1、3.3.2均勻隨機數的產生【自主預習】【自主預習】主題主題1:1:均勻隨機數的產生均勻隨機數的產生1.1.在古典概型中我們可以利用在古典概型中我們可以利用( (整數值整數值) )隨機數來模擬隨機數來模擬古典概型的問題古典概型的問題, ,那么在幾何概型中我們能不能通過隨那么在幾何概型中我們能不能通過隨機數來模擬試驗呢機數來模擬試驗呢? ?我們常用的是我們常用的是0,10,1上的均勻隨機上的均勻隨機數數, ,如何利用計算器產生如何利用計算器產生0 01 1之間的均勻隨機數之間的均勻隨機數? ?提示提示: :能能. .利用計算器產生利用計算器產生0 01 1之間的均勻隨機數之間的均勻隨機數2.2.如

2、何利用計算機產生如何利用計算機產生0,10,1之間的均勻隨機數之間的均勻隨機數? ?提示提示: :用計算機的方法如下用計算機的方法如下: :用用ExcelExcel演示演示. .(1)(1)選定選定A A1 1格格, ,鍵入鍵入“=rand(=rand()”,)”,按按EnterEnter鍵鍵, ,則在此則在此格中的數是隨機產生的格中的數是隨機產生的0,10,1上的均勻隨機數上的均勻隨機數. .(2)(2)選定選定A A1 1格格, ,點擊復制點擊復制, ,然后選定要產生隨機數的格然后選定要產生隨機數的格, ,比如比如A A2 2A A100100, ,點擊粘貼點擊粘貼, ,則在則在A A2

3、2A A100100的數都是的數都是0,10,1上上的均勻隨機數的均勻隨機數. .這樣我們就很快就得到了這樣我們就很快就得到了100100個個0 01 1之之間的均勻隨機數間的均勻隨機數, ,相當于做了相當于做了100100次隨機試驗次隨機試驗. .通過以上探究通過以上探究, ,試著總結出均勻隨機數的定義及產生方試著總結出均勻隨機數的定義及產生方法法: :定義定義: :如果試驗的結果是區間如果試驗的結果是區間a,ba,b內的內的_一個實數一個實數, , 而且出現任何一個實數是而且出現任何一個實數是_的的, ,則稱這些實則稱這些實 數為均勻隨機數數為均勻隨機數. . 任何任何等可能等可能產生方法

4、產生方法: :方法一方法一, ,利用幾何概型產生利用幾何概型產生; ;方法二方法二, ,用轉盤產生用轉盤產生; ;方法三方法三, ,用用_或或_產生產生. .計算器計算器計算機計算機主題主題2:2:用隨機模擬方法估計概率和不規則圖形的面積用隨機模擬方法估計概率和不規則圖形的面積1.1.向如圖所示的正方形內隨機地投擲飛鏢向如圖所示的正方形內隨機地投擲飛鏢N N支支. .則如何利用隨機模擬的方法統計出分別落在正方形和則如何利用隨機模擬的方法統計出分別落在正方形和陰影部分的飛鏢數陰影部分的飛鏢數? ?提示提示: :先產生兩組先產生兩組0,10,1內的均勻隨機數內的均勻隨機數a=RAND, a=RAN

5、D, b=RAND;b=RAND;經過平移和伸縮變換經過平移和伸縮變換:x=2(a-0.5),y=2(b-0.5);:x=2(a-0.5),y=2(b-0.5);統計出滿足的結果數和試驗的總次數統計出滿足的結果數和試驗的總次數. .即統計出落在即統計出落在正方形和陰影部分的飛鏢數正方形和陰影部分的飛鏢數. .2.2.觀察如圖所示的圖形觀察如圖所示的圖形, ,回答有關問題回答有關問題: :(1)(1)圖中陰影部分為一個不規則的圖形圖中陰影部分為一個不規則的圖形, ,你可以采用什你可以采用什么方法求其面積么方法求其面積? ?提示提示: :計算不規則圖形的面積可利用幾何概型計算不規則圖形的面積可利用

6、幾何概型, ,并通過并通過隨機模擬方法可以近似計算不規則圖形的面積隨機模擬方法可以近似計算不規則圖形的面積. .(2)(2)解決不規則圖形面積的計算公式是什么解決不規則圖形面積的計算公式是什么? ?提示提示: :利用公式利用公式 P(A) P(A) 計算出不規則圖形的面積計算出不規則圖形的面積. .不規則圖形面積規則圖形面積不規則圖形內的樣本總數試驗的總次數總結以上探究過程總結以上探究過程, ,試著寫出用隨機模擬近似計算隨機試著寫出用隨機模擬近似計算隨機事件概率的方法事件概率的方法: :試驗模擬法試驗模擬法: :制作兩個轉盤模型制作兩個轉盤模型, ,進行模擬試驗進行模擬試驗, ,并統計并統計

7、試驗結果試驗結果, ,進行近似計算進行近似計算. . 計算機模擬法計算機模擬法: :用用_軟件產生軟件產生0,10,1上的均勻隨機上的均勻隨機 數進行模擬數進行模擬, ,注意操作步驟注意操作步驟. .ExcelExcel【深度思考】【深度思考】結合教材結合教材P139P139例例3 3你認為用隨機模擬方法估計幾何概型你認為用隨機模擬方法估計幾何概型的概率方法步驟有哪些的概率方法步驟有哪些? ?第一步第一步: :建立概率模型建立概率模型. .第二步第二步: :進行模擬試驗進行模擬試驗( (可用計算器或計算機進行可用計算器或計算機進行).).第三步第三步: :統計試驗結果統計試驗結果. .第四步第

8、四步: :利用公式計算概率利用公式計算概率. .【預習小測】【預習小測】1.1.下列關于隨機數的說法下列關于隨機數的說法: :(1)(1)計算器只能產生計算器只能產生0,10,1之間的隨機數之間的隨機數. .(2)(2)計算器能產生指定兩個整數值之間的均勻隨機數計算器能產生指定兩個整數值之間的均勻隨機數. .(3)(3)計算器只能產生均勻隨機數計算器只能產生均勻隨機數. .(4)(4)我們通過命令我們通過命令rand(rand() )* *(b-a)+a(b-a)+a來得到兩個整數值來得到兩個整數值之間的隨機數之間的隨機數. .其中正確的是其中正確的是_._.【解析】【解析】題號題號判斷判斷原

9、因分析原因分析(1)(1)計算器可以產生計算器可以產生0,10,1上的均勻隨上的均勻隨機數和機數和a,ba,b上的整數值隨機數等上的整數值隨機數等(2)(2)計算器不可以產生計算器不可以產生a,ba,b上的均勻上的均勻隨機數隨機數, ,只能通過線性變換得到只能通過線性變換得到(3)(3)計算器可以產生整數值隨機數計算器可以產生整數值隨機數(4)(4)顯然正確顯然正確答案答案: :(4)(4)2.2.已知已知b b1 1是是0,10,1上的均勻隨機數上的均勻隨機數,b=3(b,b=3(b1 1-3),-3),則則b b是區是區間間_上的均勻隨機數上的均勻隨機數. .【解析】【解析】因為因為b b

10、1 1-3-3是是-3,-2-3,-2上的均勻隨機數上的均勻隨機數, ,所以所以b b是是區間區間-9,-6-9,-6上的均勻隨機數上的均勻隨機數. .答案答案: :-9,-6-9,-63.3.邊長為邊長為2 2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影部分的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影部分, ,在中央隨機撒在中央隨機撒1 1粒豆子粒豆子, ,它落在陰影部分的概率是它落在陰影部分的概率是0.3,0.3,則陰影部分的面積估計為則陰影部分的面積估計為_._.【解析】【解析】設陰影面積為設陰影面積為S,S,則則 0.3,0.3,所以所以S1.2.S1.2.答案答案: :1.21.2S44.4.邊長為邊長為2

11、 2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影部分的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影部分, ,在中央隨機撒在中央隨機撒1 0001 000粒豆子粒豆子, ,它落在陰影部分有它落在陰影部分有250250粒粒, ,則陰影部分的面積估計為則陰影部分的面積估計為_._.【解析】【解析】設陰影面積為設陰影面積為S,S,則則 所以所以S1.S1.答案答案: :1 1S250,41 0005.5.設有一個正方形網格設有一個正方形網格, ,其中每個最小正方形的邊長都其中每個最小正方形的邊長都等于等于6cm,6cm,現用直徑等于現用直徑等于2cm2cm的硬幣投擲到網格上的硬幣投擲到網格上, ,用隨用隨機模擬方法求硬幣落下后

12、與格線有公共點的概率機模擬方法求硬幣落下后與格線有公共點的概率.(.(仿仿照教材照教材P139P139例例3 3的解析過程的解析過程) )【解析】【解析】記事件記事件A A表示硬幣與格線有公共點表示硬幣與格線有公共點, ,設硬幣中設硬幣中心為心為B(x,y).B(x,y).步驟步驟:(1):(1)利用計算機或計算器產生兩組利用計算機或計算器產生兩組0 0到到1 1之間的均之間的均勻隨機數勻隨機數,x,x1 1=RAND,y=RAND,y1 1=RAND.=RAND.(2)(2)經過平移經過平移, ,伸縮變換伸縮變換, ,則則x=(xx=(x1 1-0.5)6,y=(y-0.5)6,y=(y1

13、1-0.5)6,-0.5)6,得到兩組得到兩組-3,3-3,3內的均勻隨機數內的均勻隨機數. .(3)(3)統計試驗總次數統計試驗總次數N N及硬幣與格線有公共點的次數及硬幣與格線有公共點的次數N N1 1( (滿足條件滿足條件|x|2|x|2或或|y|2|y|2的點的點(x,y)(x,y)的個數的個數).).(4)(4)計算頻率計算頻率 , ,即為硬幣落下后與格線有公共點的概即為硬幣落下后與格線有公共點的概率率. .1NN【互動探究】【互動探究】1.1.整數值隨機數與均勻隨機數有何異同整數值隨機數與均勻隨機數有何異同? ?提示提示: :均勻隨機數與整數值隨機數的共同點是都是等可均勻隨機數與整

14、數值隨機數的共同點是都是等可能取值能取值, ,二者都是隨機產生的隨機數二者都是隨機產生的隨機數, ,在一定的區域長在一定的區域長度上出現的機會是均等的度上出現的機會是均等的. .不同點是均勻隨機數可以取不同點是均勻隨機數可以取區間內的任意一個實數區間內的任意一個實數, ,整數值隨機數只取區間內的整整數值隨機數只取區間內的整數數. .2.2.如果如果x x是是0,10,1上的均勻隨機數上的均勻隨機數, ,怎樣才能得到它在怎樣才能得到它在a,ba,b上相應的均勻隨機數上相應的均勻隨機數? ?提示提示: :如果如果x x是區間是區間0,10,1上的均勻隨機數上的均勻隨機數, ,則則a+(b-a)xa

15、+(b-a)x就是就是a,ba,b上的均勻隨機數上的均勻隨機數; ;利用計算機利用計算機ExceExcel中的隨機中的隨機函數函數“rand(rand() )* *(b-a)+a”(b-a)+a”也可以得到也可以得到. .3.3.能否用均勻隨機模擬方法估計長度型的概率呢能否用均勻隨機模擬方法估計長度型的概率呢? ?如果如果能能, ,那么取一根長度為那么取一根長度為5m5m的繩子的繩子, ,拉直后在任意位置剪拉直后在任意位置剪斷斷, ,請用均勻隨機模擬方法估計剪得兩段的長都不小于請用均勻隨機模擬方法估計剪得兩段的長都不小于2m2m的概率的概率. .提示提示: :能能, ,設剪得兩段的長都不小于設

16、剪得兩段的長都不小于2m2m為事件為事件A.A.(1)(1)利用計算器或計算機產生利用計算器或計算機產生n n個個0,10,1之間的均勻隨機之間的均勻隨機數數,x=RAND.,x=RAND.(2)(2)作伸縮變換作伸縮變換:y=x:y=x* *(5-0),(5-0),轉化為轉化為0,50,5上的均勻隨機上的均勻隨機數數. .(3)(3)統計出統計出2,32,3內均勻隨機數的個數內均勻隨機數的個數m.m.(4)(4)則概率則概率P(A)P(A)的近似值為的近似值為 . .mn【探究總結】【探究總結】知識歸納知識歸納: :方法總結方法總結:a,b:a,b上均勻隨機數的產生方法上均勻隨機數的產生方法

17、1.1.利用計算器或計算機產生利用計算器或計算機產生0,10,1內的均勻隨機數內的均勻隨機數x x1 1=RAND.=RAND.2.2.利用伸縮和平移變換利用伸縮和平移變換,x=x,x=x1 1(b-a)+a(b-a)+a就可以得到就可以得到a,ba,b內的均勻隨機數內的均勻隨機數. .【題型探究】【題型探究】類型一類型一: :均勻隨機數的產生均勻隨機數的產生【典例【典例1 1】(1)(1)設設x x是是0,10,1內的一個均勻隨機數內的一個均勻隨機數, ,經過變經過變換換y=2x+3,y=2x+3,則則x= x= 對應變換成的均勻隨機數是對應變換成的均勻隨機數是( () )A.0A.0B.2

18、B.2C.4C.4D.5D.512(2)(2)在利用隨機模擬法計算如圖陰影部分在利用隨機模擬法計算如圖陰影部分( (曲線曲線y= y= 與與x x軸軸,x=,x=1 1圍成的部分圍成的部分) )的的面積時面積時, ,需要經過伸縮變換得到兩個區間需要經過伸縮變換得到兩個區間_和和上的均勻隨機數上的均勻隨機數. .x1( )2【解題指南】【解題指南】(1)(1)利用伸縮變換公式利用伸縮變換公式x=xx=x1 1(b-a)+a(b-a)+a求解求解. .(2)(2)觀察區域內點的橫、縱坐標的取值范圍觀察區域內點的橫、縱坐標的取值范圍. .【解析】【解析】(1)(1)選選C.C.當當x= x= 時時,

19、y=2,y=2 +3=4. +3=4.(2)(2)由圖可知需產生的兩組均勻隨機數所在區間為由圖可知需產生的兩組均勻隨機數所在區間為-1,1-1,1與與0,2.0,2.答案答案: :-1,1-1,10,20,21212【規律總結】【規律總結】1.1.應用隨機數進行幾何概型計算時應注意的問題應用隨機數進行幾何概型計算時應注意的問題(1)(1)確定所需產生的隨機數組確定所需產生的隨機數組, ,如長度、角度只需產生如長度、角度只需產生一組均勻隨機數一組均勻隨機數, ,面積要產生兩組均勻隨機數面積要產生兩組均勻隨機數, ,體積要體積要產生三組均勻隨機數產生三組均勻隨機數. .(2)(2)由試驗對應的區域

20、由試驗對應的區域, ,確定對確定對0,10,1內的均勻隨機數進內的均勻隨機數進行變換行變換. .(3)(3)由事件由事件A A發生的條件確定隨機數滿足的關系發生的條件確定隨機數滿足的關系. .2.2.產生均勻隨機數的關鍵產生均勻隨機數的關鍵用隨機模擬方法求概率用隨機模擬方法求概率, ,其實質是先求頻率其實質是先求頻率, ,用頻率近用頻率近似代替概率似代替概率. .產生均勻隨機數關鍵是設計好產生均勻隨機數關鍵是設計好“程序程序”或或者說者說“步驟步驟”, ,并找到各數據需滿足的條件并找到各數據需滿足的條件. .【鞏固訓練】【鞏固訓練】將將0,10,1內的均勻隨機數轉化為內的均勻隨機數轉化為-3,

21、4-3,4內內的均勻隨機數的均勻隨機數, ,需要實施的變換為需要實施的變換為( () )A.a=aA.a=a1 1* *7 7B.a=aB.a=a1 1* *7+37+3C.a=aC.a=a1 1* *7-37-3D.a=aD.a=a1 1* *4 4【解析解析】選選C.C.根據伸縮、平移變換根據伸縮、平移變換a=aa=a1 1* *4-(-3)+ 4-(-3)+ (-3)=a(-3)=a1 1* *7-3.7-3.類型二類型二: :用隨機模擬法估計概率用隨機模擬法估計概率【典例【典例2 2】解放軍某部進行特種兵跳傘解放軍某部進行特種兵跳傘演習演習, ,如圖所示如圖所示, ,在長為在長為16m

22、,16m,寬為寬為14m14m的的矩形內有大、中、小三個同心圓矩形內有大、中、小三個同心圓, ,其半其半徑分別為徑分別為1m,2m,5m.1m,2m,5m.若著陸點在圓環若著陸點在圓環B B內內, ,則跳傘成績為則跳傘成績為合格合格; ;若著陸點在環狀的陰影部分若著陸點在環狀的陰影部分, ,則跳傘成績為良好則跳傘成績為良好; ;若跳傘者的著陸點在小圓若跳傘者的著陸點在小圓A A內內, ,則跳傘成績為優秀則跳傘成績為優秀; ;否則否則為不合格為不合格. .若一位特種兵隨意跳下若一位特種兵隨意跳下, ,假設他的著陸點在假設他的著陸點在矩形內矩形內, ,利用隨機模擬的方法求他的成績為良好的概率利用隨

23、機模擬的方法求他的成績為良好的概率. .【解題指南】【解題指南】本題為面積型幾何概型本題為面積型幾何概型, ,所求的概率為面所求的概率為面積之比積之比, ,若用隨機模擬的方法求其概率則要轉化為求點若用隨機模擬的方法求其概率則要轉化為求點數之比數之比. .【解析】【解析】設事件設事件A A表示表示“該特種兵跳傘的成績為良好該特種兵跳傘的成績為良好”. .(1)(1)利用計算器或計算杌產生兩組利用計算器或計算杌產生兩組0,10,1上的均勻隨機上的均勻隨機數數,a,a1 1=RAND,b=RAND,b1 1=RAND.=RAND.(2)(2)經過伸縮和平移變換經過伸縮和平移變換,a=16a,a=16

24、a1 1-8,b=14b-8,b=14b1 1-7,-7,得到得到-8,8-8,8與與-7,7-7,7上的均勻隨機數上的均勻隨機數. .(3)(3)統計滿足統計滿足-8a8,-7b7-8a8,-7b7的點的點a,ba,b的個數的個數N.N.滿足滿足1a1a2 2+b+b2 244的點的點(a,b)(a,b)的個數的個數N N1 1. .(4)(4)計算頻率計算頻率f fn n(A)= (A)= 即為所求概率的近似值即為所求概率的近似值. .1NN【延伸探究】【延伸探究】在本例中在本例中, ,如何利用隨機模擬的方法求該如何利用隨機模擬的方法求該特種兵的成績為不合格的概率特種兵的成績為不合格的概率

25、. .【解析】【解析】設事件設事件A A表示表示“該特種兵跳傘的成績不合格該特種兵跳傘的成績不合格”. .(1)(1)利用計算器或計算機產生兩組利用計算器或計算機產生兩組0,10,1上的均勻隨機上的均勻隨機數數,a,a1 1=RAND,b=RAND,b1 1=RAND.=RAND.(2)(2)經過伸縮和平移變換經過伸縮和平移變換,a=16a,a=16a1 1-8,b=14b-8,b=14b1 1-7,-7,得到得到-8,8-8,8與與-7,7-7,7上的均勻隨機數上的均勻隨機數. .(3)(3)統計滿足統計滿足-8a8,-7b7-8a8,-7b2525的點的點(a,b)(a,b)的個數的個數N

26、 N1 1. .(4)(4)計算頻率計算頻率f fn n(A)= (A)= 即為所求概率的近似值即為所求概率的近似值. .1NN【規律總結】【規律總結】1.1.用隨機模擬方法估計幾何概型的概率的步驟用隨機模擬方法估計幾何概型的概率的步驟(1)(1)利用計算器或計算機產生一組利用計算器或計算機產生一組0,10,1上的均勻隨機上的均勻隨機數數a a1 1=RAND.=RAND.(2)(2)經過伸縮變換經過伸縮變換x=2ax-a,y=2by-b,x=2ax-a,y=2by-b,得到一組得到一組-a,a,-a,a, -b,b -b,b上的均勻隨機數上的均勻隨機數. .(3)(3)統計出試驗總次數統計出

27、試驗總次數N N和滿足所求概率事件的隨機數和滿足所求概率事件的隨機數個數個數N N1 1. .(4)(4)計算頻率計算頻率f fn n(A)= ,(A)= ,即為所求概率的近似值即為所求概率的近似值. .1NN2.2.用隨機模擬方法估計長度型與面積型幾何概型的概用隨機模擬方法估計長度型與面積型幾何概型的概率的區別率的區別長度型幾何概型只要產生一組均勻隨機數即可長度型幾何概型只要產生一組均勻隨機數即可, ,所求事所求事件的概率為表示事件的長度之比件的概率為表示事件的長度之比, ,對面積型幾何概型問對面積型幾何概型問題題, ,一般需要確定點的位置一般需要確定點的位置, ,而一組隨機數是不能在平而一

28、組隨機數是不能在平面上確定點的位置的面上確定點的位置的, ,故需要利用兩組均勻隨機數分別故需要利用兩組均勻隨機數分別表示點的兩個坐標表示點的兩個坐標, ,從而確定點的位置從而確定點的位置, ,所求事件的概所求事件的概率為點的個數比率為點的個數比. .【鞏固訓練】【鞏固訓練】取一根長度為取一根長度為3m3m的繩子的繩子, ,拉直后在任意位拉直后在任意位置剪斷置剪斷, ,用隨機模擬的方法計算剪得兩段的長都不小于用隨機模擬的方法計算剪得兩段的長都不小于1m1m的概率的概率. .【解析】【解析】設剪得兩段的長都不小于設剪得兩段的長都不小于1m1m為事件為事件A.A.方法一方法一:(1):(1)利用計算

29、器或計算機產生利用計算器或計算機產生n n個個0,10,1內的均內的均勻隨機數勻隨機數,x=RAND.,x=RAND.(2)(2)作伸縮變換作伸縮變換:y=x:y=x* *(3-0),(3-0),轉化為轉化為0,30,3上的均勻隨機上的均勻隨機數數. .(3)(3)統計出統計出1,21,2內均勻隨機數的個數內均勻隨機數的個數m.m.(4)(4)則概率則概率P(A)P(A)的近似值為的近似值為 . .mn方法二方法二:(1):(1)做一個帶有指針的轉盤做一個帶有指針的轉盤, ,把圓周五等分把圓周五等分, ,標標上刻度上刻度0,3,0,3,這里這里3 3和和0 0重合重合. .(2)(2)固定指針

30、轉動轉盤或固定轉盤旋轉指針固定指針轉動轉盤或固定轉盤旋轉指針, ,記下指針記下指針在在1,21,2內內( (表示剪斷繩子位置在表示剪斷繩子位置在1,21,2范圍內范圍內) )的次數的次數m m及試驗總次數及試驗總次數n.n.(3)(3)則概率則概率P(A)P(A)的近似值為的近似值為 . .mn類型三類型三: :利用隨機模擬試驗估計不規則圖形的面積利用隨機模擬試驗估計不規則圖形的面積【典例【典例3 3】利用隨機模擬的方法近似計算邊長為利用隨機模擬的方法近似計算邊長為2 2的正的正方形內切圓面積方形內切圓面積, ,并估計并估計的近似值的近似值. .【解析】【解析】(1)(1)利用計算機產生兩組利

31、用計算機產生兩組0,10,1上的均勻隨機上的均勻隨機數數,a,a1 1=RAND,b=RAND,b1 1=RAND.=RAND.(2)(2)經過平移和伸縮變換經過平移和伸縮變換,a=2(a,a=2(a1 1-0.5),b=2(b-0.5),b=2(b1 1-0.5)-0.5)得得到兩組到兩組-1,1-1,1上的均勻隨機數上的均勻隨機數. .(3)(3)統計試驗總次數統計試驗總次數N N和點落在圓面的次數和點落在圓面的次數N N1 1( (滿足滿足a a2 2+b+b2 211的點的點(a,b)(a,b)的個數的個數) )(4)(4)計算頻率計算頻率 , ,即為點落在圓內的概率近似值即為點落在圓內的概率近似值. .(5)(5)設圓的面積為