1、 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義 引入 中國(guó)跳水皇后郭晶晶在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,平均速度不一定能反映她在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用瞬時(shí)速度描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài).我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.那么，如何求瞬時(shí)速度呢？ 解讀 1、導(dǎo)數(shù)的概念 （1）函數(shù)的平均變化率：一般地，已知函數(shù)，)xf(y?，是其定義域內(nèi)不xx10同的兩點(diǎn)，記，則當(dāng))(x)?f?f(x?x?y?y?y?f(x)f(x)?x?x?x?x?001001100f(x?x)?f(x)?y稱作函數(shù)在區(qū)間時(shí)，商)x?f(y（或）00xx,x?x,x?x? 0000?x?x的平均變化率 注：這里，可為正值，也可為負(fù)值但，可以為 00?x?xyy?（2

2、）函數(shù)的瞬時(shí)變化率、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)在)(xy?f附近有定義，當(dāng)自x0變量在附近改變量為時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)的改變 )f(xx(?x)x?x?y?fx?000f(x?x)?f(x)y?趨近于一個(gè)常數(shù)趨近于如果當(dāng)時(shí)，（平均變化率也l0x?00? ?x?x就是說(shuō)平均變化率與某個(gè)常數(shù)的差的絕對(duì)值越來(lái)越小，可以小于任意小的正數(shù)），l那么常數(shù)稱為函數(shù)在點(diǎn)l)xf(的瞬時(shí)變化率 x0f(x?x)?f(x)趨近于常數(shù)”可以用符號(hào)“”記作： ?l趨近于零時(shí)，當(dāng)“x?00 ?x f(x?x)?f(x)f(x?x)?f(x)”，或記作時(shí)，“當(dāng)“”，符號(hào)“”?0x?0000llim?l? ?x?x0?x讀作“趨近于”

3、函數(shù)在的瞬時(shí)變化率，通常稱為在處的導(dǎo)數(shù)，并記作 ?)(x?xxxf)xf(000這時(shí)又稱在)xf(處是可導(dǎo)的于是上述變化過(guò)程，可以記作“當(dāng)時(shí)，x?x0?x0f(x?x)?f(x)f(x?x)?f(x)”或“” ?0000)?f(x)fx(lim 00?x?x0?x?（3）可導(dǎo)與導(dǎo)函數(shù)：如果在開(kāi)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的，則稱在)(x(x)f(a,bf區(qū)間可導(dǎo)這樣，對(duì)開(kāi)區(qū)間 內(nèi)每個(gè)值，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)x)ba(a,b),(于是，在區(qū)間內(nèi)，構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我們把這 個(gè)函數(shù)稱為?)(a,b)fx(x)f函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記為或（或） ?y)f(y?f(x)xyx導(dǎo)函數(shù)通常簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)如果不特別指明求某一點(diǎn)

4、的導(dǎo)數(shù)，那么求導(dǎo)數(shù)指的就是求導(dǎo)函數(shù) 2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 （1）.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè)函數(shù)的圖象如圖)x?f(yy D為過(guò)點(diǎn)所示AB與)x(x?)B(x?x,f,A(xf(xB0000A是斜率割線由此割線的的一條C)?x)?f(xf(x?y?，可知曲線割線的斜率就是函00? xx?xxOx0轉(zhuǎn)動(dòng)，它的最終位置為繞點(diǎn)沿曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，割線數(shù)的平均變化率當(dāng)點(diǎn)AABBA)x?f()?f(x?x的即切線的切線，這條直線直線，叫做此曲線過(guò)點(diǎn)ADADADA00?lim x?0?x 斜率過(guò)點(diǎn)由導(dǎo)數(shù)意義可知，曲線)(?yfx? 的切線的斜率等于)fxf,(xx(000 .2（）求曲線的切線方程 若曲線在點(diǎn))xf(

5、y?及其附近有意義，給橫坐標(biāo)一個(gè)增量，相x)P(x,yx000 應(yīng)的縱坐標(biāo)也有一個(gè)增量，對(duì)應(yīng)的點(diǎn).則)yx,y?f(x)?Q(xxy?f(?x)?PQ0000 為曲線的割線.當(dāng)時(shí),如果割線 趨近于一確定的直線，0x?PQPQ?fy?(x) y就趨近于切線則這條確定的直線即為曲線的切線.當(dāng)然，此時(shí)割線的斜率PQ x 的斜率. 切線的方程為. )?xk(xy?y?00探究 '（xy）類型一、求曲線在點(diǎn)的切線：)f(xy?y?y?f(x)(x?x) 00,000 ）y（x的切線：過(guò)點(diǎn)類型二、求曲線)xy?f(00, ）y（x；步驟一：設(shè)切點(diǎn)11,y?f(x)?11 ；步驟二：聯(lián)立方程組解出x

6、?1'y?y?f(x)(x?x)?11000'(x)(x?yy?fx)步驟三：寫出切線方程. 001歸納總結(jié) 1、導(dǎo)數(shù)的概念 f(x?x)?f(x)叫函數(shù)在)xf(y?00x?xlim)x?f(處的導(dǎo)數(shù)，記作 00?x0?x?|y . xx?0注意： 函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)x的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在. 0?x趨近于0可正、可負(fù)、但不為0在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，而可能為0. y? ?y?xx范圍內(nèi)的平均變化率，它的幾何意義是過(guò)在是函數(shù)對(duì)自變量)(xfy? x?上點(diǎn)（曲線)(xy?fx?. ，）及點(diǎn)（+）的割線斜率)x?xf(xx)f(x00000)(x)?f?f(x?x在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是函數(shù))x?

7、f(y?00lim)f?(x它的處瞬時(shí)變化率，x 00x?0x?在反映的函數(shù))x?f(y上它的幾何意義是曲線點(diǎn)處變化的快慢程度，x)f(xy?0點(diǎn)（. ）處的切線的斜率，)(xxf00)xf(?x?x)?f(在點(diǎn)若極限不存在，則稱函數(shù))(xy?f00lim. 處不可導(dǎo)x 0x?0?x在開(kāi)區(qū)內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)在開(kāi)區(qū)間如果函數(shù))ba,()xy)?f(y?f(x?)xf(x，從間，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)內(nèi)可導(dǎo)；此時(shí)對(duì)于每一個(gè))b(a,b)a,?)fxf(x)內(nèi)而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)在開(kāi)區(qū)間，稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)),b(a)xy?f(. 的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)就是求導(dǎo)函這要加以區(qū)分：求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)

8、數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù)，. 數(shù)；求一個(gè)函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)值 2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義在函數(shù))xf(?xx?)fx(在其上點(diǎn)的幾何意義：曲線處的導(dǎo)數(shù))xf:y?(C00xP()y（切點(diǎn)在切線上、切點(diǎn)是關(guān)鍵.，用導(dǎo)數(shù)研究切線問(wèn)題，處的切線的斜率00. 切點(diǎn)在曲線上、切點(diǎn)橫坐標(biāo)的導(dǎo)函數(shù)值為切線斜率）過(guò)三次曲線的對(duì)稱中心（不難證明三次曲線一定是中心對(duì)稱圖形，,一般地而過(guò)三次曲線上除對(duì)稱中心外的任的切線有且僅有一條；且對(duì)稱中心在曲線上）. 一點(diǎn)的切線有二條 以下給出簡(jiǎn)單證明（不要求學(xué)生掌握）： 由于三次曲線都是中心對(duì)稱曲線，因此，將其對(duì)稱中心移至坐標(biāo)原點(diǎn)便可將三次函數(shù)的解析式簡(jiǎn)化為fx?ax?bx

9、3. )(?若3yM，x上的任一點(diǎn)，是三次曲線 bx?ax?f(x)11?M相切于設(shè)過(guò)的切線與曲線xy?f， yx,00則切線方程為()()?， xxfx?y?y?000M在此切線上，故因?yàn)辄c(diǎn)()()?， xx?xy?y?f0110033又bx?,y?ax?yax?bx ，110010)()3)(233所以xx?ax?bx?ax?bxb?ax ，0010110整理得：()(2)02， ?xxxx?1100x解得，1?x?. 或xx? 0102xM是對(duì)稱中心即當(dāng)點(diǎn)1x=0時(shí)，過(guò)點(diǎn)=-作曲線的切線切點(diǎn)是惟一的，且為，MM 12 故只有一條切線；0M不是對(duì)稱中心即當(dāng)點(diǎn)?xM作曲線的切線可產(chǎn)生兩個(gè)不同

10、的切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)時(shí)，1MM處）的切線. 故必有兩條切線，其中一條就是以為切點(diǎn)（亦即曲線在點(diǎn) 典例精講 一選擇題（共20小題） 1（2017秋?涼州區(qū)校級(jí)期末）在平均變化率的定義中，自變量的增量x滿足（ ） Ax0 Bx0 Cx=0 Dx0 ）的增大，增長(zhǎng)速度最快的0x（x（22017秋?河西區(qū)期末）下列函數(shù)中，隨 ）是（ xx BAy=1 D y=x Cy=2y=e t的單位是米，其中s2tt+s=120183（春?鶴壁期末）個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為 5）秒末的瞬時(shí)速度是（ 的單位是秒，那么物體在 B秒米A6/秒 米9 秒/8C秒/米7 米D/ 的平均變化率分在01，2=x春（42018?）（，=x）（

11、海淀區(qū)期中）函數(shù)fxgx m，m別記為） ，則下面結(jié)論正確的是（ 21 =mAmBm m 2112，m的大小無(wú)法確定 mmmCD 2211 5（2014?上城區(qū)校級(jí)一模）如圖，函數(shù)y=f（x）在A，B兩點(diǎn)間的平均變化率是（ ） 2 2 DCBA1 1 ）的函數(shù)值的改變量與自變量的改（x6（2017春?孝感期中）我們常用函數(shù)y=f時(shí)，函數(shù)值的改x變量的比值來(lái)表示平均變化率，當(dāng)自變量x由x改變到x+00 變量y等于（ ） x +）x f（BxAf（+x）00 x）Df（x ）?x）fx（+xCf（000 2+2Q（）及鄰近點(diǎn)（y=x?春東莞市校級(jí)月考）在曲線+x上取點(diǎn)P2，67（2015 ）（ 為

12、 ，那么x，y）6+ 225 +x C+Ax2 ）+）+D3x（x B2x（x ）的幾何意義表示（ ）x樂(lè)都區(qū)校級(jí)期末）春2016（8?f（0 A曲線的切線 曲線的切線的斜率B ）的切線的斜率（曲線Cy=fx ，f（x）處切線的斜率 xD曲線y=f（x）在點(diǎn)（00 的值處可導(dǎo)， x）在2014春?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)f（x9（0 為（ ）Bf（x） Cf（x） Df（） x） xfA（00 f' ，則 時(shí)，（2018春?龍巖期中）設(shè)（f當(dāng)h0x）是可導(dǎo)函數(shù)，10 （x）=（ ） 0 D 2 BA2 C 等于（ ） ）潮州校級(jí)月考）若2016春?f（x=3，則（11 B CA3 1 D

13、1 處的瞬2x=（）在xfx=x）+10，則（f?201812（春杏花嶺區(qū)校級(jí)月考）已知 時(shí)變化率是（ ） A3 B3 C2 D2 與的 201713（春x（y=f則）的圖象如圖，已知函數(shù)石河子校級(jí)月考）? （關(guān)系是： ） B A D不能確定 C ）的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確g14（2016春?臨汾校級(jí)期中）函數(shù)（x 的是（ ） g（2）（3）g（3）gA0（2）g 2） （2）g（）gB0（3）g（3g 3g（）2）g（3g（2）gC0（ （3）g（2）gggD0（3）（2） 、的圖象如圖所示，且點(diǎn)A2=xf201415（秋?花垣縣校級(jí)期中）已知函數(shù)（x） 在哪點(diǎn)附近增長(zhǎng)最快（ ）2=

14、x、BC（在圖象上，問(wèn)函數(shù)D、fx） 點(diǎn)DC點(diǎn) DBBAA點(diǎn) 點(diǎn) C 3，則）= ）（x=（ 201416（秋?公主嶺市校級(jí)月考）若f0 12 D6 C9 A3 B ，若 =）2014（春?渝水區(qū)校級(jí)月考）物體自由落體運(yùn)動(dòng)方程為s（t17 ）=g=9.8m/s，那么下面說(shuō)法正確的是（ 這段時(shí)間內(nèi)的平均速度 9.8m/s是01sA t）s這段時(shí)間內(nèi)的速度1B9.8m/s是從1s到（+ t=1s這一時(shí)刻的速度C9.8m/s是物體在 這段時(shí)間內(nèi)的平均速度到（1+t）s1sD9.8m/s是物體從 ）的切線斜率是，2在點(diǎn)（3x23y=x秋（2016?沙河市校級(jí)期末）（文）曲線18 ）（ 9 6 B1 AC3 D 圖象上一點(diǎn)（2，2）及=秋?龍華區(qū)校級(jí)期末）過(guò)曲線y=f（x）19（2017 鄰近一點(diǎn)（2+x，2+y）作割線，則當(dāng)x=0.5時(shí)割線的斜率為（ ） D1 B CA =（ 則 ） ，）=2，f（x）=22014?20（開(kāi)福區(qū)校級(jí)模擬）已知f（3 B6 C8 D不存在A4 2（位移單位：米，時(shí)間單蘇州期末）一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s=t+1021（2015秋? 位：秒），則該質(zhì)點(diǎn)在t=3秒的瞬時(shí)速度為 ）處的切線的傾斜角，3在點(diǎn)（13x春22（2016?廣豐區(qū)校級(jí)期