1、對立體幾何中若干錯解的剖析丁勇在立體幾何的學習中， 倘若對基本的概念認識不清，缺乏一定的空間想象能力， 對問題的思考不夠嚴謹，就很容易導致解題的失誤，下面舉例說明。例1.已知空間四邊形 ABCD的對角線 AC 10cm，BD CD的中點，MN 7cm。求異面直線 AC與BD所成的角。錯解取BC中點E，連結EM、EN， 因為M、N、E分別為AB、CD、BC的中點，1所以 ME / AC 且 ME AC 5cm。NE / BD 且26cm, M、N 分別是 AB、ANE 1BD 3cm。 MEN為異面直線 AC與BD所成的角。B 2E22 2在厶MEN中，由余弦定理得cos MEN ME NE M

2、N 2MEgNE5232722 5 31-，所2以 MEN 120，所以異面直線 AC與BD所成的角為120。剖析上述解題過程中沒有注意到兩條異面直線所成的角的范圍是(0 ,90 。所以異面直線AC與BD所成的角為 例2.把長、寬分別為 D的距離。錯解如圖，取AC的中點180 MEN 60 ,4、3的長方形ABCD沿對角線AC折成直二面角，求頂點 B和DO ,連結 DO、BO ,5 因為 AB 4 , AD 3，所以 BO= DO =,2由勾股定理可求得 BD。2AO剖析上述錯解是由于對二面角的平面角理解不深造成的。B事實上，由于 DO、BO與棱AC不垂直，BOD并不是二面角的平面角，也不是直

3、角。DMNB如圖過點B作BM AC，過點D作DN AC ,BM , DN為兩條異面直線,在 Rt ABC , BM gAC ABgBC，因為 AB4,BC 3,AC5,所以BM12同理DN12，又 BC25ACgCM ,所以 CM99,同理 AN ，而 MN AC 2CM55應用異面直線距離公式EF 2 d2 m2n2 2mncos去求BD ,這里，二面角337 ,所以25BD例3.矩形ABCD中，AC 2、2 , AB < BC，沿對角線AC折起，使A2.2,在EF AC 2AE4 X2DEF 中，DE2 EF2 DF2,2B AC D為直二面角，BM與DN的夾角 90 , EF =

4、BD , d MN12 2 2 2 2m n BM DN ，所以 BD MN BM DN5B和D的距離BD 上?37。5ABC 和 ADCEF 2,即 54 x22( )2,把代入上式得2 2 2 2 2BD BE DF EF 2BE2，即 AB4 2 2 2x 8x 120,所以 x 6 或 x剖析錯解忽略了題中所給的條件AB < BC，即 x < y。因而2 2x 6時，y 2不平面 ABCD , PA、B（乙）符合x2 < y2，所以x22，即AB例4.四棱錐P ABCD ,底面是邊長為a的正方形，平面PCD PC與底面所在平面所成角分別為 60和30。求棱錐的高。(甲

5、)錯解因為平面PCD 平面ABCD ,所以過P作PO AC于O，則OP 平面ABCD。（如圖甲）因為PAO 60 ,OC OPgsot 30o ,3h ,所以J3PCO 30 ,設 OP h，則 OA OPgcot60 h, 3由 OA OC AC . 2a 得 3 h . 3h . 2a，所以h ¥a。所以所求棱錐的高為.6a。4剖析題目并未說四棱錐 在底面多邊形的內部（如圖乙） 作圖時要十分注意。ABCD是正棱錐，因此，頂點 P在底面上的射影不一定 。正確作圖是解幾何題的關鍵，它能引導我們的思路，所以若O在AC上，由OA OCAC 、2a 得-h 、3h 2a，所以 h3.6a。

6、4若O在AC的延長線上時，則由J3OA OC AC 、2a 知，,3h h 3、2a，所以h fa，故棱錐的高為卻或于a。例5.正三棱柱的底面的一邊與側棱都為 作棱柱的截面，求截面的面積。a，過底面的一邊與上下底面中心連線的中點3C'（甲）EC長交CC'于一點E，貝y ABE即為所求的截面，如圖（甲） 。因為仝OPEC 2a。所以ED擰界討辰。所以S ABE剖析上述解答，似乎沒有毛病。但仔細檢查不難發現,3EC a > a2CC'。這說（乙）錯解設上下底面中心為 0、0'。P為00'連線的中點，D為AB的中點，連結DP并延DC 3 ,即OD 1（乙

7、）。明E點不應落在CC'內，而應落在CC'的延長線上，見圖設DE交上底面于點 H，過H點作GF，使得GF / A'B'，則等腰梯形 AGFB才是所求 的截面。因為竺3，又皂EH竺，所以gf 1AB 1a,HD玉E3a， EC 1 EC ED AB333311244所以S弟形agfb（aa）g：f3a 3a2。即所求棱柱的截面面積為 .3a2面積單位。23 399例6.在半徑為15的球內有一個底面邊長為 12、.3的內接正三棱錐，求此正三棱錐的體積錯解如（圖一）所示，球心 0的位置，OA OB OC OD R 15 o BCD是邊長為12.3的正三角形，它的中心為 H。H也是A點和O點在平面BCD上的射影。HB HC12、3 12,所以 OH OB2 HB2 . 152 122 9所以三棱錐A BCD的高h 91524，又 S BCD別2，）2 10.3.1 = -108 3 24 864.3.3A BCD的頂點A與球心O在平面BCD的同側,而遺漏了在異側的情況。 如（圖二）所示，三棱錐A BCD的高h所以三棱錐A BCD的體積VABCD剖析上面的解法只考慮了三棱錐OA OH 15 9 6。導致錯誤的主要