1、數列專題復習（0929）一、 證明等差等比數列1 等差數列的證明方法：（1）定義法：(常數) （2）等差中項法：2等比數列的證明方法：（1）定義法：(常數) （2）等比中項法：例1.設an為等差數列，Sn為數列an的前n項和，已知S77，S1575，Tn為數列的前n項和，求Tn解：設等差數列an的公差為d，則Sn=na1n（n1）dS77，S1575，即解得a12，d1a1（n1）d2（n1），數列是等差數列，其首項為2，公差為，Tnn2n例2設數列an的首項a1=1，前n項和Sn滿足關系式：3tSn（2t+3）Sn1=3t（t>0，n=2，3，4，）求證：數列an是等比數列；解：（1）

2、由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=又3tSn（2t+3）Sn1=3t3tSn1（2t+3）Sn2=3t得3tan（2t+3）an1=0，（n=2，3，）所以an是一個首項為1，公比為的等比數列.練習：已知a1=2，點(an,an+1)在函數f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，（1） 證明數列lg(1+an)是等比數列；（2） 設Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及數列an的通項；答案.(2) ,;二通項的求法（1）利用等差等比的通項公式(2)累加法：例3已知數列滿足，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，（3）構造等差或等比或例4已知

3、數列滿足求數列的通項公式；解：是以為首項，2為公比的等比數列。即例5已知數列中，,，求.解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：,所以.練習:已知數列滿足，且。（1）求；（2）求數列的通項公式。解：（1）（2）（4）利用例6若和分別表示數列和的前項和，對任意正整數，.求數列的通項公式；解：2分當當4分練習：1.已知正項數列an，其前n項和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數列，求數列an的通項an解: 10Sn=an2+5an+6，10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn1=an12+5an1+6(n2)，由得 10an=(an2an12)+6(a

4、nan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an1>0 ，anan1=5 (n2)當a1=3時，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比數列a13;當a1=2時，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，a1=2，an=5n32設數列的前項的和，（）求首項與通項；（）設，證明：解：（I），解得：所以數列是公比為4的等比數列所以：得：（其中n為正整數）（II）所以：（5）累積法轉化為，逐商相乘.例7已知數列滿足，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，練習：1.已知，求。解：。2已知數列an，滿足a1=1， (n2)，則an的通項解：由已知，得

5、，用此式減去已知式，得當時，即，又，將以上n個式子相乘，得（6）倒數變形：,兩邊取倒數后換元轉化為。例8：已知數列an滿足：，求數列an的通項公式。解：取倒數：是等差數列，練習：已知數列an滿足：a1，且an求數列an的通項公式；解：將條件變為：1，因此1為一個等比數列，其首項為1，公比，從而1，據此得an（n³1）三數列求和1、等差數列求和公式：2、等比數列求和公式：3、錯位相減法求和 an 、 bn 分別是等差數列和等比數列.例9求和：解：由題可知，設（設制錯位）得（錯位相減）再利用等比數列的求和公式得：。練習：求數列前n項的和.解：由題可知，的通項是等差數列2n的通項與等比數列

6、的通項之積設得4、倒序相加法求和這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.5、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.例10求數列的前n項和：，解：設將其每一項拆開再重新組合得（分組）當a1時，（分組求和）當時，6、裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）（1）為等差數列，（2）例11求數列的前n項和.解：設，則例12在數列an中，又，求數列bn的前n項的和.解：數列bn的前n項和：練習：1已知數列的前項和為，且滿足。求數