1、1 3 x2- -2 x+5. (1)求函數求函數 f(x)的單調遞增、遞減區間的單調遞增、遞減區間; 設設f(x)=x - - 2 (2)當當 x? ?- -1, 2 時時, f(x)m 恒成立恒成立, 求實數求實數 m 的取值范圍的取值范圍. 解解: (1)由已知由已知 f? ?(x)=3 x2- -x- -2, 2 2 令令 f? ?(x)0 得得 - - x0得得x1. 3 3 2 , 1); y=f(x) 的單調遞減區間是的單調遞減區間是 (- - 3 2 單調遞增區間是單調遞增區間是 (- -, - - )和和(1, +). 3 (2)命題等價于命題等價于 f(x) 在在 - -1

2、, 2 上的最大值小于上的最大值小于 m . 2 令令 f? ?(x)=0 得得 x=- - 或或1. 3 22 2 1 1 f(1)=3 , f(2)=7, f(- -1)=5 , f(- - )=5 , 3 27 2 2 f(x) 在在 - -1, 2 上的最大值為上的最大值為 7. 導數的應用舉例導數的應用舉例 1 m的取值范圍是的取值范圍是 (7, +). 7 m . 故實數故實數 導數的應用舉例導數的應用舉例 2 設設 f(x)= x+1 - -aln(x+1), a? ?R, 且且 a? ?0, 取取e=2.7. (1)求求 f(x) 的單的單調區間調區間; (2)比較比較 x+1

3、 與與 ln(x+1) 的大小的大小, 并加以證明并加以證明. 解解: (1)函數函數 f(x) 的定義域為的定義域為 (- -1, +). 1 a x+1- -2 a = 又又 f? ?(x)= - - . 2 x+1 x+1 2( x+1) 當當 a0, f(x) 在在 (- -1, +) 上為增函數上為增函數; 當當 a0 時時, 令令 f? ?(x)0 得得 - -1x0 得得 x4 a2- -1. 當當 a0 時時, f(x) 在在 (- -1, 4 a2- -1) 上為減函數上為減函數, 在在 (4 a2- -1, +) 上為增函數上為增函數. 綜上所述綜上所述, 當當 a0 時時

4、, f(x) 的單調遞減區間為的單調遞減區間為 (- -1, 4 a2- -1), 單調遞增區間為單調遞增區間為 (4 a2- -1, +). 導數的應用舉例導數的應用舉例 2 設設 f(x)= x+1 - -aln(x+1), a? ?R, 且且 a? ?0, 取取e=2.7. (1)求求 f(x) 的單的單調區間調區間; (2)比較比較 x+1 與與 ln(x+1) 的大小的大小, 并加以證明并加以證明. 解解: (2) x+1 ln(x+1), 證明如下證明如下: 設設 g(x)= x+1 - -ln(x+1), 由由(1)知知 g(x) 在在 (- -1, 3) 上為減函數上為減函數,

5、 在在 (3, +) 上為增函數上為增函數, 又又 g(3)= 3+1 - -ln(3+1) =2- -ln40. g(x)g(3)0. 即即 x+1 ln(x+1). 1 3+2 ax2- -3 a2x+b, 0 a1. (1)求函數求函數 f(x)的單調的單調 設函數設函數f(x)=- - x 3 區間、極值區間、極值; (2)若當若當 x? ?a+1, a+2 時時, 恒有恒有 |f? ?(x)|a, 試確定試確定 a的取值范圍的取值范圍. 解解: (1)由已知由已知 f? ?(x)=- -x2+4 ax- -3 a2, 令令 f? ?(x)=0 得得 x=a 或或 x=3 a. 0a1

6、, a3a. 當當 x 變化時變化時, f? ?(x), f(x) 的變化情況如下表的變化情況如下表: x (- -, a) a (a, 3 a) 3 a (3 a, + ) 0 0 f? ?(x) + - - - - f(x) ? 極小值極小值 ? 極大值極大值 ? 由上表可知由上表可知, f(x) 的單調遞增區間是的單調遞增區間是 (a, 3 a), 單調遞單調遞減區間是減區間是(- -, a) 和和 (3 a, + ). 4 3 當當 x=a時時, f(x)取極小值取極小值 f(a) =- - a +b; 3 當當 x=3 a 時時, f(x) 取極大值取極大值 f(3 a)=b. 導數

7、的應用舉例導數的應用舉例 3 1 3+2 ax2- -3 a2x+b, 0 a1. (1)求函數求函數 f(x)的單調的單調 設函數設函數f(x)=- - x 3 區間、極值區間、極值; (2)若當若當 x? ?a+1, a+2 時時, 恒有恒有 |f? ?(x)|a, 試確定試確定 a的取值范圍的取值范圍. 解解: (2)0a1, 2 aa+1. 導數的應用舉例導數的應用舉例 3 f? ?(x)=- -x2+4 ax- -3 a2 在在 a+1, a+2 上為減函數上為減函數. f? ?(x)max=f? ?(a+1)=2 a- -1, f? ?(x)min=f? ?(a+2)=4 a- -

8、4. 當當 x? ?a+1, a+2 時時, 恒有恒有 |f? ?(x)|a, 即即 - -af? ?(x)a 恒成立恒成立. 4 a- -4- -a 且且 2 a- -1a. 4 解得解得 a1. 又又0a1, 5 4 故故a 的取值范圍是的取值范圍是 , 1). 5 導數的應用舉例導數的應用舉例 4 已知函數已知函數 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在在 x=0 處取得極值處取得極值, 曲線曲線 y=f(x) 過原點和點過原點和點 P(- -1, 2). 若曲線若曲線 f(x) 在點在點 P 處的切線與直線處的切線與直線 y=2 x的夾角為的夾角為45? ?, 且傾角為鈍角且傾角為鈍角

9、. (1)求求 f(x) 的解析式的解析式; (2)若若 f(x) 在在區間區間 2 m- -1, m +1 遞增遞增, 求求 m 的取值范圍的取值范圍. f(0)=0? ?d=0. 解解: (1)曲線曲線 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d 過原點過原點, f(x)=ax3+bx2+cx, f? ?(x)=3 ax2+2 bx+c. 函數函數 f(x)=ax3+bx2+cx 在在 x=0 處取得極值處取得極值, f? ?(0)=0? ?c=0. 過點過點 P(- -1, 2) 的切線斜率為的切線斜率為 f? ?(- -1)=3 a- -2 b, 而曲線而曲線 f(x)在在 點點 P 的切

10、線與直線的切線與直線 y=2 x 的夾角為的夾角為45? ?, 且傾角為鈍角且傾角為鈍角, 2- -f? ?(- -1) f? ?(- -1)=- -3. 又又f(- -1)=2, | |=1且且f? ?(- -1)0? ?x0, f(x) 的單調遞增區間為的單調遞增區間為 (- -, - -2 和和 0, +). 函數函數 f(x) 在區間在區間 2 m- -1, m +1 遞增遞增, 2 m- -1, m +1 (- -, - -2 或或 2 m- -1, m +1 0, +). 2 m- -12 m- -10. 1 解得解得m- -3 或或 m 2. 2 1 即即m的取值范圍是的取值范圍

11、是(- -, - -3 , 2). 2 導數的應用舉例導數的應用舉例 5 已知函數已知函數 f(x)=x3- -ax2- -3 x. (1)若若 f(x) 在區間在區間 1, +) 上是增函上是增函1 數數, 求實數求實數 a 的取值范圍的取值范圍; (2)若若x=- - 是是f(x)的極值點的極值點, 求求f(x) 3 在在 1, a 上的最大值上的最大值; (3)在在(2)的條件下的條件下, 是否存在實數是否存在實數 b, 使得使得函數函數 g(x)=bx 的圖象與函數的圖象與函數 f(x) 的圖象恰有三個交點的圖象恰有三個交點, 若存在若存在, 求出實數求出實數 b 的取值范圍的取值范圍

12、; 若不存在若不存在, 請說明理由請說明理由. 解解: (1)由已知由已知 f? ?(x)=3 x2- -2 ax- -3. f(x) 在區間在區間 1, +) 上是增函數上是增函數, 在在 1, +) 上恒有上恒有 f? ?(x)0, 即即 3 x2- -2 ax- -30 在在 1, +) 上恒成立上恒成立. 由于由于 f? ?(0)=- -30 且且 3+ b? ?0. 解得解得 b- -7 且且 b? ?- -3. 故實數故實數 b 的取值范圍是的取值范圍是 (- -7, - -3)(- -3, +). 導數的應用舉例導數的應用舉例 6 已知函數已知函數 f(x)=x2eax, 其中其

13、中 a0, e 為自然對數的底數為自然對數的底數. (1)討論討論函數函數 f(x) 的單調性的單調性; (2)求函數求函數 f(x) 在區間在區間 0, 1 上的最大值上的最大值. ax+x2eax? ?a =(ax2+2 x)eax. 2 axf? ?(x)=2 xe解解: (1)f(x)=x e , a0, 對函數對函數 f(x) 的單調性可討論如下的單調性可討論如下: 當當 a=0 時時, 由由 f? ?(x)0 得得 x0 得得 x0 . f(x) 在在 (- -, 0) 上單調遞減上單調遞減, 在在 (0, +) 上單調遞增上單調遞增; 2 當當 a0 時時, 由由 f? ?(x)

14、0 得得 x- - a ; 2 由由 f? ?(x)0 得得 0 x- - a . 2 f(x)在在 (0, - - a ) 上單調遞增上單調遞增, 在在 (- -, 0) 上單調遞減上單調遞減, 2 在在 (- - , +) 上也單調遞減上也單調遞減. a 導數的應用舉例導數的應用舉例 6 已知函數已知函數 f(x)=x2eax, 其中其中 a0, e 為自然對數的底數為自然對數的底數. (1)討論討論函數函數 f(x) 的單調性的單調性; (2)求函數求函數 f(x) 在區間在區間 0, 1 上的最大值上的最大值. 解解: (2)由由(1)知當知當 a=0 時時, f(x) 在區間在區間

15、0, 1 上為增函數上為增函數; 當當 a=0 時時, f(x) 在區間在區間 0, 1 上的最大值為上的最大值為 f(1)=1; 當當 - -2a0 時時, f(x) 在區間在區間 0, 1 上為增函數上為增函數; 當當 - -2a0 時時, f(x) 在區間在區間 0, 1 上的最大值為上的最大值為 f(1)= ea; 當當 a- -2 時時, f(x) 在區間在區間 0, 1 上先增后減上先增后減, 2 且在且在 x=- - a 時取最大值時取最大值. 當當 a- -2 時時, f(x) 在區間在區間 0, 1 上的最大值為上的最大值為: 2 4 f(- - . a )= 2 2 a e

16、2+ f(x) 2 已知函數已知函數f(x)=lnx. (1)求證求證: 當當 1xe 時時, 有有 xa0時時, 恒有恒有 ax . f(x)- -f(a) 2 證證: (1)xe2, 2+ f(x) f(x)=lnx2. 要證要證 x 成立成立, 2- -f(x) 2( x- -1) 成立成立.只要證明只要證明 x(2- -lnx) x+1 2 2( x- -1) (x- -1)1 4 則則g? ?(x)= - - 記記g(x)=lnx- - . = . 22 x x+1 (x+1) x(x+1) 當當 x1 時時, g? ?(x)0, g(x) 在在 (1, +) 上為增函數上為增函數.

17、 又又 g(x) 在在 x=1 處連續處連續, g(x)g(1)=0. 2( x- -1) lnx 成立成立.x+1 2+ f(x) 2 當當 1xe 時時, 有有 x 成立成立.x+1 x 2( - -1) x x a ln . 當當 xa0時時, x +1 a 1, a a 2( x- -a) x+a x+a x- -a x- -a 即即 . , x+a f(x)- -f(a) 2 lnx- -lna 2 1 2 - - ( x- -1) x- -1 2 記記 h(x)=lnx- - , 則則 h? ?(x)= 0, x x x h(x) 在在 (1, +) 上為減函數上為減函數. h(x

18、)h(1)=0. x- -1 對任意的對任意的 x? ?(1, +), 都有都有 lnx . x x- -a x+a x- -a ax . 同理可證同理可證 ax . f(x)- -f(a) f(x)- -f(a) 2 2+ f(x) 2 已知函數已知函數f(x)=lnx. (1)求證求證: 當當 1xe 時時, 有有 xa0時時, 恒有恒有 ax . f(x)- -f(a) 2 導數的應用舉例導數的應用舉例 7 式式|f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒成立. 2 2 x n xn2 x 2 n 22(1)解解: f(x)=( + - - - - +2, 2 2 m - -

19、1) +( x - -1) = m mx x2 x 2 n2 2 2 n 2 4 - -m2n2- -mx3 +m2nx) = (xf? ?(x)= - - - - + 2 2 3 mm xxm2x3 2 2- -mx +mn )(x+ mn )(x- - mn) = (x m2x3 1mx0, 0, x+ mn 0. x2 3 mx由由 f? ?(x)0 得得 mx0 得得 mn xn. n 2x 2 已知函數已知函數f(x)=( x - -1) 的定義域為的定義域為 m , n), 且且 1m n m - -1)+( 2. (1)討論討論 f(x) 的單調性的單調性; (2)證明證明: 對

20、任意對任意 x1, x2? ?m , n), 不等不等導數的應用舉例導數的應用舉例 8 f(x) 在在 m , mn ) 上是減函數上是減函數, 在在 mn , n) 上是增函數上是增函數. 導數的應用舉例導數的應用舉例 8 式式|f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒成立. 2 n x n 2 +1. 1m 2, 令令 t = + , 2 m m m x m x x由由 t? ?0 得得 mx0 得得 mn xn. 2 n 2 +1在在1, +)上是增函數上是增函數, 函數函數 y=(t- -1)- - m f(x) 在在 m , mn ) 上是減函數上是減函數, 在在 mn

21、 , n) 上是增函數上是增函數. n 2x 2 已知函數已知函數f(x)=( x - -1) 的定義域為的定義域為 m , n), 且且 1m n m - -1)+( 2. (1)討論討論 f(x) 的單調性的單調性; (2)證明證明: 對任意對任意 x1, x2? ?m , n), 不等不等t(x) 在在 m , mn ) 上是減函數上是減函數, 在在 mn , n) 上是增函數上是增函數. n 2x 2 已知函數已知函數f(x)=( x - -1) 的定義域為的定義域為 m , n), 且且 1m n m - -1)+( 2. (1)討論討論 f(x) 的單調性的單調性; (2)證明證明

22、: 對任意對任意 x1, x2? ?m , n), 不等不等n 2 (2)證證: 由由(1)知知 f(x)在在 m , n) 上的最小值為上的最小值為 f( mn )=2( m - -1), n 2. 對任意的對任意的x , x? ?m , n), 有有 最大值為最大值為 f(m )=( - -1)m 12式式|f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒成立. 導數的應用舉例導數的應用舉例 8 n 2n n n n 22 |f(x1)- -f(x2)|( m - -1)- -2( m m - -1)=( ) - -1. m - -4? ? m +4 n 4- -4 u2+4 u-

23、-1. 令令 u= , h(u)=um n 1m n2, 1 m 2. 10, 2 2 h(u) 在在 (1, 2 上是增函數上是增函數. h(u)h( 2 )=4- -8+4 2- -1 =4 2 - -5. 故對任意故對任意 x1, x2? ?m , n), | f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒成立. 1 已知某廠生產已知某廠生產 x 件產品的成本為件產品的成本為 C=25000+200 x+ x2( (元元) ), 40 問問: (1)要使平均成本最低要使平均成本最低, 應生產多少件產品應生產多少件產品? (2)若產品以每若產品以每件件 500 元售出元售出, 要使

24、利潤最大要使利潤最大, 應生產多少件產品應生產多少件產品? 解解: (1)設平均成本為設平均成本為 y(元元), 1 2 25000+200 x+ x25000 x 40 則則 y= = + +200 x x 40 x 25000 2 ? ? +200=250. 當且僅當當且僅當x=1000 時取等號時取等號. x 40 故要使平均成本最低故要使平均成本最低, 應生產應生產 1000 件產品件產品. 1 2) (2)利潤函數為利潤函數為 L=500 x- -(25000+200 x+ x 40 1 1 2L? ?=300- - x. =300 x- - x - -2500. 40 20 令令

25、L? ?=0 得得 x=6000, 當當 x0; 當當 x6000 時時, L? ?0, 當當 x=6000 時時, L 取得最大值取得最大值. 故要使利潤最大故要使利潤最大, 應生產應生產 6000 件產品件產品. 導數的應用舉例導數的應用舉例 9 導數的應用舉例導數的應用舉例 10 某廠生產某種產品某廠生產某種產品, 已知該產品的月產量已知該產品的月產量 x( (噸噸) )與每噸產品與每噸產品1 2, 且生產且生產x 噸的噸的的價格的價格 p( (元元/ /噸噸) )之間的關系式為之間的關系式為 p=24200- - x 5 成本為成本為 R=50000+200 x 元元. 問該廠每月生產

26、多少噸產品才能使問該廠每月生產多少噸產品才能使利潤達到最大利潤達到最大? 最大利潤是多少最大利潤是多少?( (利潤利潤=收入收入- -成本成本) ) 解解: 設每月生產設每月生產 x 噸的利潤為噸的利潤為 y 元元, 則則 x0, 且且 1 2y=(24200- - x )x- -(50000+200 x) 5 1 3=- - x +24000 x- -50000. 5 3 2+24000=0 得得 x=200(-(-200舍去舍去) ). 由由y? ?=- - x5 在在 0, +) 上只有一個點上只有一個點 x=200 使使 y? ?=0, 它就是最大值點它就是最大值點, 且最大值為且最大

27、值為 1 3+24000? ?200- -50000 - - ? ?200=3150000( (元元) ). 5 故每月生產故每月生產 200 噸產品時利潤最大噸產品時利潤最大, 最大利潤是最大利潤是 315 萬元萬元. 導數的應用舉例導數的應用舉例 11 甲方是一農場甲方是一農場, 乙方是一工廠乙方是一工廠, 由于乙方生產需占用甲方的由于乙方生產需占用甲方的資源資源, 因此甲方有權向乙方索賠以彌補經濟損失并獲得一定凈因此甲方有權向乙方索賠以彌補經濟損失并獲得一定凈收入收入. 在乙方不賠付甲方的情況下在乙方不賠付甲方的情況下, 乙方的年利潤乙方的年利潤 x( (元元) )與年產與年產量量 t(

28、 (噸噸) )滿足函數關系滿足函數關系 x=2000 t . 若乙方每生產一噸產品必須賠付甲方若乙方每生產一噸產品必須賠付甲方 s 元元( (以下稱以下稱 s 為賠付價為賠付價格格) ): (1)將乙方的年利潤將乙方的年利潤 w( (元元) )表示為年產量表示為年產量 t( (噸噸) )的函數的函數, 并并求出乙方獲得最大利潤的年產量求出乙方獲得最大利潤的年產量; (2)甲方每年受乙方生產影響甲方每年受乙方生產影響的經濟損失金額的經濟損失金額 y=0.002t2( (元元) ), 在乙方獲得最大利潤的產量進在乙方獲得最大利潤的產量進行生產的前提下行生產的前提下, 甲方要在索賠中獲得最大凈收入甲方要在索賠中獲得最大凈收入, 應向乙方應向乙方要求的賠付價格最大是多少要求的賠付價格最大是多少? 乙方實際年利潤乙方實際年利潤 解解: (1)