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文檔簡介
1、數列專題復習(0929)一、 證明等差等比數列1 等差數列的證明方法:(1)定義法:(常數) (2)等差中項法:2等比數列的證明方法:(1)定義法:(常數) (2)等比中項法:例1.設an為等差數列,Sn為數列an的前n項和,已知S77,S1575,Tn為數列的前n項和,求Tn解:設等差數列an的公差為d,則Sn=na1n(n1)dS77,S1575,即解得a12,d1a1(n1)d2(n1),數列是等差數列,其首項為2,公差為,Tnn2n例2設數列an的首項a1=1,前n項和Sn滿足關系式:3tSn(2t+3)Sn1=3t(t>0,n=2,3,4,)求證:數列an是等比數列;解:(1)
2、由a1=S1=1,S2=1+a2,得a2=又3tSn(2t+3)Sn1=3t3tSn1(2t+3)Sn2=3t得3tan(2t+3)an1=0,(n=2,3,)所以an是一個首項為1,公比為的等比數列.練習:已知a1=2,點(an,an+1)在函數f(x)=x2+2x的圖象上,其中=1,2,3,(1) 證明數列lg(1+an)是等比數列;(2) 設Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an),求Tn及數列an的通項;答案.(2) ,;二通項的求法(1)利用等差等比的通項公式(2)累加法:例3已知數列滿足,求。解:由條件知:分別令,代入上式得個等式累加之,即所以,(3)構造等差或等比或例4已知
3、數列滿足求數列的通項公式;解:是以為首項,2為公比的等比數列。即例5已知數列中,,,求.解:在兩邊乘以得:令,則,解之得:,所以.練習:已知數列滿足,且。(1)求;(2)求數列的通項公式。解:(1)(2)(4)利用例6若和分別表示數列和的前項和,對任意正整數,.求數列的通項公式;解:2分當當4分練習:1.已知正項數列an,其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數列,求數列an的通項an解: 10Sn=an2+5an+6,10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3又10Sn1=an12+5an1+6(n2),由得 10an=(an2an12)+6(a
4、nan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an1>0 ,anan1=5 (n2)當a1=3時,a3=13,a15=73a1,a3,a15不成等比數列a13;當a1=2時,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,a1=2,an=5n32設數列的前項的和,()求首項與通項;()設,證明:解:(I),解得:所以數列是公比為4的等比數列所以:得:(其中n為正整數)(II)所以:(5)累積法轉化為,逐商相乘.例7已知數列滿足,求。解:由條件知,分別令,代入上式得個等式累乘之,即又,練習:1.已知,求。解:。2已知數列an,滿足a1=1, (n2),則an的通項解:由已知,得
5、,用此式減去已知式,得當時,即,又,將以上n個式子相乘,得(6)倒數變形:,兩邊取倒數后換元轉化為。例8:已知數列an滿足:,求數列an的通項公式。解:取倒數:是等差數列,練習:已知數列an滿足:a1,且an求數列an的通項公式;解:將條件變為:1,因此1為一個等比數列,其首項為1,公比,從而1,據此得an(n³1)三數列求和1、等差數列求和公式:2、等比數列求和公式:3、錯位相減法求和 an 、 bn 分別是等差數列和等比數列.例9求和:解:由題可知,設(設制錯位)得(錯位相減)再利用等比數列的求和公式得:。練習:求數列前n項的和.解:由題可知,的通項是等差數列2n的通項與等比數列
6、的通項之積設得4、倒序相加法求和這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法,就是將一個數列倒過來排列(反序),再把它與原數列相加,就可以得到n個.5、分組法求和有一類數列,既不是等差數列,也不是等比數列,若將這類數列適當拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數列,然后分別求和,再將其合并即可.例10求數列的前n項和:,解:設將其每一項拆開再重新組合得(分組)當a1時,(分組求和)當時,6、裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項(通項)分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的. 通項分解(裂項)(1)為等差數列,(2)例11求數列的前n項和.解:設,則例12在數列an中,又,求數列bn的前n項的和.解:數列bn的前n項和:練習:1已知數列的前項和為,且滿足。求數
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