1、第1講相似三角形講義學習目標解三角形相似的判定方法學習重點：能夠運用三角形相似判定方法解決數學問題及實際問題.學習難點：運用三角形相似判定方法解決數學問題的思路學習過程一、證明三角形相似例1:已知，如圖， D為 ABC內一點連結 EQ AD,以BC為邊在 ABC外作/ CBEW ABD / BCEh BAD求證： DB ABC例2、矩形ABC邛，BC=3AB E F,是BC邊的三等分點，連結 AE、AF、AC,問圖中是否存在非全等的相似三角形請證明你的結論。下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：(1)如圖：稱為“平行線型”的相似三角形的相似三角形。 如圖：/ 1 = Z2, / B=/ D

2、,則AADa ABC；稱為“旋轉型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及EAF與4ECA二、相似三角形證明比例式和乘積式例3、 ABC中，在AC上截取 AR在CB延長線上截取 BE,使AD=BE求證：DF?AC=BC?FEA求證：(1) mA=MD?ME (2) 1A三、相似三角形證明兩角相等、兩線斗例5:已知：如圖E F分別是止方形/ FBD例6、直角三角形 ABC中，/ ACB=90 ,2EME2DMDdBl MC工行和線段相等。ABCD勺邊AB和AD上的點，且受 空 1。求證：/AEF=AB AD 3AFDE-BCBCD提止方形，AE交BC

3、于F, FG/ AC交AB于G,求證：FC=FGDC例4:已知：如圖，在 ABC中，/ BAC=90, M是BC的中點，DML BC于點E,交BA的延長線于點 D=AGFEB例7、RtABC銳角C的平分線交 AB于E,交斜邊上的高 AD于O,過O引BC的平行線交 AB于F,求證：AE=BF4. ABC 中,貝 U S/XADE：S四邊形DFGE S四邊形FBC字目標訓練一、填空題1、兩個相似三角形的面積比 S:S2與它們對應高之比 hi：h2之間的關系為BE 22、如圖2 ,平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點，AE交BD于點F ,如果-BE f ,那么BC 3BF2FD. 33、如圖，點

4、A1, A2, A3,A4在射線 OA上，點 Bi, B2, B3在射線 OB 上，且 ABi / A2B2 / A3B3,A2B1/A3B2/A4B3.若A2B1B2, A3B2B3的面積分別為1, 4,則圖中三個陰影三角形面積之和、選擇題1.已知AABaADEf 且 AB: DE=1: 2,則4ABC的面積與 DEF的面積之比為()(A)1: 2(B)1: 4(C)2: 1(D)4: 12.如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8,另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x,那么x的值()A.只有1個B.可以有2個C.有2個以上但有限D .有無數個3.美是一種感覺，當人體下半身長與身高

5、的比值越接近時，越給人一種美感.如圖，某女士身高165cm,下半身長x與身高l的比值是，為盡可能達到好的效果，她應穿的高跟鞋的高度大約為（A. 4cm4、如圖， ABC是等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積是ABC的面積的 （）（第4題圖）（第5題5、 如圖，直角梯形 ABCDK / BCD= 90° , AD/ BG BC= CQ E為梯形內一點，且/BEC= 90° ,將 BEC繞C點旋轉90°使BC與DC重合，得到 DCF連EF交CD M 已知BC= 5, CF= 3,則DM:MC勺值為 （）:3:5:3:46、如圖，

6、在RtABC內有邊長分別為a,b,c的三個正方形，則 a,b,c滿足的關系式是（）A、b a c B 、b ac 222C、b a c D 、b 2a 2c7、如圖,Rt AABAO, ABL AC AB=3, AC=4,P 是 BC邊上一點，作 PEE± AB于 E,PDL AC于D 設 BP=x,貝U PD+PE ()“ XX7A. 3 B. 4 C.- 552D.212x 12x525三、解答題1、如圖 5,在 ABC中，BC>AC點D在BC上，且DC= AC,/ACB的平分線 CF交AD于F,點E是AB的中點,連結EF.(1)求證：EF/ BC.cB. 6cmC. 8c

7、mD. 10cm(2)若四邊形BDFE的面積為6,求 ABD的面積.2、(本小題滿分10分)如圖：在等腰 ABC中，CH是底邊上的高線，點 P是線段CH上不與端點重合的任意一點，連接 AP交BC于點E,連接BP交AC于點F.(1)證明：/ CAEh CBF;(2)證明：AE=BF; 以線段AE, BF和AB為邊構成一個新的三角形ABG(點E與點F重合于點G),記 ABC和 ABG勺面積分別為S»A AB環口 S»AABG如果存在點 P,能使得 SaAB(=S»A ABG,求/ C的取之范圍。B3、如圖，四邊形 ABCM, AD= CD, / DAB= Z ACB=

8、 90° ,過點 D作DE! AC,垂足為 F, DE與AB相交于點 E.(1)求證：AB- AF= CB- CD(2)已知AB= 15cm, BC= 9cm, P是射線DE上的動點.設DP= xcm (x>0),四邊形BCDP勺面積為ycm2.求y關于x的函數關系式;當x為何值時， PBC的周長最小，并求出此時 y的值.CG,AE與CG相交于點M, CG與AD相交于點N.4、如圖10,四邊形ABCD DEFGTB是正方形，連接 AE、求證：(1) AE CG；(2) AN ?DN CN ?MN.5、如圖，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公

9、共頂點，/ BAG/AG=90 ,它們的斜邊長為 2,若？ ABCK定不動，？ AFG繞點A旋轉，AR AG與邊BC的交點分別為 口日點D不與點B重合，點E不與點C重合)，設BE=mi Ct=n.(1)請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明(2)求m與n的函數關系式，直接寫出自變量 n的取值范圍.(3)以？ ABC勺斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為 y軸，建立平面直角坐標系(如圖12).在邊BC上找一點D,使B®CE求出D點的坐標，并通過計算驗證 BD2 + CE2=DE2.(4)在旋轉過程中,(3)中的等量關系BD2 + CE2=DF是否始終

10、成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由6、為了加強視力保護意識，小明想在長為米，寬為米的書房里掛一張測試距離為5米的視力表.在一次課題學習課上，小明向全班同學征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”的方案，其中甲、乙、丙三位同學設計方案新穎，構思巧妙.(1)甲生的方案：如圖 1,將視力表掛在墻 ABEF和墻ADGF的夾角處，被測試人站立在對角線AC上，問：甲生的設計方案是否可行請說明理由.(2)乙生的方案：如圖2,將視力表掛在墻 CDGH上，在墻ABEF上掛一面足夠大的平面鏡，根據平面鏡成像原理可計算得到：測試線應畫在距離墻ABEF 米處.(3)丙生的方案：如圖 3,根據測試距離為 5m的

11、大視力表制作一個測試距為3m的小視力表.如果大視力表中“ E”的長是，那么小視力表中相應“ E”的長是多少cm(圖(第6題)(圖(圖7、將兩塊大小一樣含 30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊 AB重合，直角邊不重合，已知AB=&BC=AD=4 ACW BD相交于點E,連結 CD(1)填空：如圖 9, AC=, BD=;四邊形 ABCD梯形.(2)請寫出圖9中所有的相似三角形(不含全等三角形) 如圖10,若以AB所在直線為x軸，過點A垂直于AB的直線為y軸建立如圖10的平面直角坐標系，保持AABD不動，將A ABC向X軸的正方向平移到A FGH的位置，FH與BD相交

12、于點P,設AF=t, A FBP面積為S,求S與t之間的函數關系式，并寫出 t的取值值范圍圖108、如圖 1, 一副直角三角板滿足 AB= BG AC= DE / ABC= / DEF= 90° , / EDF= 30°【操作】將三角板 DEF的直角頂點E放置于三角板 ABC的斜邊AC上，再將三角板 DEF繞點E旋轉，并使邊DE與邊AB交于點P,邊EF與邊BC于點Q【探究一】在旋轉過程中，CE(1)如圖2,當 最 =1時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系并給出證明CE (2)如圖3,當CE = 2時EP與EQ滿足怎樣的數量關系，并說明理由,其中m根據你對(1)、(2)的探究結果，試寫出當CE=m時，EP與EQ滿足的數量關系式為EA的取值范圍是(直接寫出結論，不必證明)【探究二】若，AC= 30c