1、對癥下藥選B y-L=,1 =? = ".I (1-/X1 + /)22 2.z二7T的共規復數是 1I2 23.(典型例題)已知復數z產3+4i, Z2=t+i且了二；是實數，則實數t二()考場錯解選 C Yzl q WR= + ziz2 =00 即(3+4i) (t-i)+(3-4i)(t+i)=0nt=-士.專家把脈.z£Ro £=z.z為純虛數oz+£=0(zW0)因此上而解答應用的是Z為純虛數的充根條件，因而求出的t是z：7；為純虛數的結果，顯然是錯誤的。 一對診下藥解法 1： Z1與二(3+4i) (t-i)= (3-4i)(t+i),.2石

2、為實數，.*.4t-3=0, t=1.解法 2： V Z1Z2 ，ZiZ2 二型2(3+4i) (t-i)=(3-4i)(t+i)n (3t+4) +(4t-3)i=(3t+4)+(3-4t)in 4t-3=3-4t=> t=.44.(典型例題)已知z是復數，z+2i, 3T均為實數(i為虛數單位)，且復數(2+ai) 2 2-/在復平面上對應的點在第一象限。求實數a的取值范圍。考場錯解設 z=x+yi (x, yGR), V z+2i=x+ (y+2) i由題意得y=-2. 上=匚3 = ! (x+2) (2+i) = l (2x+2) + l (x-4)i.2-i 2 - /555由

3、題意得x=4, Az=4-2i.V (z+ai)-=4+(a-2)ic=(12+4a-a:)+8(a-2)i .(z+ai尸在復平面上的點在第一象限，2 + 4。一八0;解得2.忘6.8(。-2)2 0. * 實數a的取值范圍是2, 6。專家把脈復數2'+歷匕、1)£0對應點3、K)在第一象限的充要條件是2>0,0.a=0對應點在虛軸上：b=0對應點在實軸上，不屬于任何象限，因此，aH2, bW6。對癥下藥設 z=x+yi(x、y£R).Vz+2i=x+(y+2)i由題意得，廠-2.又二工=:Ct，=)(2x+2) + l (x-4)i.2-/ (2-iX2

4、+ i) 55由題意得：x=4, z=4-2i.V (z+ai)*=(12+4a-a-,)+8 (a-2) i根據條件，可知！解得2<a<6. (8(a>2)>0實數a的取值范圍是(2, 6)0專家會診1 .深刻理解復數、實數、虛數、純虛數、模、輻角、輻角主值、共筑復數的概念和得數的幾何表示一一復數z=a+bi(a,b£R)與復平而內的點(a、b)及向量而是一一對應的，在對概念的理解時要善于利用數形結合的思想，如純虛數與虛軸上的點對應，實 數與實軸上的點對應，復數的模表示復數對應的點到原點的距離。2 .要善于掌握化虛為實的轉化方法，即設復數z=a+bi(a,b

5、£R),但有時給許多問題的求 解帶來不必要的運算困難，而若把握復數的整體性質運用整體運算的思想方法，則能 事半功倍，同時要注意復數幾何意義的應用。考場思維訓練1若復數"(aWR, i為虛數單位)是純虛數，則實數a的值為 () 1 + 2/A. -2B. 4答 案 ：C. -6D. 6C解 析 + 3i _ ( + 3/)(1-2/) _。+ + (3-2" 1 + 2/ " (1 + 20(1-2/)5a + b 3 - 2。+552復數z二含-，在復平而內,Z所對應的點在()A.第一象限C.第三象限答案=0解得。=一6.5B.第二象限D.第四象限B解z

6、= - -I = T + ' - I = 一三=一生二 = T + "Z所對應的點在第二象限內選8 1 + i 1+z I + i 1 + 13設復數z滿足上£ = i,則1+z=()1 + zA. 0 B. 1C. 42 D. 2答案：C解析：由上£ = J.z = ± =，=T1+z1+，2A |l+z| = |l-i| = 712 + 12 =選C4已知復數z,滿足（l+i）z產-l+5i, aKa-2-i.其中i為虛數單位，aGRo若|zl-77,求a的取值范圍。答案：解：由題意得 Z=；=2 + 3,.于是 I Z -z2 1T 4-a

7、 + 2i 1=+4. I Z 1= V13?由 J(4-a)2 + 4 < 必得/_80 + 7<0./. l<a<7.命題角度2復數的代數形式及運算L （典型例題I）復數與匚二1-V2；A. iB. -iC. -2 拒-iD. -2V2+i考場錯解選c.V2-/3 氏-i (V2-/X1 + V2；) 2V2+1 ” . 7=- = =- = = = - L1 - V2/ 1-V2/1-2-1專家把脈上面解答錯誤認為f=L導致結果錯誤。對癥下藥A解法1： 與二浮.=<、'*- + ?)=、E + 2"Y1-72/ l-y2i (1-圓 1 +

8、3解法2：拒 3 = 6+ i = 6+ i = 1 =： 1-V2； - 5J+ 拒)- 7 i2.（典型例題）復數空號的值是（）B. 16A. -16C. -D. 8-8J3i4考場錯解選D。.（一1 +廚色"9 爭平墟=25（鬲 eg1 + 技 l + "i1 +舊i4選Do專家把脈上面解答似乎很有“道理”，但（+亭）5= （1 +9）*是錯誤的寸二（Z在數范 闈內，必須是m、n均正整數時才成立，這一錯誤是機械地照搬實數集中分數指數靠運算法 則，所以對于數學中的有關定理、定義、法則、性質等，在應用時，必須注意成立的條件， 否則會產生錯誤。25(!- + i)5 /o

9、5>>5 51A對癥下藥選A。原式二一2_4- = ¥ = H2L = -16(令卬= + /).1 J3 -2w -2ww2221亍力3滿足條件1z-i = 3+4i的復數z在復平而上對應點的軌跡是()A. 一條直線B.兩條直線C.圓D.橢圓考場錯解選A。由z-i=3+4i 1知z在復平面上對應的圖形是點(0, 1)和(3, 4) 的垂直平分線。專家把脈上面解答把條件看成z-i|二z-(3+4i) .這類型題應用復數的代數形式 z=x+yi(x,y£R)代入計算才能確定答案。對癥下藥選Co設z=乂+丫久4丫£0代入2小=3+4i中計算得J1 + (y

10、-l)2=5.即 xs+(y-l):=25.z的軌跡是表示以(0, 1)為圓心，以5為半徑的圓，選C。4. (05,上海卷)證明：在復數范圍內，方程1z+(bi) £-(l+i)z=W(i為虛數單 位)無解。考場錯解1z| = |/,原方程化簡為:兩邊取模的：=加.，z-2i z；、仿 n z :一9=2i z。 iz! GR.z-、仿£R而2i z；為純虛數或0。當|z|=00顯然不成立；當2i|z為純虛數，也不成立。綜合得：原方程無解。專家把脈以上解答錯在兩邊取模的計算,因為|z1+Z2| = |Za| + |Z2|,只有當z尸入Z2(人£ R+)時成立，而從

11、題設條件中是無法得到這一條件的。對癥下藥原方程化簡為|z+ (l-i) Z- (1+i) z=l-3i.設z=x+yi (x, y £ R),代入上述方程得：x:+y:-2x i -2y i=1-3 i)，2 = i (i) +2y = 3(2)將(2)代入(1),整理得 8x2-12x+5=0(*) =-16<0,.方程(*)無實數解。 .原方程在復數范圍內無解。專家會診1 .復數的加、減、乘、除運算一般用代數形式進行2 .求解計算時，要充分利用i、w的性質，可適當變形，創造條件，從而轉化i、w轉化的計算問題。3 .在復數的求解過程中，要注意復數整體思想的把握和運用。 考場思

12、維訓練1 + iA. -2-iC. 2-i答案：C解析:4 (1+ 2i) _()B. -2+iD. 2+i+= (1)2(1+ 2i) = -2i(l + 2i) = 2 _-Ui - =+=2= 一 -2 z=i+i'+i'+i'的值是()A. -1 B. 0 C. 1D. i答案：B 解析：z=i+i2+i3+l4=i-l-i+l=0.3 (三% 2=1 + 1答案：一"+,解析：(上回)2=匚與叵=力+工 1 +，2/4 已知復數 z=l+i,求實數 a、b,使 az+2b2 = (a+2z)3.答案：解：；z=l+i,代入 az+2bz = S +

13、2z)2中 得 a(l+i)+2b(l-i)=(a+2+2i)2RP a+2b-(a+2)2+4+(-3a-2b-8)i=0.a + 2力 一 (a + 2 + 4 = 0.4-3。-2 = +8解得或J:=: p = -1. I p = 25設i是虛數單位，復數z和w滿足zw+2iz-2iw+l=0(1)若z和w又滿足£-z=2i,求z和w值。答案：v w-z = 2/,/. z = w-2i 代入zw，+2iz-2iw+I =2/*Xu + 2/)-2nv+1 = 0 :.w卬-4iw+ 2nv + 5 = 0.設卬=,v+ M(x,y e R),則上式可變為。+ wXa - y

14、i)-4/(a + yi) + 2i(x-yi) + 5 = 0 = x2 + y2 + 6y + 5-2.U = 0.廠 + 6y + 5 = 0.,-2x = 0 x = 0 x = 0, 我，v = -1 v = -5:.n* = -i, z = -i或w = -5i, z = 3/.(2)求證：如果z尸國那么，7i的值是一個常數，并求這個常數。答案：由 wz+2iz-2iw+l=0有 z(w+2i)=2iw-lA |z| |w+2i| = |2iw-l|設w=x+yi,則有I 卬 + 2i l=l.r + (y + 2)/1=+= Jx ;一個復數是虛數的充要條件是虛部非0。 + y2

15、 +4y + 4I 2hv-lH -2y-l + 2xi 1= J(2y+l)2+4x2 =+4/+ 4y +1又|z|=3,故式可變為3(x2+y2+4y+4)=4x2+4y2+4y+l/Ax2+y2-8y=ll. .I 吁4/ l=U + (y - 4)/1= Jd + d)，=x2 + y2 -8y +16=J16 + 11 =3/，3-4i I的值是常數.且等于3"!探究開放題預測預測角度1復數概念的應用下列命題中：(1)兩個復數不能比較大小：(2)若z=a+bi,則當且僅當a=O,bKO時，z為純虛數；(3) (zl-z2) 2+ (z2-z3) 2=0,則 zl=z2二z

16、3；(4) x+yi=l+io x=y=l;(5)若實數a與ai對應，則實數集與純虛集一一對應。其中正確的命題的個數是()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解題思路關鍵是理解復數及其有關的概念，證明它們之間的關系，若對復數概念理解不 透徹，導致判斷失誤。解答選A都不正確：(1)因為當兩個復數是實數時，可以比較大小： (2)若 b=i 時，則有 z=0+i三-1CR。(3)只有當Z】、Z2、Z30R時，命題才成立，當Z1=l, Z2=0, Z2=i滿足條件，故結論不成立。(4)只有當x、y£R時，命題才正確。(5)若a=0,則a-i=0,不再是純虛數。2.復數 z=log2(Z2-

17、3x-3)+ilog2(x-3),當 x 為何實數時。(1)zGR； (2) z為虛數；(3)z為純虛數；(4)z =log449-i; (5)在復平而上z的對應點們 于第三象限。解題思路討論此類問題時，首先將原式化為復數z=a+bi(a,b£R)的形式，然后根據復數的 分類求解。解答(1)一個復數是實數的充要條件是虛部為0,解得x=4，當旃4時，xGR.log2(x-3) = 01-3x 3 > 0解得士上<x<4或x>4log2(x-3) 02即x£(上?口，4) U(4,+ 8)時，Z為虛數0(3) ;一個復數是純虛數，則其實部為零且虛部不為零

18、。.瓜2(”-3八-3) = 0解得女，即工不存在。 log2(A -3)* 0.(4) logo(x,-3x-3)-ilogKx-3)=log49-i,根據兩個復數相等的條件:log2(.x - 3x - 3) = log4 49log2(.v-3) = 1解得 x=5,當 x=5 時，z=log：49-i.(5)依題意有P°g2"7"3)<° log2(x-3)<0解得匕舁_ <x<4.當匕E，<x<4時，復數z對應的點位于第三象限。預測角度2復數的代數形式及運算1 .計算：(1)(2 + 之：(2) (1-V3O

19、5解題思路利用w的性質和干的周期性進行運算。解答(1)原式二=正=包;=2-2(，+無。=-1+后I V3 <-2»v62 22(二了)(2 )原式二"：+綁 + (目-,1003 = ; + 得產=;+ (,/)1003 = 2/2 .設復數 zJl + i：+3(l 乙若 z'+az+b=l+i,求實數 a、b 的值。解題思路與實數集中求值問題類似，應先化簡后代入求值。角星及z(I + ,廣 +3(1 _,)_ 2i + 3(1 I) _ 3 _ j _ (3-/)(2 - /) _ 5 5/ .'27i= -2i-=277=(2 + /X2-/)

20、=-5-= 一”將 z=l-i 代入 z'+az+b= 1+i 得(l-i) '+a(l-i)+b=l+i即(a+b)-(a+b)i=l+i'解得上7一(。+ 2) = 1. b = 43.若 z£c,且|z+2-2i|=l,則|z+2.2i|的了小值是 ()A. 2B. 3C. 4D. 5解題思路運用數形結合的思想求解。解答B V| z+2-2i|=lz即 | z-(2+2i)| =1.點Z的軌跡是以(-2, 2)為圓心,以1為半徑的圓向(2+2巾表示圓上一點到定點人(2, 2 )的最小距離 | AP | = | AC | -1二 J(2 + 2/+()2

21、_ =4-1=3。4設z是虛數，w=z+L為實數，且1yw<2.z(1)求|z|的值及Z的實部的取值范圍。(2)設"二，求證：u為純虛數。1 + z求W-U二的最小值。解題思路設z=2+尻匕/£口力/0)代入卬整理為后工+丫1形式w是實數的條件去創造等 量關系。解答(1)設 Z=a+bi(a,b£R,bKO)w=a+bi+ X = (a + J :r) + (b - J° +歷a2 +1/a2b2w是實數，bHO.，a'+bJl,即 z =lo，z的實部的取值范圍是(-1, 1)/ ci _1 - Z 1 a bi (1- a Z?i) (

22、1 + a bi) 1 ，一'2b .(.，) -0M,1 + Z l+a + 而 (l + a + i) (1 + « 加)(l + a)2+廬a + 1又,二£(1,1), bWO,，u為純虛數。(3) w-u'=2a+ ”- =2+一'二，=2a +j = =，-l +上= 2(a + l) +上一322x2-3 = 1.3 + 1廣(a + 1)-1 + "" + 1" + 1A2(a+1) = BP a=0 £(,1)時，上式等號成立。 a +12，W-U二的最小值為lo考點高分解題綜合訓練1 已知復

23、數 Z：=3+4i, z=l+i,則 ZZ；等于 ()A. 7+i B. 7-i C. l-7i D. l+7i答案：A 解析：由 Z2=l+I 得 W = l-i,于是qW = (3 + 4iXli) = 7 + i.2在復平而內，設向量二(%, yj,石二 (x?, y?),設復數Zkx廿yd(x-劭y£R)則元石等于 ()B. ZZc-ZiZ?C. 1 石)D. 1 ( zZ3+Z1z7 ) 答案：D 解析：（笊2 + ziZ2）=一）巾）（勾 + 刀）+（陽 + H）（.n -y2r）= A|.r2 + »光=6 %3若復數Z滿足N+1=；Z-i ,則Z在復平面所對

24、應的點集合構成的圖形是（）A.圓B,直線 C.橢圓D.雙曲線答案：B解析：|z+l|表示z對應的點到（-3 0）的距離，|z-i|表示z到對應的點到點（0,1） 的距離，,. |z+l| = |z-i|表示復平面內到（-1,0）和（0,1）距離相等的點的軌跡，即點91,0）和（0,1）連結的垂直 平分線，選B4設復數Z滿足（Z+i）-Z=l-2i則復數Z對應的點位于復平面內（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答 案：A 解 析： 由 （2+i）z=l-2i3/3=_i. 可 得1 + 2（l + 2iX2-i）4 + 3/43.江心，內片/4z=7 = = ' = =

25、+ 丁八二z對應的息（=,二）位于第一象限選Az + i（2 + /）（2-/）55353(1 鬲2 二第40頁共67頁A.+iB. V3-iC. - VJ +i D. - VJ -i答案：C解析：與叵1 =乎叵7選c g-i6-i6 （言4+（各的值為（）A. 2B. -2COD. 1答案：B解析：（總產+（與）4=； +，_ = ± +.=_2.1 +， It （l + i）4 （l-/）4 -（-2/）27當Z二二1時，Z.+Z*l的值等于 （）42A. i B. -i C. 1 D. -1答案：B解析：.1=(*)2=?=-京=-1.:.Z100 + 產 +1 = (z4)2

26、5 + H)25 +1 + (T)24(T) +1 = T8己知Zk.否=2.，中Z227的值是()3-i - 2-：A. 10B. 110C. MD.巫10答案:B解析:, _l + 2i Zl 3-j(l + 2iX3 + i) _ l + 7i io io-1-7/(l-7iX2 + i) 9-13/乂 句=15 = -50 = MI Z2 P=Z2Z2 ='9定義運算"二&右卜,若復數2內+、6(羽丫£田滿足2 :的模等于x,則復數Z對應的點Z C dI I(x.y)的軌跡方程為.答案：)，2 =2(工一,).解析：lz-II=xn(x-l)2 +

27、y2 = J n y2 =2(a_J_)2210 (b/i) °的展開式中所有奇數項的和為.答案：-2。解析v (1-西卅=1-或5+ %(同產一場(族廣+二(1-同°的展開式中奇數項之和為豆數(1-圖1°的實部.又(1-4嚴=-2(= +苧嚴=2%4° = 2%，= 2叫-g +苧)=-29，(1-4i)，。的展開式中各奇數項和為-2久 11已知/二5-12l 求f(z)=z-L的值。答案：解：設*z+yi(xly£R),則 z?=(x+yi) 2=x2-y2+2xyi 由題設得 x2-y2+2xyi=5-12i. f.v2-y2 = 5 =

28、2xv = -12解得、x = 3-2或x = -3)'=2z=3-2i 或 z=-3+2i/z=13.當 z=3-2i 時,f(z)=j|(3-2i).當z=-3+2i時，f(z)=-H(3-2i)12設復數z滿足z=5,且(3+4i) z在復平而上對應的點在第二、四象限的角平分線上, y2z -ni -5yf2 (m£ R) .求z和m的值。答案：解:設 z=x+yi(x,y£R),又 |z|二5。即x?+y2=25,又(3+4i) z=(3+4i，+yi)=(3x-4%(4x+3yi)的角平分線上,則它的實部和虛部互為相 反數，3x-4y+4x+3y=0,化簡

29、得 y=7x.±(條咯)貝lj 當 2=芋 + 時，| Ji z-m| = | l+7i-m|=5 J2 . 即(1-m) 2+72=50,解得 m=0 或 2.當z=-(史+2i )時，同理可求得m=0或2 22當-也+時,m=0.2當-正時m=0. 99綜上m的值為：0, 2, 2高考數學高頻易錯題舉例解析高中數學中有許多題目，求解的思路不難，但解題時，對某些特殊情形的討論，卻很容 易被忽略。也就是在轉化過程中，沒有注意轉化的等價性，會經常出現錯誤。本文通過幾個 例子，剖析致錯原因，希望能對同學們的學習有所幫助。加強思維的嚴密性訓練，忽視等價性變形，導致錯誤。 x>0y&g

30、t;0 =贏叱但X>1 . . X+ />3 ,y>2 Jxy>2不等價,Y【例 1】已知f(x) = ax+石，S-3</(l)<0, 3</(2)<6,求/(3)的范圍。'-3Wa + b <0錯誤解法由條件得( b3<2a + - <6X2-6 <6/<15Q K9X2-得一2<上一二3 33+得+ 匯，g|j!2< /(3)<.33333r錯誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數f(x) = ax + -, b其值是同時受。和制約的。當。取最大(小)值時，不一定

31、取最大(小)值，因而整個解題思路是錯誤的。f(1) = a + b正確解法由題意有1.b,解得：/ (2) = 2a + “=:12/(2) - /(I), b = |2/(1) -/(2),二. J (3) = 3a + = /(2) 把 J'(l)和 /(2)的范惘代入得< /(3) < .在本題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎知識，才能反思性地看問題.忽視隱含條件，導致結果錯誤。【例2】(1)設。、夕是方程-2h+&+ 6 = 0的兩個實根，則(。-1尸+(n-1)2的最小值是 49(A) -一 (B) 8(

32、C) 18(D)不存在4思路分析本例只有一個答案正確，設了 3個陷阱，很容易上當。利用一元二次方程根與系數的關系易得：a + /3 = 2k,ap=k + 6.(a 1)2 +(4一 1)2-2。+ 1 + /2 -24+ 1= (a + /?)2 _20夕_2(2 + 夕)+ 23、) 49=4/一7)_一丁4449有的學生一看到-二，常受選擇答案(A)的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思4性的體現。如果能以反思性的態度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區別，就能從中選 出正確答案。/原方程有兩個實根c、B，：. A = 4k2-4(k + 6)>0 = k<-2 或kN3.當上

33、23時，(2 1)2+(夕一1)2的最小值是8:當左«2時，(a -1)2+(夕- 1)2的最小值是18.這時就可以作出正確選擇，只有(B)正確。(2)已知僅+2產+竽=1,求x2+y2的取值范圍。o 28錯解 由已知得 y2=-4x2-16x-12,因此 x2+y2= -3x2-16x-12= -3(x+ - )2+,3，當x=Y 時，x2+y2有最大值等，即x2+y2的取值范圍是(一8,等。 ooo分析沒有注意X的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。事實上，由于(x+2)2+ ? =1 =(x+2)2=1 f W1 = - 3WxW 1,從而當x=-1時x2+y2有最小值1

34、。.x2+y2的取值范圍是1,穿。注意有界性：偶次方x220,三角函數一 1Wsinx<1,指數函數ax>0,圓錐曲線有界性等©忽視不等式中等號成立的條件，導致結果錯誤。例3已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ 產的最小值。錯解(a+L)2+(b+_L)2=a2+b2+，+ -V+422ab+工+424帥+4=8, a bcT b.ah V ab，(a+L)2+(b+L)2 的最小值是 8. a b分析上而的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2*ab,第一次等號成立的條件是a=b=l, 2第二次等號成立的條件是ab=-L,顯然，這

35、兩個條件是不能同時成立的.因此，8不 ab是最小值。事實上，原式=a2+b2+4 f+4=( a2+b2)+()+4=(a+b)2-2ab+( - + - )2-acr lra b= (1-2ab)(1 +)+4.由 abW("勺2=J_ 得：i-2ab21-L = L 且"216, 1 +-217, 242 2crlr1251，原式2x17+4=(當且僅當a=b=時，等號成立)， 22211OR(a+ )2 + (b+ )2的最小值是年o ab乙不進行分類討論，導致錯誤【例4】已知數列明的前項和S. =2"+1,求明.錯誤解法 %= S“ Sn_1=(2n+1)

36、-(2H-1 +1) = 2" = 2"？錯誤分析 顯然，當 =1時，/ =SI =3工21=1。錯誤原因：沒有注意公式“=S“ -S,i成立的條件是。 5 = 1)因此在運用勺 =S“ S,i時，必須檢驗 =1時的情形。即：氏 =1 1”S” (之 2,eN)(2)實數a為何值時，圓/ +),2 -2ax + a2- = 0與拋物線y?=1x有兩個公共點。2錯誤解法 將圓/+'2-2,d+ 2-1=0與拋物線)，2=_Lx聯立，消去y,2得 x2 -(2a-)x + a2 -1 = 0 (x > 0).A = 0因為有兩個公共點，所以方程有兩個相等正根，得1

37、172。 >0,解之得=一286/2 -1 > 0.錯誤分析 （如圖221； 2-2-2）顯然，當。=0時，圓與拋物線有兩個公共點。要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程有一正根、一負根：或有兩個相等正根。a>0 當方程有一正根、一負根時，得， 解之，得Ivavl. cr -1 <0. 17i因此，當4 =9或一 1 V。v 1時，圓/+y2+-1 = 0與拋物線y2二5入有兩個公共點。思考題：實數。為何值時，圓/+y22ax + 2i = o與拋物線/ =gx, （1）有一個公共點；（2）有三個公共點：（3）有四個公共點：（4）沒有公共點。以偏概全，導致錯誤以偏概全

38、是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案, 從而表現出思維的不嚴密性。【例5】（1）設等比數列“的全項和為S .若S3+S6=2Sg,求數列的公比外錯誤解法， S，+S6=2S-.色:二,一）+色（1 二 J）=2一"二 1 -g 1 -q1 - q整理得 3（2/一/一1）=03/7由q¥0得方程 2q'、_q'_ =0.（2q3 +l）（q5 -1） = 0,/. q =- 或 q = 12錯誤分析 在錯解中，由"二-"+ 蟲二豈). = 2 4"二J), q T - q1 -q整理得q3(2q6

39、-q3-D =0時，應有和qWl。在等比數列中，4 W0是顯然的，但公比q完全可能為1,因此，在解題時應先討論公比9 = 1的情況，再在9Hl的情況下，對式子進行整理變形。正確解法 若 =1，則有S3 =3可66 =6,Sg =9%.但 W0 ,即得S3 + $6工2s,與題設矛盾，故“H1.又依題意S,+Sl2s,=一八=2"(i")=1 _ qI _ q1 - qq3(2q6-q3-D =0 ,即(2/+ 1)(/-1) = 0,因為夕 ¥1 ,所以 /一1。0,所以,V42q +1 = 0.解得 q =-. 2說明 此題為1996年全國高考文史類數學試題第(

40、21)題，不少考生的解法同錯誤解法， 根據評分標準而痛失2分。(2)求過點(0,1)的直線，使它與拋物線y2 = 2x僅有一個交點。錯誤解法 設所求的過點(0,1)的直線為)，=化工+1，則它與拋物線的交點為y = kx+1?7 9< ,2 ，消去y得(kx+l) -2工=0.整理得 k2x2 +(2k-2)x+=0.直線與拋物線僅有一個交點，. =(),解得攵=g. .所求直線為y = ；x + L錯誤分析此處解法共有三處錯誤：第一，設所求直線為y = &x+1時，沒有考慮攵=0與斜率不存在的情形，實際上就是 承認了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴密的。第二，題中要求直

41、線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法 沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個 交點”的關系理解不透。第三，將直線方程與拋物線方程聯立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以 它的二次項系數不能為零，即kwO,而上述解法沒作考慮，表現出思維不嚴密。正確解法 當所求直線斜率不存在時，即直線垂直x軸，因為過點(0,1),所以x = 0,即)，軸，它正好與拋物線V=2x相切。當所求直線斜率為零時，直線為y=i平行尤軸，它正好與拋物線V =2.丫只有一個 交點。y = kx+1一般地，設所求的過點(0,1)的直線為了=入+1伏

42、5;。),則 ),二攵，2+(2攵-2)x + l = 0.令 = (),解得k= 所求直線為y =x + l.綜上，滿足條件的直線為：y = l, x = 0, y = -x + .2章節易錯訓練題1、已知集合1/1 = 直線, N = 圓,則MAN中元素個數是 A(集合元素的確定性)(A)0e)0或1(C)0 或2 (D)0或1或22、已知 A= x|x2 + fx+1 =0,若 ACR. =,則實數 t 集合 T = o 11一2(空集)3、如果kx?+2kx (k+2)<0恒成立，則實數k的取值范圍是C(等號)(A) - 1WkW0 (B) - 1Wk<0(C) -1<

43、;k<0(D) -1 <k<04、命題A：kl|<3,命題8:(x + 2)(x + ”)VO,若A是B的充分不必要條件，則。的取 值范圍是C(等號)(A) (4,-kx>)(B) 4,4od)(C) (-oo,-4)(D)(一司5、若不等式x2logax<0在(0, g )內恒成立，則實數。的取值范圍是A(等號)(A)焉,1)(B)(1, + oc)(C)點,1)(D) (1 ,1) U(1,2)6、若不等式(- 1)匕<2對于任意正整數n恒成立，則實數。的取值范圍是A(等號)(A) 2, X )(B) (一2,3-23-23(D) (-3, p)7

44、、已知定義在實數集R上的函數/。)滿足:/=1：當x<0時，/(x)<0：對于任意的實數X、y都有/(x+y) = /a)+/(y),證明：/。)為奇函數。(特殊與一般關系)1 2x8、已知函數f(x)= -y ,則函數/ 的單調區間是o遞減區間(-8, 1)和(一1,人+ I+00)(單調性、單調區間)9、函數y= 7 log。.5/一 1)的單調遞增區間是 0 -<2 , -1)(定義域)flog 2(x+2) x>010、已知函數f(x)=xWo ， f(x)的反函數f 1(X)=o(C) (-,-272 )U(272 ,+oc)(D) (-X.-2V2 022

45、,+x)12、若x，0, y20且x+2y=1,那么2x+3產的最小值為B(隱含條件)2XI/A3-48)C)2-3OXIZOv- +4v + 32213、函數y= 、.的值域是c （一8,二）u（二,1）u（1,+8）（定義域）X- +x-65514、函數y = sinx（1 + tan x tan/）的最小正周期是C （定義域）（A） f（B）式（C） 2開（D） 315、己知f（x）是周期為2的奇函數，當xe0,1）時，f（x） = 2',則/（log i_ 23） = D（對 2數運算）23161623（川 16出）23© 23）-1616、已知函數/*） = &qu

46、ot;/+以2-3工在工=±1處取得極值。（1）討論/和/（I）是函數/*）的極大值還是極小值：（2）過點A（。，16）作曲線y = /（x）的切線，求此切線方程。（2004天津）（求極值或最值推理判斷不充分（建議列表）；求過點切線方程，不判斷點是否在曲線上。）心人 , 不、 a/3 rill xsin a cos aJ3 J3 z n17、已知 tan （a-3 片一看則 tan a =_：荻$ % FTW =_» 2 ' 3 （化齊次式）18、若 3 sin 2a + 2 sin 2/3 2 sin a= 0,則 cos 2a + cos2p 的最小值是 。等（

47、隱 含條件)3-419、已知 sind+cosB= ： , 0e (0,吊,則 cot8 = 20、在4ABC中，用a、>c和A、B、C分別表示它的三條邊和三條邊所對的角，若a=2、(A)n(C)或66(D)一或1212° y (三相等)b = 0 A = -9則NB= B(隱含條件) 421、已知a>0 , b>0 , a+b=1,貝ij（a + ：產+ （b +彳產的最小值是.422、已知x工k/r(kwZ),函數y = siUx+ 的最小值是。5 (三相等)7Q23、求)，=一 +一的最小值。 sin- x cos- x錯解 1 )，=+=?sirrx cos

48、- x sin x cos- x I sinxcosxl16I sin 2x I>16v, >min= 16.錯解2QOy = ( + sin2 x) + (； + cos2 x) - 1>2V2+2v8-l = -l + 6V2.sin' xcos" x7Q錯誤分析 在解法1中，y = 16的充要條件是一= 一L且lsin2xl=L sin x cos* x即I tanx l=；且I sinx l= 1.這是自相矛盾的。，ymin W 16.在解法2中，y = -l + 6V2的充要條件是 = sin2 x 且一 = cos2 x, 即 sin 2 x =

49、 V2, cos2 x = 25/2,這是不可 sin- xcos" x能的。正確解法 1 y = 2cse° x + 8sec2 x=2(1 + cot2 x) + 8(l + tan2 x)=10 + 2(cot2 x +4tan2 x)> 10 + 2- 2Vcot2 x -4tan2 x= 18.其中,當 cot2 x = 4tan2 x,即co x = 2時，y = 18. /. ymin = 18.正確解法2取正常數A,易得y = (- + k sin2 x) + ( + A cos2 x) - A sin'xcos* x2 2瘍+ 2版一k =6

50、瘍一 A.其中“牛”取“=”的充要條件是二=ksin2 x且 = kcos2 x, B|han2 x = Hk = 18.sin" xcos. x2因此，當 taifx =，時，y = 6相k = 18,.ymm=18. 224、已知 a = 1, an = an7 +2n 1(n、2),則即=。2n-1(認清項數)25、已知一9、&、42、-1四個實數成等差數列，一9、，、>、為、-1五個實數成等比數列，則02(32 -國)=叔符號)9-8-7 8 89-826、已知an是等比數列,Sn是其前n項和，判斷Sk，S2k-Sk, S3LS2k成等比數列嗎？ 當q二一1,

51、k為偶數時，Sk = 0,則Sk, 82kSk» S3k-S2k不成等比數列；當qW1或q二一1且k為奇數時，貝ij Sk, 82kSk> S3kS2k成等比數列。(忽視公比q= -1)27、已知定義在R上的函數/(x)和數列%滿足下列條件：/ =，a =/(«,)(n = 2, 3, 4, ), a2ax,f(an)f(an-i) = k(anan-i)(n = 2,3,)，其中a為常數，k為非零常數。(1)令，-冊(eN*),證明數列是等 比數列；(2)求數列明的通項公式；(3)當lkl<l時，求lim4。(2004天津)(等比數列中的。和1,正確分類討論)

52、28、不等式m2(m2-3m)h (m2-4m + 3)/+ 10成立的實數m的取值集合是。3(隱含條件)29、/是虛數單位，(-11)(2+，)的虛部為()C(概念不清)(A) 1(B) /(C) 3(D) -3 /30、實數？，使方程x2+(? + 4i)x+l + 2?i =0至少有一個實根。錯誤解法.方程至少有一個實根，A = (m + 4i)2 - 4(1 + 2ni) = m2 - 20 > 0 = m 2 2括，或？ K 一2、療.錯誤分析 實數集合是復數集合的真子集，所以在實數范圍內成立的公式、定理，在復數范圍內不一定成立，必須經過嚴格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別

53、式是對實系數 一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復系數一元二次方程中，造成解法錯誤。正確解法設。是方程的實數根，則a)(漏解)32、將函數y=4x-8的圖象/.按向量a平移到匕”的函數表達式為y=4x,則向量a=o = (%的+8)(其中卜一初漏解)33 已知 | a | = 1, b= y2 ,若 /B,求4坂。 +(m + 4i)a + l + 2mi =0,. a2 + im + 1 + (4a + 2m)i = 0.由于a、都是實數，+，Ua +，解得7 = ±2.4a + 2m = 03-5-4-5-琳/ 3-5 49 4-59 3-5 (- 讀 4-5- 9 3

54、-531、和a = (3, 4)平行的單位向量是；和a = (3,- 4)垂直的單位向量是（2）證明PB，平面EFD；（3）求二而角CPBD的大小。（2004天津） （條件不充分（漏PA<z平面EDB, OEu平面PDC, OEnEF = E等）；運算錯誤，銳角鈍 角不分。）37、若方程-+必=1表示橢圓，則小的范圍是.（0, 1）U（1, +8）（漏解）38、已知橢圓器+y2= 1的離心率為挈，則m的值為 。4或;（漏解）39、橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，橢圓短軸的一個頂點B與兩焦點R、餐組成2/7*X 2的三角形的周長為4+ 2小 且/88金=苛，則橢圓的方程是 。彳+片=1或

55、X2 + , =1（漏解）40、橢圓的中心是原點O,它的短軸長為2、/，相應于焦點F（C, 0） （c>0）的準線/與X軸相交于點A, |0F|=2|FA|,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。（1）求橢圓的方程及離心率：（2）若麗麗=0,求直線PQ的方程；（3）設/=/而（2>1）,過點P且平行于準線/的直線與橢圓相交于另一點M, 證明前=一義匝。（2004天津）（設方程時漏條件a>V2 ,誤認短軸是b = 2/2 ；要分析直線PQ斜率是否存在（有時也可 以設為x = ky + b）先；對一元二次方程要先看二次項系數為。否，再考慮>（）,后韋達定 理。）41、求與），軸相切于右側，并與。C :/ +）/6%=0也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯誤解法 如圖3 2 1所示，已知。C的方程為。一3）2+:/=9.設點P（x, y）（x > 0）為所求軌跡上任意一點，并且。P與y軸相切于M點，與。C相切于N點。根據已知條件得IC尸 RPA/I+3,即 J（x 3）2+y2 =x + 3,化簡得 V = i2x （x > 0）.錯誤分析 本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點都滿足條件），而沒 有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點都在所求的軌跡上，事實上，符合題目條件的 點的坐標并不都滿足所求的方程。從動