1、1.3 流體運動微分方程流體運動微分方程 1.3.1 連續性方程連續性方程1.3.2 動量方程動量方程1.3.3 能量方程能量方程1.3.1 質量守恒定律質量守恒定律連續性方程連續性方程質量既不能產生，也不會消失，無論經歷什么形式的運動，質量既不能產生，也不會消失，無論經歷什么形式的運動，物質的總質量總是不變的，這就是物質的總質量總是不變的，這就是質量守恒定律質量守恒定律。將此定。將此定律作數學描述，即為連續性方程。律作數學描述，即為連續性方程。流入控制體流入控制體的質量速率的質量速率流出控制體流出控制體的質量速率的質量速率控制體內的質控制體內的質量累計速率量累計速率-=dxdydzxudyd

2、zdxxuudydzuxxxx)()(dxdydzddxdydzdxdydzd)(在在d時間內微元控制體內的質量累計速率為：時間內微元控制體內的質量累計速率為：0)(udiv0)()()()()()(zuyuxudxdydzzuyuxudxdydzzyxzyx則質量守恒定律可表示為則質量守恒定律可表示為即：即：這就是直角坐標系中單組分流體的連續性方程。這就是直角坐標系中單組分流體的連續性方程。zuyuxuudivzyx)()()()(利用散度的定義利用散度的定義:0 divudd 可得可得:它是研究傳遞過程中最重要、最基本的方程。它是研究傳遞過程中最重要、最基本的方程。0)(udiv是常量是常

3、量60yxzyxzuuudxdydzdd dxdydzxyztuuutxyz0zuyuxuzyx0zuyuxuzyx可壓縮流體恒定三維可壓縮流體恒定三維流動的連續性方程流動的連續性方程不可壓縮流體恒定三不可壓縮流體恒定三維流動的連續性方程維流動的連續性方程可壓縮流體非恒定三維流動連續性方程可壓縮流體非恒定三維流動連續性方程7微元流束和總流的連續性方程 一維流動、流體連續恒定一維流動、流體連續恒定, 在單位時間內通過微元流管在單位時間內通過微元流管的任一有效截面的流體質量都應相等，即的任一有效截面的流體質量都應相等，即1u1dA1= 2u2dA2= udA=常數常數 式中式中 dA1 、dA2分

4、別為分別為1、2有效截面的面積，有效截面的面積，m2；u1 、u2分別為分別為dA1和和dA2上的流速，上的流速，也稱為真實流速，也稱為真實流速，m/s； 1 、2分別為和處的流體密度，分別為和處的流體密度，kg/m3。8流場中的微元流束流場中的微元流束udA=常數常數921AuAuuuuu說明：一維總流在恒定流動時，體積流量為說明：一維總流在恒定流動時，體積流量為常數，平均流速與有效截面面積成反比。常數，平均流速與有效截面面積成反比。對不可壓縮均質流體，對不可壓縮均質流體，為常數，則：為常數，則：總流：總流： 11 A1= 22 A2 式中式中 1 和和2分別為總流分別為總流1和和2兩個有效

5、截面上的平均流速。兩個有效截面上的平均流速。 103xux4yuy2zuz09 zuyuxuzyx故此流動不連續。不滿足連續性方程的流動是不存在的故此流動不連續。不滿足連續性方程的流動是不存在的 所以所以【解解】 根據連續性方程：根據連續性方程： 【例例】 假設有一不可壓縮流體三維流動，其速度假設有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規律為）分布規律為）ux=3（x+y3)， uy =4y+z2， uz =x+y+2z。試。試分析該流動是否連續。分析該流動是否連續。 11yxxuxsin2yxyuysin20)sin2(sin2yxyxyuxuyx【解解】故此流動是連續的。故此流動是連續的。 所

6、以所以 【例例】 有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布規律為規律為ux=x2siny，uY=2xcosy，試分析該流動是否連續。，試分析該流動是否連續。12smu/122u22221144dudu5 . 015 . 02222112dduu【解解】(m/s)有一輸水管道，如圖有一輸水管道，如圖3-14所示。水自截面所示。水自截面1-1流向截面流向截面2-2。測得截面。測得截面1-1的水流平均流速的水流平均流速已知已知d1=0.5m， d2=1m，試求：截面，試求：截面2-2處的平均流速處的平均流速 為多少？為多少？ 1.3.2 動量定理動量定理運動方程（納維

7、運動方程（納維斯托克斯方程斯托克斯方程) )動量平衡是流體運動遵循的另一個普遍規律，其含義是：動量平衡是流體運動遵循的另一個普遍規律，其含義是：對一給定的流體系統，其動量的累積速率等于作用于其對一給定的流體系統，其動量的累積速率等于作用于其上的外力總和。其數學表達式即為運動方程。上的外力總和。其數學表達式即為運動方程。作用在控制體作用在控制體中流體合外力中流體合外力動量通量動量通量凈變化率凈變化率控制體內流體動量控制體內流體動量對時間的變化率對時間的變化率=+控制體內流體動量控制體內流體動量對時間的變化率對時間的變化率udxdydzudxdydzzuuyuuxuuzuuyuuxuudxdydz

8、uuzuuyuuxzyxzyxzyx)()()()()()()()()()(動量通量動量通量凈變化率凈變化率)(udxdydz作用在控制體作用在控制體中流體合外力中流體合外力質量力質量力表面力表面力zuuzzuyuxuzzuyuxuzPFdduyuuyzuyuxuyzuyuxuyPFdduxuuxzuyuxuxzuyuxuxPFdduzyxzzzbzzzyxyyybyyzyxxxxbxx32)(3)(32)(3)(32)(3)(222222222222222222如果動力學粘性系數不隨位置改變，則動量方程為：如果動力學粘性系數不隨位置改變，則動量方程為：)(312uuPFddub納維納維斯托克

9、斯（斯托克斯（Navier Stokes)方程方程1.3.3 能量守恒定律能量守恒定律能量方程能量方程能量守恒定律能量守恒定律(熱力學第一定律熱力學第一定律)也是流體運動應遵循的一個也是流體運動應遵循的一個普遍定律，其含義為：在一過程中外界對某一流體系統所做普遍定律，其含義為：在一過程中外界對某一流體系統所做的功和加給系統的熱量之和，等于系統的能量增加值。的功和加給系統的熱量之和，等于系統的能量增加值。控制體中流控制體中流體能量的累體能量的累計速率計速率流出控制流出控制體的凈能體的凈能量速率量速率從環境傳入從環境傳入控制體的熱控制體的熱量速率量速率=+-控制體流體控制體流體對環境做功對環境做功

10、的速率的速率22ueEtdxdydzzuEyuExuEztytxt)()()(1)流動輸入凈能量速率流動輸入凈能量速率單位質量流體所具有的能量包括內能、動能兩部分。單位質量流體所具有的能量包括內能、動能兩部分。流入微元控制體的凈能量速率為：流入微元控制體的凈能量速率為：dxdydzuEt)(矢量表示：矢量表示：dxdydzFuFuFudxdydzuFbzzbyybxxb)()(dxdydzuPuPuPzuPuPuPyuPuPuPxzzzyzyxzxzyzyyyxyxzxzyxyxxx)()()(2)(2)外力對控制體內流體做的功外力對控制體內流體做的功作用在微元控制體上的外力包括作用在微元控制

11、體上的外力包括表面力表面力和和質量力質量力。質量力對控制體的做功速率為：質量力對控制體的做功速率為：控制體內流體通過表面力對外界的做功速率為：控制體內流體通過表面力對外界的做功速率為：dxdydzzzTkyyTkxxTk)()()(dxdydzzTyTxTk)(222222（3 3）借助于熱傳導和對流傳遞的熱量）借助于熱傳導和對流傳遞的熱量( (從環境輸入的熱量速率）從環境輸入的熱量速率）熱傳導過程服從傅里葉定律。熱傳導過程服從傅里葉定律。從環境輸入控制微元體的凈熱量速率為：從環境輸入控制微元體的凈熱量速率為：如果導熱系數如果導熱系數k不隨位置改變，由環境傳到微元控制體的不隨位置改變，由環境傳

12、到微元控制體的凈熱量速率為：凈熱量速率為：Tdxdydzk2矢量表示：矢量表示：dxdydzExt)()(2uPTkqdde（4 4）內熱源所產生的熱量）內熱源所產生的熱量設內熱源在單位時間、單位體積中所生產的熱量為設內熱源在單位時間、單位體積中所生產的熱量為q，則，則由內熱源傳給控制體內流體的熱量速率為由內熱源傳給控制體內流體的熱量速率為q dxdydz。（5 5）能量累計速率能量累計速率控制體在單位時間內累計的總能量為：控制體在單位時間內累計的總能量為：推導可得：推導可得：TcTceddu，qpv且很小, 01, 0TkddTcP2對于普通流體：對于普通流體：無內熱源不可壓縮流體的能量傳遞

13、微分方程：無內熱源不可壓縮流體的能量傳遞微分方程：微分方程理論上可以解出微分方程理論上可以解出實際上通過實驗研究解決問題實際上通過實驗研究解決問題1.3.5 相似理論和量綱分析相似理論和量綱分析(1) 幾何相似幾何相似1.3.5.1 物理相似的基本概念物理相似的基本概念(2) 物理現象相似 物理現象相似就是表征這些影響因素的所有物理量在對應瞬間和相對應空間點上分別成比例。必須是同類現象才能相似；必須是同類現象才能相似；相似的核心：準數相等相似的核心：準數相等注意物理量的時間性和空間性。注意物理量的時間性和空間性。1.3.5.2 量綱分析相似的核心準數相等準數描述物理現象的無量綱量量綱：物理量的

14、單位1.3.5.2 量綱分析量綱分析(1)準數形式的動量傳遞方程準數形式的動量傳遞方程(納維納維斯托克斯方程斯托克斯方程)(312uuPFddubzkyjxi無量綱化后，可變為：無量綱化后，可變為：)(1212211123uLUuLUPLPFdduLUb令令x=Lx1, y=Ly1, z=Lz1, u=Uu1, P=P1P, =L/U 1 1 假定流體所受質量力僅為重力，即假定流體所受質量力僅為重力，即Fbg，這里這里g 為重力為重力加速度。將上方程式的兩端同除以加速度。將上方程式的兩端同除以 ，可得無量綱方程：，可得無量綱方程：LU2)(311212211uLUuLUPUPgULddu)(3

15、121221112uLUuLUPLPFdduLUb準數形式的動量傳遞方程為：準數形式的動量傳遞方程為：)(Re31Re1)(112111uuPEuFredduy)(311212211uLUuLUPUPgULddu 采用同樣方法對能量傳遞方程無量綱化，可得準數形式采用同樣方法對能量傳遞方程無量綱化，可得準數形式的能量傳遞方程：的能量傳遞方程：(2)準數形式的能量傳遞方程準數形式的能量傳遞方程1211PrRe1TddT普朗特（普朗特（Prandtl）準數為：）準數為：PckkcavPPr流體的熱擴散系數為：流體的熱擴散系數為：1.3.5.3 相似原理相似原理相似原理包括以下三方面的內容：相似原理包

16、括以下三方面的內容： (1)兩個相似系統，它們的同名準數必定相等。兩個相似系統，它們的同名準數必定相等。 (2)屬于同一系統的各準數之間存在著一定的函數關系，這些屬于同一系統的各準數之間存在著一定的函數關系，這些函數關系將由描述現象的微分方程式決定。函數關系將由描述現象的微分方程式決定。 (3)如果兩個系統所有定解條件相似如果兩個系統所有定解條件相似(包括幾何相似，邊界條包括幾何相似，邊界條件和初始條件相似件和初始條件相似)、同名的準數相等，這兩個系統必定相似。、同名的準數相等，這兩個系統必定相似。相似原理的用處：p實驗時測量各相似準數中包含的全部物理量；p實驗結果整理成準數關聯式；p實驗結果

17、可以推廣應用到與模型相似的系統。1.3.6 三種傳遞過程的類比分析三種傳遞過程的類比分析動量動量牛頓定律牛頓定律能量能量傅立葉定律傅立葉定律質量質量菲克定律菲克定律 1.3.6.1 傳遞機理的類似性傳遞機理的類似性dywdDjdyTcdqdyudvAABAyPyxyx)()()(1.3.6.2 傳遞系數的可比性傳遞系數的可比性微觀角度：微觀角度：不規則熱運動。不規則熱運動。運動粘度、熱擴散系數和質量擴散系數三個流體物性系數不但運動粘度、熱擴散系數和質量擴散系數三個流體物性系數不但具有相同的單位具有相同的單位(m2/s)和量綱和量綱(L2/t)，還可依照由剛性球體分子，還可依照由剛性球體分子組成

18、的低密度氣體運動論，用同一公式推算出來，即：組成的低密度氣體運動論，用同一公式推算出來，即：uDvAB311.3.6.3 傳遞方程的類似性傳遞方程的類似性0)()()()()(3122AAABAAbrwDuwdwduPTkqddeuuPFddu 動量傳遞方程、能量傳遞方程和雙組分流體中組分動量傳遞方程、能量傳遞方程和雙組分流體中組分A的質量的質量傳遞方程分別為：傳遞方程分別為： 變形后的動量、能量和質量傳遞方程具有類似的形式。變形后的動量、能量和質量傳遞方程具有類似的形式。既然這三個方程是類似的，那么動量、能量和質量傳遞過程既然這三個方程是類似的，那么動量、能量和質量傳遞過程必然具有很多類似的

19、普遍特性。必然具有很多類似的普遍特性。 三種傳遞方式盡管有很多類似之處，但并非完全相同，三種傳遞方式盡管有很多類似之處，但并非完全相同，它們最顯著的區別在于：與動量傳遞有關的速度為矢量，相它們最顯著的區別在于：與動量傳遞有關的速度為矢量，相應的動量通量為二階張量；而與能量和質量傳遞有關的溫度應的動量通量為二階張量；而與能量和質量傳遞有關的溫度和濃度均為標量，其相應的能量和質量通量為矢量。和濃度均為標量，其相應的能量和質量通量為矢量。AAAABAbruwwDdwdquPTkddeuFPuddu)()()()()(31222 假定流體密度、導熱系數和質量擴散系數均為常數，則：假定流體密度、導熱系數

20、和質量擴散系數均為常數，則：n 流體靜力學主要研究流體處于靜止狀態時各種物理量的變流體靜力學主要研究流體處于靜止狀態時各種物理量的變化規律。在材料工程技術領域，流體靜力學研究在重力場化規律。在材料工程技術領域，流體靜力學研究在重力場作用下靜止流體內部的壓力分布。作用下靜止流體內部的壓力分布。靜止：絕對靜止和相對靜止靜止：絕對靜止和相對靜止 以地球作為慣性參考坐標系，當流體相對于慣性坐標以地球作為慣性參考坐標系，當流體相對于慣性坐標系靜止時，稱流體處于系靜止時，稱流體處于絕對靜止狀態絕對靜止狀態； 當流體相對于非慣性參考坐標系靜止時，稱流體處于當流體相對于非慣性參考坐標系靜止時，稱流體處于相對靜

21、止狀態相對靜止狀態。 流體處于靜止或相對靜止狀態，兩者都表現不出粘性作流體處于靜止或相對靜止狀態，兩者都表現不出粘性作用，即用，即切向應力都等于零。切向應力都等于零。1.4 流體靜力學流體靜力學 在流體內部或流體與固體壁面所存在的單位面積上的在流體內部或流體與固體壁面所存在的單位面積上的法向作用力稱為法向作用力稱為流體的壓強流體的壓強。 當流體處于靜止狀態時，流體的壓強稱為當流體處于靜止狀態時，流體的壓強稱為流體靜流體靜壓強壓強，用符號，用符號p p表示，單位為表示，單位為Pa。 1.4.1 重力場中靜止流體中的壓強分布重力場中靜止流體中的壓強分布流體靜壓強有兩個基本特性：流體靜壓強有兩個基本

22、特性： （1）流體靜壓強的方向與作用面相垂直，并指向作用面的）流體靜壓強的方向與作用面相垂直，并指向作用面的內法線方向。內法線方向。 （2）靜止流體中任意一點流體壓強的大小與作用面的方向）靜止流體中任意一點流體壓強的大小與作用面的方向無關，即任一點上各方向的流體靜壓強都相同。無關，即任一點上各方向的流體靜壓強都相同。 gdydp00pgyCCgyp)(00yygpp壓強可表示為：壓強可表示為： 在靜止流體中在靜止流體中y方向的壓強梯度是由單位體積流體方向的壓強梯度是由單位體積流體的重力決定的，負號表示隨著的重力決定的，負號表示隨著y 的增加，壓強逐漸減小。的增加，壓強逐漸減小。將上式對將上式對

23、 y積分后可得：積分后可得： 它表明，在均質靜止流體中，壓強在垂直方向為線性它表明，在均質靜止流體中，壓強在垂直方向為線性分布。其中分布。其中C為積分常數，由邊界條件決定。為積分常數，由邊界條件決定。 它還常用來表示具有自由液面的液體內的壓強分布。它還常用來表示具有自由液面的液體內的壓強分布。ghpp0代入上式可得：代入上式可得： 工程上常用自由液面下的深度工程上常用自由液面下的深度h(y0-y)表示一點的垂直表示一點的垂直位置，稱為位置，稱為掩深掩深。在均質靜止液體中壓強分布的特征是：在均質靜止液體中壓強分布的特征是： (1)在垂直方向，壓強與淹深呈線性關系。在垂直方向，壓強與淹深呈線性關系

24、。(2)在水平方向，在水平方向，h為常數的平面上的為常數的平面上的p也為常數，說明水也為常數，說明水平面是平面是等壓強面等壓強面，簡稱，簡稱等壓面等壓面。只有靜止、連續的同種流體，其水平面才是等壓面。只有靜止、連續的同種流體，其水平面才是等壓面。1.4.2 非慣性系中均質流體的相對平衡非慣性系中均質流體的相對平衡1.4.2.1 均質流體整體做勻加速直線運動均質流體整體做勻加速直線運動)(agpgadxdz自由面)(yxzxgeaeezpexpp由由N-S方程式得：方程式得： 自由面仍是平面，只不過不再水平，自由面仍是平面，只不過不再水平，而是傾斜一個角度。而是傾斜一個角度。可得：可得：流體中的

25、壓強分布為：流體中的壓強分布為：pgdrdpyxpyxpyxyxyxyx),(,),(,000000),(),(或：或：gygyaxaxdyedxeggeaeyxpyxpyxyxyxyx00),(,00)(),(),(001.4.2.2 均質流體整體繞豎直軸以勻角速度旋轉均質流體整體繞豎直軸以勻角速度旋轉)(2rregpcrgzdrrgdzgdrregpgdrdppr222221)(常數222rgz由由N-S方程式得：方程式得： 流體中的壓強分布為：流體中的壓強分布為：可得：在自由面上可得：在自由面上p常數，由此可求得自由面的形狀為：常數，由此可求得自由面的形狀為：)(21minmax0hhg

26、r1.5 理想流體流動理想流體流動 當流動的雷諾數很大時，慣性力起主導作用，此時除了貼當流動的雷諾數很大時，慣性力起主導作用，此時除了貼近壁面的流體層外，流動的大部分區域可按照理想流體考慮。近壁面的流體層外，流動的大部分區域可按照理想流體考慮。對于無粘性流動，由于無切應力存在，所以就有可能求出流體對于無粘性流動，由于無切應力存在，所以就有可能求出流體流動微分方程的分析解。流動微分方程的分析解。 1.5.1 歐拉方程)(312uuPFddub如果流動是無粘性的，納維如果流動是無粘性的，納維斯托克斯方程可化簡：斯托克斯方程可化簡：Pgdduzpgdduypgdduxpgdduzzyyxx111它在

27、直角坐標系三個方向的分量為：它在直角坐標系三個方向的分量為：它對可壓縮與不可壓縮流體均適用。它對可壓縮與不可壓縮流體均適用。yudyudyyuuxxxxz1 ,分析在分析在x-y平面上的流體微元。平面上的流體微元。1.5.2 流體的旋度流體的旋度微元體繞微元體繞z軸旋轉的凈角速度為：軸旋轉的凈角速度為：xudxudxxuuyyyyz2,同樣，可得：同樣，可得：)(21)(212,1 ,yuxuxyzzz即：即：整個流體微團的角速度可寫成行列式：整個流體微團的角速度可寫成行列式：在流速場中給定點處的旋度方向為該點處的最大環流密度在流速場中給定點處的旋度方向為該點處的最大環流密度方向，其模為最大環流密度的數值。方向，其模為最大環流密度的數值。zyxuuuzyxkji21同樣，可得：同樣，可得：)(21)(21zuyuxuzuyzxzxy2 u的大小和方向與流體的旋轉角