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1、14.3數(shù)學(xué)歸納法典例精析題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式 【例1】是否存在常數(shù)a、b、c,使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切nN*都成立?若存在,求出a、b、c并證明;若不存在,試說明理由.【解析】 假設(shè)存在a、b、c使122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切nN*都成立.當(dāng)n1時,a(bc)1;當(dāng)n2時,2a(4bc)6;當(dāng)n3時,3a(9bc)19.解方程組解得證明如下:當(dāng)n1時,顯然成立;假設(shè)nk(kN*,k1)時等式成立,即122232k2 (k1)22212k(2k21);則當(dāng)nk1時,122232k2(k1)2k2(k1)22212k(
2、2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21.因此存在a,b2,c1,使等式對一切nN*都成立.【點撥】 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的恒等式時要弄清等式兩邊的項的構(gòu)成規(guī)律:由nk到nk1時等式左右各如何增減,發(fā)生了怎樣的變化.【變式訓(xùn)練1】用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)nN*時,.【證明】(1)當(dāng)n1時,左邊,右邊,左邊右邊,所以等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立,即有,則當(dāng)nk1時,所以當(dāng)nk1時,等式也成立.由(1)(2)可知,對一切nN*等式都成立.題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題【例2】 已知f(
3、n)(2n7)·3n9,是否存在自然數(shù)m使得任意的nN*,都有m整除f(n)?若存在,求出最大的m值,并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.【解析】 由f(1)36,f(2)108,f(3)360,猜想:f(n)能被36整除,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.(1)當(dāng)n1時,結(jié)論顯然成立;(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN*)時結(jié)論成立,即f(k)(2k7)·3k9能被36整除.則當(dāng)nk1時,f(k1)(2k9)·3k193(2k7)·3k918(3k11),由假設(shè)知3(2k7)·3k9能被36 整除,又3k11是偶數(shù),故18(3k11)也能被36 整除.即nk
4、1時結(jié)論也成立.故由(1)(2)可知,對任意正整數(shù)n都有f(n)能被36整除.由f(1)36知36是整除f(n)的最大值.【點撥】 與正整數(shù)n有關(guān)的整除性問題也可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明. 在證明nk1結(jié)論也成立時,要注意“湊形”,即湊出歸納假設(shè)的形式,以便于充分利用歸納假設(shè)的條件.【變式訓(xùn)練2】求證:當(dāng)n為正整數(shù)時,f(n)32n28n9能被64整除.【證明】方法一:當(dāng)n1時,f(1)348964,命題顯然成立.假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN*)時結(jié)論成立,即f(k)32k28k9能被64整除.由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)9·8k9·98(k1)99(32k28
5、k9)64(k1),即f(k1)9f(k)64(k1),所以nk1時命題也成立.根據(jù)可知,對任意的nN*,命題都成立.方法二:當(dāng)n1時,f(1)348964,命題顯然成立.假設(shè)當(dāng)nk(k1,kN*)時,f(k)32k28k9能被64整除.由歸納假設(shè),設(shè)32k28k964m(m為大于1的自然數(shù)),將32k264m8k9代入到f(k1)中得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1),所以nk1時命題也成立.根據(jù)可知,對任意的nN*,命題都成立.題型三數(shù)學(xué)歸納法在函數(shù)、數(shù)列、不等式證明中的運用【例3】(2019山東模擬)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,已知對任意的nN*,點(n,Sn)均
6、在函數(shù)ybxr(b0且b1,b,r均為常數(shù))的圖象上.(1)求r的值;(2)當(dāng)b2時,記bn2(log2an1)(nN*),求證:對任意的nN*,不等式···成立.【解析】(1)因為點(n,Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1,b,r均為常數(shù))的圖象上,所以Snbnr(b0且b1,b,r均為常數(shù)).當(dāng)n1時,a1S1br;當(dāng)n2時,anSnSn1bnrbn1r(b1)bn1.又數(shù)列an為等比數(shù)列,故r1且公比為b.(2)當(dāng)b2時,an2n1,所以bn2(log2an1)2(log22n11)2n(nN*),所以,于是要證明的不等式為···
7、;對任意的nN*成立.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n1時,顯然成立.假設(shè)當(dāng)nk時不等式成立,即···.則當(dāng)nk1時,······,即當(dāng)nk1時不等式成立,所以原不等式對任意nN*成立.【點撥】 運用歸納推理得到的結(jié)論不一定正確,需進行證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時必須要利用歸納假設(shè)的條件,并且靈活運用放縮法、基本不等式等數(shù)學(xué)方法. 【變式訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)ex1(aR).(1)若函數(shù)f(x)在x1處有極值,且函數(shù)g(x)f(x)b在(0,)上有零點,求b的最大值;(2)若f(x)在(1,2)上為單調(diào)函數(shù),
8、求實數(shù)a的取值范圍;(3)在(1)的條件下,數(shù)列an中a11,an1f(an)f(an),求|an1an|的最小值.【解析】(1)f(x)ex1,又函數(shù)f(x)在x1處有極值,所以f(1)0,即a1,經(jīng)檢驗符合題意.g(x)ex1,當(dāng)x(0,1)時,g(x)0,g(x)為減函數(shù),當(dāng)x1時,g(x)0,當(dāng)x(1,)時g(x)0,g(x)為增函數(shù).所以g(x)在x1時取得極小值g(1)2b,依題意g(1)0,所以b2,所以b的最大值為2.(2)f(x)ex1,當(dāng)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增時,ex10在1,2上恒成立,所以ax2ex1,令h(x)x2,則h(x)ex1(x22x)0在1,2上恒成
9、立,即h(x)在1,2上單調(diào)遞增,所以h(x)在1,2上的最小值為h(1)1,所以a1;當(dāng)f(x)在1,2上單調(diào)遞減時,同理ax2ex1,h(x)x2ex1在1,2上的最大值為h(2)4e,所以a4e.綜上實數(shù)a的取值范圍為a1或a4e.(3)由(1)得a1,所以f(x)f(x),因此an1,a11,所以a22,可得0a2n11,a2n22.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:當(dāng)n1時,a3,a4,結(jié)論成立;設(shè)nk,kN*時結(jié)論成立,即0a2k11,a2k22,則nk1時,a2k31,所以0a2k31,a2k4112.所以nk1時結(jié)論也成立,根據(jù)可得0a2n11,a2n22恒成立,所以|an1an|a2a1211,即|an1an|的最小值為1.總結(jié)提高數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的常用方法,它是在歸納的基礎(chǔ)上進行的演繹推理,其大前提是皮亞諾公理(即歸納公理):設(shè)M是正整數(shù)集合的子集,且具有如下性質(zhì):1M;若kM,則k1M,那么必有MN*成立.數(shù)學(xué)歸納法證明的兩個步驟體現(xiàn)了遞推的數(shù)學(xué)思想,第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),通過對兩個命題的證明替代了無限
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