(x)在1,2上單調(diào)遞增，所以h(x)在1,2上的最小值為h(1)1，所以a1；當(dāng)f(x)在1,2上單調(diào)遞減時，同理ax2ex1，h(x)x2ex1在1,2上的最大值為h(2)4e，所以a4e.綜上實數(shù)a的取值范圍為a1或a4e.(3)由(1)得a1，所以f(x)f(x)，因此an1，a11，所以a22，可得0a2n11，a2n22.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n1時，a3，a4，結(jié)論成立；設(shè)nk，kN*時結(jié)論成立，即0a2k11，a2k22，則nk1時，a2k31，所以0a2k31，a2k4112.所以nk1時結(jié)論也成立，根據(jù)可得0a2n11，a2n22恒成立，所以|an1an|a2a1211，即|an1an|的最小值為1.總結(jié)提高數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的常用方法，它是在歸納的基礎(chǔ)上進行的演繹推理，其大前提是皮亞諾公理(即歸納公理)：設(shè)M是正整數(shù)集合的子集，且具有如下性質(zhì)：1M；若kM，則k1M，那么必有MN*成立.數(shù)學(xué)歸納法證明的兩個步驟體現(xiàn)了遞推的數(shù)學(xué)思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，通過對兩個命題的證明替代了無限