1、知識要點數陣圖就是將一些數按照一定要求排列而成的某種圖形，有時簡稱數陣.常見的數陣圖有以下三種：1 .有一種數陣圖，它們的特點是從一個中心出發，向外作了一些射線，我們把這種數陣圖叫 做輻射型數陣圖.填輻射型數陣圖的關鍵是確定中心數以及每條線段上的幾個數的和，然后通過 對各數的分析，進行試驗填數求解.2 .有一種數陣圖，它的各邊之間相互連接，形成封閉圖形，我們稱它們為“封閉型數陣 圖”.填這樣的圖形，主要是頂點數字，抓住條件提供的關系式，進行分析，用試驗的方法確定 頂點數以及各邊上的數字之和，最后填出數陣圖.3 .有的數陣圖既有輻射型數陣圖的特點，又有封閉型數陣圖的要求，所以叫做“復合型數陣 圖

2、”.我們在思考數陣圖問題時，首先要確定所求的和與關鍵數間的關系，再用試驗的方法，找 到相等的和與關鍵數字.數陣圖的解題關鍵是找“重復數”。解題步驟：1 .從整體考慮，將要求滿足相等的幾個數字和全部相加，一般為n S的形式。2 .從個體考慮，分別計算每一個位置數字相加的次數，將比較特殊的（多加或少加幾次）位置數字用未知數表示，全部相加，一般為題目所給全部數字和一般位置數字相加次數特殊位置數字和多加或少加次數的形式。.根據整體與個體的關系，列出等式即整體考慮個體考慮列出等式嘗試四.國這工放射型方法整除性老師帶領同學們一起去參加數學燈謎會，同學們在里面玩的熱火朝天，其中有個燈謎是這樣的：把15這五個

3、數分別填在下圖中的方格中，使得橫行三數之和與豎列三數之和都等于 9.那么應該怎么填呢？【分析】根據題意可知兩條直線上的三個數的和為1 4 1 2 3 5 ,可得填法如右上圖。(1 2 3 4 5 5) 2 10 ,在剩下的四個數中把15這五個數填入右圖中的。里，使每條直線上的三個數之和相等.5543【分析】根據題意可知1 5這幾個數的和再與中間的重疊數作和結果是2345 15為奇數，那么中間的重疊數只能是奇數:2的倍數，而1、3、5 ,由此可推得結果如右上圖。將1 7這七個自然數填入下圖的七個。內，使得每條邊上的三個數之和都等于10 .你能做到嗎?【分析】1234528) 2 1,可見重疊數為

4、1 ,那么可得填法如右上圖。把17這七個數分別填入下圖的。內，使每條線段上三個。內數的和相等。【分析】1234567 28 ,這幾個數的和再與重疊數的兩倍作和是3的倍數，那么重疊數的取值有1、4、7,對應的每邊三個數的和為10、12、14,可得填法見右上圖。數學王國的大門有一把密碼鎖，它的形狀如下，只有將1020填入其中的。內，其中 15已填好,使每條邊上的三個數之和都相等才能把這把鎖打開，順利的進入數學王國，你也試試吧.21510,20;11,19;12,18;13,17;14,16于是得到右上圖的填11121111則五條邊的總和為對應的每可得填法如右上圖。3765A)66 4A 70、96

5、 110；.4 T 5 8'A 1611（第六屆“中環杯；.4 8'1 2 3(10 1116 14：1 17(10 11 K 20 15) 5 3010 11 66中間一個數20) 15 4 5 45*94：92-933:86、7-67-5將1 【分析】E66 4A2 I512.【分析】1 2 3 4 5 6 7 2中間數28 2中間數12 3,中間數為4,填法如右上圖.將1 9分別填入下圖的。中，使得橫、豎五個數相加的和都等于25。【分析】（答案不唯一）將19填入右圖小方格里，使橫行和豎列上五個數之和相等.【分析】12346 7 8 9 451、3、5、7、9,那么可得答案

6、如下圖所示:ET_ za F T和為246_工_2 51和為26和為27這6個數填入下圖的。內，使每條直線上3個數的和為【分析】設中間三個數為a、b、c，那么有1 2 3 L La b c 6則 a、 b、 c三個數分別為1、2、3 .填法如右上圖所示.封閉型周末小豬熊去小猴家里玩，過橋的時候遇到了狐貍，狐貍有意刁難它，就擋住了小豬熊的去路，狐貍狡猾的對它說：“只要你能把1,2,3,4,5,6六個數字分別填入下圖的六個圓圈中，使每一邊三個數相加的和都等于 9.我就讓你過橋. ”小豬熊想了一下，不慌不忙的填了出來，你知道聰明的 小豬熊是怎么解答的嗎？139可得答案如右上圖。6,9,12 或 15

7、可見三個頂點的和只能是9,10,11 或 12填法如下1242432165691011471(20072 34 5 6 156453654 3656 : 53的倍數，其中最小：1236【分析】三角形頂上的數重疊3次，其他數都重疊 2次.所以有：（1每條線上的三個數之和5, 56頂上的數 每條線上的三個是5的倍數，推知“頂上的數” 4.所以每條線上的三個數之和 可得如上填法（填法不唯一）。（第七屆小機靈杯復賽第 6題）將1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 的9個。中，使三條邊上。中的四個數的和都相等，每條邊上四個數的和最:【分析】這些數的和為1 4 7 10 13 16 19 22

8、 25 117 ,而三27） 2頂上的數一數之和5 .由上式等號左端為（56 4） 5 12經試驗22, 25這9個數分別填入卜圖 人 TE。條邊上數的和的和等于這些數的和再加上三個頂點上的數的和，那么若要每條邊上的四個數的和最大，則只需保證三個頂點上的數最大，那么三個頂點上的數應該為25 ,（117 25 22 19） 3 61 O用19這九個數字填入下圖中，使得每條邊上的四個數的和都等于 你的填法.昆【分析】1 9這九個數的和是 45,于是頂點上的數之和應為3小是1 2 3 6,最大是7 8 9 24,從而A可以取 為18或22時，都得不出一個合乎題目要求的解答，所以 數.圖（1）、（2）

9、、（3）、（4）、（5）給出了這五種填法.22 , 19 ,由此可知最大的和為A,問A可以等于哪些數？給出A 45,這個和是3的倍數，它最17,18,19,20,21,22,23 但是，當 AA只能為17,19,20,21,23這五個A=21A=19A=20A=177(1)(3)(4)將18這八個數分別填入下圖的。中，使兩個大圓上的五個數之和都等于21 .【分析】1 2 3 4 5 6 7 8 36, 21 2 36 6,可見兩個重疊數之和為 6： 1 5 6、2 4 6,可得填法如右上圖:班上進行民主選舉，誰能在圖中X，Y，Z三個小圓圈內各填上一個數，使得每條直線上三個數的和都等于大三角形三

10、個頂點上三個數的和，誰就是數學課代表，你也來試一試吧.【分析】如圖，我們把三條直線上的三個和相加，相當于把4算了三遍，1，5,6算了一遍，三個頂點上的數各算了一遍.根據題意，這三個和應該是相等的，并且和三個頂點上的和也相等.那么4 3 1 5 6 +三個頂點和 三個頂點和 3。那么很明顯，這個 4 3 1 5 6 24就是我們最關心的這個和的兩倍，那么這個和就是12.所以，圖中x處的數是12 4 5 3；圖中y處的數是12 4 1 7；圖中z處的數是12 4 6 2.答案如 右上圖所示。如圖“學、而、思、未、來、命、運”這7個漢字分別代表1至7這7個數字。已知3條直線上的3個數相加、2個圓周上

11、的3個數相加，所得的5個和相同。那么，“學”字代表多少？來未命運【分析】計算5個和的和，這個和一定是 5的倍數，其中“學”字計算了三遍，其它數只是被計算了2遍，因此這個和等于12345672“學，56“學，這個“學”只育雨能保證這個和能被5整除。29這八個數分別填入下圖的。里，使每條邊上的三個數之和都等于18.【分析】四個角上的數是重疊數，重疊次數為1 .所以四個重疊數之和等于18 4 (2 39) 28 ,而在已知的八個數中，四數之和為28的只有：4 7 8 9 28或5 6 8 9 28 .又由于18 9 8 1 , 1不是已知的八個數之一，所 以，8和9只能填對角處.由此得到上面中間兩圖

12、所示的重疊數的兩種填法：“試填”的結 果，只有右上圖的填法符合題意把1,2, 3,4,5,6,7, 8,這8個數分別填入下圖的 8個空格中，使正方形每條邊上三個 數的和都等于13。GXXpO O ©© © QGXMD【分析】因為每邊上的和為13,那么四條邊上的數字之和為13 4 52,而1 2 L 8 36,所 以四個角上的四個數之和等于52 36 16。在1 8中選四個數，四數之和等于16,且其中任意三個的和不等于13的只有：16 12671258145 6。經試驗， 只有右上圖的兩種填法。20以內共有10個奇數，去掉9和15還剩八個奇數，將這八個奇數填入下圖的

13、八個。中（其中3已經填好），使得圖中用箭頭連接起來的四個數之和都相等.【分析】題中所給的數有 1、5、7、11、13、17、19,這八個數的和為 76 ,這個和再加上兩個重 疊數的兩倍應該為3的倍數，設另一個重疊數為A,那么有82 2A 3的倍數，A的取值有1、7、13、19,對應的每條線上四個數的和為2&32、36、4。，其中當A取7、13的時候不合題f 11 fg 13 g h 15 h a 9 ) )意，那么可得填法見右上圖。已知 a b 3 bc5 cd7 d e 9 e那么這個圓上4有的數字之.是多少？''【分析】每個數都被加了兩次，所以圓上所有數字的和(3

14、5 7 9 11 13 15 9) 2 36O在下圖中的10個。內填入0 9這10個數字，使得循環式成立:【分析】五個等式中有五個和式，其中兩式的和大于另外三式的和，設較大的和為a,較小的和為b,則有：2a 3b 0 1 9分別填入小三角形內（每個小三角形內只填一個數），要求靠近大三角形三條邊的每五個數相加 和相等。想一想，怎樣填這些數才能使五個數的和盡可能大一些？（只需填寫一種） 9 45,由上式知b必為奇數，又由b最小為5 ,最大為7 ,可得如右上圖兩解。在下列各圖中，分別從1 8中選擇六個數填入口內，使得按順時針方向計算的各關系式成立: II【分析】能被2和4整除的數有4與8,左上角的數

15、為4或8,如果為8,為一種情況，如果是是另一種情況，答案見右上圖。將1,2, 3,4,5,6,7, 8,這8個數分別填入下圖的 乘、除4個正確的等式。8個空格中，使四邊正好組成加、減、【分析】小于10且能表示成兩個不同的數的乘積的數只有6和8,如此可確定左下角的數為 2,左上角和右下角的數可以是 6或8,左邊和下邊對應填上 3和6,剩下1、5、7,如此即可試 出結果。8592 I 3' 6 ，17【分析】123456789 45用s表示靠近大三角形三條邊的五個數的和。因為有三個 小三角形所填的數在求和時只用了一次（用a, b, c來表示這三個數），其余均用了兩、次。于是45 2 a b

16、 c 3so要使s盡可能大，只要a b c盡可能小。所以， a b c 1 2 3 6。于是90 6 3s, s 28。剩下的六個數分成三組，并且每組中兩 數的和是三個連續自然數，那么：4 8 12； 6 7 13； 5 9 14。經過調配可得到幾請在圖中的每個圓圈內填入不同的自然數, 兩個圓圈中所填數的和，最下面的數是十種填法，右上圖是填法之一。使得圖中每個圓圈中所填的數都是上一行與它相鄰的20。71244127231683653954711981291120202020【分析】如果第一行填入的是x、V、z、w，則20 x w 3（y z）,所以y z不超過6且最小為3,如果V z 3時，x

17、 w 11 4 7, （X、w不能取1、2、3）,第一行有兩 種情況：7, 1, 2, 4與4, 1, 2, 7,分別對應不同的第二行；當 y z 4 1 3時, x w 8 2 6,其中2不能與1相鄰，所以第一行只有一種情況，即2, 3, 1, 6；當yz51423時，xw 5 ,不論怎樣排列，都有重復，所以只有三種填法，如 右上圖。3個頂點上的數之和相等?能否將數0 9分別填入下圖的各個圓圈內，使得各陰影三角形的【分析】0 1 2 L 9 4545中心數 3個陰影三角形的3個頂點上的數字之和，所以中心數必須是3的倍數，只能是0, 3, 6, 9。枚舉法試驗，中心數只能是 3, 6,答案如

18、圖。下圖包括6個加法算式，將1 8填入除最右邊圓圈以外的 8個圓圈中，使6個算式都成立。那么最 右邊的圓圈中的數是多少？應該怎么填？1 2 L83 12【分析】最右邊的數等于最左邊三個數以及中間的數的和，即O當這四個數分別取1、3、6、2時可以不出現重復數字，填法如右上圖。圖中有大、中、小三個正方形，組成了8個三角形。現在先把1、2、3、4分別填在大正方形的 4個頂點上，再把1、2、3、4分別填在中正方形的 4個頂點上，最后把1、2、3、4分別填在小正 方形的4個頂點上。能否使8個三角形頂點上數字之和都相等？如果能，給出填數方法；如果不能，請說明理由。能否使8個三角形頂點上數字之和各不相同？如

19、果能，給出填數方法；如果不能，請說明理由。【分析】(1)不能，如果能，則 8個三角形頂點和的總和應該是 8的倍數，但是這個總和有三組 1、 2、3、4組成，其中一組被計算三次，一組被計算兩次，一組被計算一次，因此該總和 的值為6 1 2 3 4 60,不是8的倍數，產生矛盾，因此沒有任何填法使8個三角形頂點上數字之和都相等。(2)能，如上圖。【練習1】老師在一節課上出了一道智力題，題目是這樣的，有一個圖形（如下圖），要求將610這五個數分別填在下圖中的方格里，使得使得橫行三數之和與豎列三數之和都等于24.那么應該怎么填呢？# 甘【分析】6+7+8+9+10 =40, 24X2-40=8,可見中

20、間的重疊數為8。如此可得填法如右上圖。【練習2】將8-14這七個自然數填入下圖的七個。內，使得每條邊上的三個數之和都等于33.你能做到嗎？11 ,那么可得填法如右【練習3】相等。此圖是輻射型33圖，中間。內的4是重疊數，并且重疊了【分析】8+9+10+11 + 12+13+14 =77, ( 33 X 3-77 ) +2=11 ,可見重疊數為上圖。將17的數填入圓圈中，使每邊上的3個數字之和都2次，所以每條邊上的3個數之12，剩下的6個數中，兩兩之和等于12 4 8的有1、7; 2、6; 3、5,填法如右上圖。【練習4】每邊上的三數之和都等于 10將16六個自然數分別填入下圖的。內，使三角形【

21、分析】因為每邊上的和為 10,那么三條邊上的數之和為10 3 30,而 1 26 21,所以三個角的三個數之和等于30 21 9,在16中選3個和為9的數，而且任意兩個數的和大于或等于10 6 4,這樣的組合有：9 1 3 5 2 3 4,經試驗，填法如右上圖.【練習5】唐僧師徒西天取經路過數字山，山中住著一個數學大王告訴他們，只有他們能把 久2,3,4,5,6六個數字填入下圖中的小圓圈內，使每個大圓上四個數字的和都是16才允許他們 四人，你能解決這個問題嗎？通過，這可急壞了師徒【分析】1 2 316 5 6【練習6】它的去路,16 2 21 1144 5 6 21問題是這樣的:圓圈里4個數的

22、和都等于5 7 12可見兩個重疊數的和為11 : 5 6 1114 5,填法如右上圖。小老鼠打洞，撞到一面墻上有一個奇怪的問題擋住了請分別將1，2,4,6這4個數填在下圖的各空白區域內，使得每個15,快點幫幫小老鼠吧.3 7 10只有1能和其他三個數的和分別是 可得，見右上圖3 5 8,三個圓中已有數的和與15的差分別是3,5,7 ：35,7,所以中間數一定是1,由和為15 ,其它三個數即【練習71數之和都等于15.將18填入下圖的八個。中，使得每條邊上的三個【分析】四個頂點數之和為15 4 (1 2能.經試驗只有右上圖一個解 .8) 24 ,四個頂點數有3,6,7,8和4,5,7,8兩種可【

23、練習8】將19不重復地填入下面的圓圈內，使得三角形每條邊上的數字和均為17。得.(1 2 L 9) a b c 3 17解得a b c 6,而在19中，只有1 2 3 6,符合要求。所以三個頂點上的數字分 別是1、2、3,如圖所示是其中一種符合要求的填法。【練習9條邊上的數字和均為19。將110不重復地填入下面的圓圈內，使得五邊形每有：(1 2 L 10) a b c d e 5 19解得a b c d e 40,只有6 7 8 9 10 40,符合要求。所以五個頂點上的數 字分別是6、7、8、9、10,其中9和10不在同一條邊上。如圖為一種填法。【練習10】如果將1 11這11個自然數填入下