1、L16 多目標決策n詹文杰（教授詹文杰（教授/博導）博導）n Office: 華中科技大學管理學院華中科技大學管理學院611室室n Tel: Email: 學習目標n了解多目標決策的特征；n了解常用的多目標決策求解方法；n了解步驟法(STEM法)；n掌握目標規劃方法(圖解法)。16 多目標決策多目標決策 n16.1 多目標決策的特征n16.2 多目標決策的求解n16.3 步驟法(STEM法)n16.4 目標規劃方法16.1 多目標決策的特征n本章討論決策變量為連續型的多準則決策問題，即多目標決策問題(MODM)。n這類問題的備選方案集由一集有因果關系的決策變量隱式地

2、給出。n由于在求解這一類問題時，尤其在生成非劣解過程中，決策分析人員的作用十分重要，因此將特別關注分析人員如何與決策人結合去獲得決策人最滿意的方案。16.1 多目標決策的特征n一、解的特點n二、模型結構f1f212345678n在解決單目標問題時，我們的任務是選擇一個或一組變量在解決單目標問題時，我們的任務是選擇一個或一組變量X，使目標函數使目標函數f(X)取得最大（或最小）。對于任意兩方案所對取得最大（或最小）。對于任意兩方案所對應的解，只要比較它們相應的目標值，就可以判斷誰優誰劣。應的解，只要比較它們相應的目標值，就可以判斷誰優誰劣。n但在多目標情況下，問題卻不那么單純了。例如，有兩個目但

3、在多目標情況下，問題卻不那么單純了。例如，有兩個目標標f1(X)，f2(X),希望它們都希望它們都越大越好越大越好。下圖列出在這兩個目標。下圖列出在這兩個目標下共有下共有8個解的方案。其中個解的方案。其中方案方案1，2，3，4稱為劣解稱為劣解，因為它，因為它們在兩個目標值上都比方案們在兩個目標值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而差，是可以淘汰的解。而方案方案5，6，7，8是非劣解（或稱為有效解，滿意解），是非劣解（或稱為有效解，滿意解），因為這些解都因為這些解都不能輕易被淘汰掉，它們中間的一個與其余任何一個相比，總不能輕易被淘汰掉，它們中間的一個與其余任何一個相比，總有一個指標更優越，而另一個

4、指標卻更差。有一個指標更優越，而另一個指標卻更差。一、解的特點二、模型結構n多目標決策問題包含有三大要素：目標、方案和決策者。n在多目標決策問題中，目標有多層次的含義。從最高在多目標決策問題中，目標有多層次的含義。從最高層次來看，目標代表了問題要達到的總目標。如確定層次來看，目標代表了問題要達到的總目標。如確定最滿意的投資項目、選擇最滿意的食品。從較低層次最滿意的投資項目、選擇最滿意的食品。從較低層次來看，目標可看成是體現總目標得以實現的各個具體來看，目標可看成是體現總目標得以實現的各個具體的目標，如投資項目的盈利要大、成本要低、風險要的目標，如投資項目的盈利要大、成本要低、風險要小；目標也可

5、看成衡量總目標得以實現的各個準則，小；目標也可看成衡量總目標得以實現的各個準則，如食品的味道要好，質量要好，花費要少。如食品的味道要好，質量要好，花費要少。n多目標決策問題中的方案即為多目標決策問題中的方案即為決策變量決策變量，也稱為多目，也稱為多目標問題的解。備選方案即決策問題的標問題的解。備選方案即決策問題的可行解可行解。在多目。在多目標決策中，有些問題的方案是有限的，有些問題標決策中，有些問題的方案是有限的，有些問題 的的方案是無限的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。方案是無限的。方案有其特征或特性，稱之為屬性。XxtsXfXfXfXFoptTp. .)(),.,(),()(21),.,

6、(21nxxxX 為決策變量n如對于求極大(max)型，其各種解定義如下：n絕對最優解：若對于任意的X，都有F(X*) F(X);n有效解：若不存在X，使得 F(X*) F(X);n弱有效解：若不存在X，使得F(X*) F(X)。多目標決策的數學模型絕對最優解不存在絕對最優解的情況n設方案的效用是目標屬性的函數：),.,()(21pfffUxU并設：)(jiijxfa 且各個方案的效用函數分別為：),.,()(21pjjjjaaaUxUn則多目標優選模型的結構可表示如下：XxtsXUXUXUXUoptTp.)(),.,(),()(21多目標決策的效用數學模型16.2 多目標決策的求解n一、主要

7、目標法n二、線性加權和法n三、平方加權和法n四、理想點法一、主要目標法n在有些多目標決策問題中，各種目標的重要性程度往往不一樣。其中一個重要性程度最高和最為關鍵的目標，稱之為主要目標法。其余的目標則稱為非主要目標。XxtsxfxfxfxFoptPp. .)(,),(),()(021）（n例如，在上述多目標問題中，假定f1(x)為主要目標，其余p-1個為非主要目標。這時，希望主要目標達到極大值，并要求其余的目標滿足一定的條件，即： XxtsxfoptP. .)(11）（例例1：某工廠在一個計劃期內生產甲、乙兩種產品，各產某工廠在一個計劃期內生產甲、乙兩種產品，各產品都要消耗品都要消耗A，B，C三

8、種不同的資源。每件產品對資源三種不同的資源。每件產品對資源的單位消耗、各種資源的限量以及各產品的單位價格、的單位消耗、各種資源的限量以及各產品的單位價格、單位利潤和所造成的單位污染如下表。假定產品能全部單位利潤和所造成的單位污染如下表。假定產品能全部銷售出去，問每期怎樣安排生產，才能使利潤和產值都銷售出去，問每期怎樣安排生產，才能使利潤和產值都最大，且造成的污染最小？最大，且造成的污染最小？甲乙資源限量資源A單位消耗資源B單位消耗資源C單位消耗9434510240200300單位產品的價格400600單位產品的利潤70120單位產品的污染32解：問題的多目標模型如下：0,30010320054

9、2404923)(min600400)(max12070)(max21212121213212211xxxxxxxxxxXfxxXfxxXfn對于上述模型的三個目標，工廠對于上述模型的三個目標，工廠確定利潤最大為主要目標。確定利潤最大為主要目標。n另兩個目標通過預測預先給定的另兩個目標通過預測預先給定的希望達到的目標值轉化為約束條件。希望達到的目標值轉化為約束條件。n經研究，工廠認為總產值至少應經研究，工廠認為總產值至少應達到達到20000個單位，而污染控制在個單位，而污染控制在90個單位以下，即：個單位以下，即：9023)(20000600400)(213212xxXfxxXf由主要目標法化

10、為單目標問題：0,300103200542404990232000060040012070)(max212121212121211xxxxxxxxxxxxxxXf用單純形法求得其最優解為：90)(,20750)(,4025)(,25.26, 5 .1232121xfxfxfxxn在上述目標規劃中，假定f1(X), f2(X), fp(X)具有相同的量綱具有相同的量綱,按照一定的規則分別給fk 賦予相同的權系數k，作線性加權和評價函數：pkkkXfXU1)()(則多目標問題化為如下的單目標問題：二、線性加權和法XxtsxfxfxfxFoptPp. .)(,),(),()(021）（XxtsXfX

11、UoptPpkkk. . )()(21）（二、線性加權和法例2：求解 X=xR2|x1+2x210，x24，x10，x20X是凸集，f1(x), f2(x), f3(x)都是X上的凸函數。 XxtsxfxfxfxF. .)(),(),()(min321222132221222211)2()4()()3()2()()1()1()(xxxfxxxfxxxf這里：解：定義權系數wk0 (k=1,2,3), 其中：w1+w2+w3=1. 構造評價函數： 求解單目標最優目標問題： 顯然，對于不同的權系數，最優解對于不同的權系數，最優解x*(w)是不是不同的，但是它們都是原多目標問題的非劣解同的，但是它們

12、都是原多目標問題的非劣解，下面給出幾組權系數及其對應的最優解（表1）。31)()(kkkxfwxUXxtsxfwxUkkk. .)()(min31序w=(w1,w2,w3)X(w)=(x1,x2)F=(f1,f2,f3)12345(1, 0, 0)(0, 1, 0)(0, 0, 1)(1/3, 1/3, 1/3)(3/6, 2/6, 1/6)(1, 1)(2, 3)(4, 2)(7/3, 2)(11/6, 11/6)(0, 5, 10)(5, 0, 5 )(10, 5, 0)(25/9, 10/9, 25/9)(25/18, 25/18, 85/18)表表1 1 線性加權法的最優解線性加權法的

13、最優解332211*2*1,)()(*xwxwxwxxwx24,32,11321xxx 可以證明，這個問題的全部非劣解為：可以證明，這個問題的全部非劣解為：其中：0),(321wwww222132221222211) 2() 4()() 3() 2()() 1() 1()(xxxfxxxfxxxf二、線性加權和法n線性加權和法中權系數確定方法：n1) 法 n2) 法 1) 法 PjjpjkjjkwPkxfwxU111., 2, 1)()(n先對P個分量 fk(x)分別求極值(k=1,2,P)。假設得到P個相應的極值點xk (k=1,2,P)，令：), 2 , 1(; )()(*Pkxfxfop

14、tfkkkXxkn然后把這個P個極值點分別代入評價函數U(x)中，得到P個方程：其中：是待定常數，由此可以解出權系數。105105051050321213132wwwwwwwww.21,0,21,5*3*2*1www23,25*wx213,25,25F例3： 用法求本節例2的權系數。n從表1知，3個單目標分量單獨求極小化，所得3個極小點是：24,32,11321xxx222132221222211)2()4()() 3()2()() 1() 1()(xxxfxxxfxxxfn將3個極小點依次代入目標函數U(x)后，可以構造線性方程組如下：31)()(jkjjkxfwxU不難解出，這個方程組有唯

15、一解：n其相應的線性加權和問題（P2）的最優解為： ， 它也是多目標問題（P0）的非劣解，這時： 2) 法 XxtsxfxfxfoptTP. .)(,),(),(21)()(1*kkkXxkkkxfxfoptff，n化為單目標決策問題：化為單目標決策問題：XxtsxfxoptUmkkk. .)()(1適用條件：適用條件：fk*0。n多目標決策問題：多目標決策問題：其中，其中，三、平方加權和法), 2 , 1(; )()(*PkxfxfoptfkkkXxkPkkkkfxfwxU12*)()(XxtsfxfwxUPPkkkk. .)()(min312*）（XxtsxfxfxfxFoptPp. .)

16、(,),(),()(021）（n先求各分量的最優值：n再分別賦以權系數wk (k=1,2,.,P)，作平方加權和評價函數：n則多目標問題化為如下的單目標問題：四、理想點法TpfffF*2*1*,則稱：XxtsfxfxUPmkkk.)()(min)4(2112*為理想點。n若所有xk都相同，記為 x*，則x*就是所求的多目標決策問題的最優解；n若不然，則考慮求解下面的單目標決策問題：XxtsxfxfxfxFoptPp. .)(,),(),()(021）（n先求各分量的最優值：), 2 , 1(; )()(*PkxfxfoptfkkkXxkn例4：設有多目標決策問題 0,342.)(),(max2

17、1212121xxxxxxtsxfxfT21221123)(4)(xxxfxxxf 解：1. 先求各分量的最優值，得：21,0021xx7; 0*2*1ff2. 構造目標函數：2122122121212*)723()4()()(xxxxfxfxUkkk3. 用理想點法化為單目標決策問題 0,342.)723()4()(min21212121221221xxxxxxtsxxxxxU16.3 步驟法(STEM法)nSTEM法，它是英文“Step Method”的縮寫。這個方法是一種迭代方法。n它和目的規劃法不同，在求解過程中的每一步，分析人和決策人之間都有對話。分析人把分析的結果告訴決策人，并征求

18、他的意見。n如果決策人認為滿意，則迭代終止；n如果決策人認為不夠滿意，則分析人根據他的意見再重復計算，去改進他的結果。n由于它是逐步進行的，故稱步驟法。n設有多目標線性規劃問題：設有多目標線性規劃問題： 矩矩陣陣是是，nmAxbxAtsxfxfxfxFTk 0.)(,),(),()(max21其中：其中：kixcxcxfnjjijii, 2 , 1)(1 STEM法的求解步驟：n分別求解分別求解k個個 單目標線性規劃問題：單目標線性規劃問題：kixbxAtsxfi,2,10.)(max n得到的最優解記為得到的最優解記為x(i)，其相應的目標函數，其相應的目標函數值記為值記為fi*（i=1,

19、2, , k），并），并x(i)代入其它目代入其它目標函數標函數：)()(ijijxfz 結果可列表給出（稱為結果可列表給出（稱為支付表支付表）。）。步驟步驟1：支付表（ STEM法）x(i)f1f2fjfkx(1)z11z21zj1zk1x(i)z1iz2izjizkix(k)z1kz2kzjkzkkn求權系數：從支付表中得到求權系數：從支付表中得到ijkijjzff10*min和n 為找出目標值的偏差以及消除不同目標值的為找出目標值的偏差以及消除不同目標值的量綱不同的問題，進行如下處理量綱不同的問題，進行如下處理：0)(10)(1*120*0*12*0*injijiiiinjijiiiif

20、cffffcfffn歸一化后得權系歸一化后得權系數：數：kikjiii, 2 , 11 步驟步驟2：n求解：求解： 0, 2 , 1)(.min*xbxAkixfftsiii （使目標與理想值的最大加權偏差使目標與理想值的最大加權偏差最小最小）該線性規劃問題的最優解記為該線性規劃問題的最優解記為x0 。步驟步驟3：n將將x0 和相應的目標值和相應的目標值),(,),(),(00201xfxfxfk交給決策者判斷。交給決策者判斷。n 決策者把這些目標值與理想值進行比較后，決策者把這些目標值與理想值進行比較后，若認為滿意了，則可停止計算；若認為滿意了，則可停止計算；n 若認為相差太遠，則考慮適當修

21、正若認為相差太遠，則考慮適當修正 。如：考。如：考慮對第慮對第r個目標讓一點步，降低一點目標值個目標讓一點步，降低一點目標值fr 。步驟步驟4：n求解：求解： 0,)()(, 2 , 1)(.min0*xbxAfxfxfrikixfftsrrriii n 求得解后，再與決策者對話，如此重復，求得解后，再與決策者對話，如此重復，直至決策者認為滿意了為止直至決策者認為滿意了為止。步驟步驟5：例例5：某公司考慮生產甲、乙兩種太陽能電某公司考慮生產甲、乙兩種太陽能電池，生產過程會在空氣中引起放射性污染，池，生產過程會在空氣中引起放射性污染，因此決策者有兩個目標：極大化利潤與極因此決策者有兩個目標：極大

22、化利潤與極小化總的放射性污染。已知在一個生產周小化總的放射性污染。已知在一個生產周期內，每單位甲產品的收益是期內，每單位甲產品的收益是1元，每單位元，每單位乙產品的收益是乙產品的收益是3元；每單位甲產品的放射元；每單位甲產品的放射性污染是性污染是1.5單位，每單位乙產品的放射性單位，每單位乙產品的放射性污染是污染是1單位，由于機器能力（小時）、裝單位，由于機器能力（小時）、裝配能力（人時）和可用的原材料（單位）配能力（人時）和可用的原材料（單位）的限制，約束條件是（的限制，約束條件是（ x1、x2分別為甲、分別為甲、乙產品的產量）：乙產品的產量）：例例5： 該問題的目標函數為：該問題的目標函數

23、為：，（原材料）（裝配能力）（機器能力）072542 . 02 . 0852 . 05 . 0. .21212121xxxxxxxxts（放射性污染最小）（利潤最大）2122115 . 1)(max3)(maxxxxfxxxf該問題的約束條件為：該問題的約束條件為：例例5： 步驟步驟1：先分別求解先分別求解 ，072542 . 02 . 0852 . 05 . 0.3)(max21212121211xxxxxxxxtsxxxf ，072542 . 02 . 0852 . 05 . 0.5 . 1)(max21212121212xxxxxxxxtsxxxf得：得： x(1)=(7.25, 12.

24、75)T， x(2)=(0, 0)T f1*=45.5， f2*=0例例5： f1f2x(1)=(7.25, 12.75)T45.5-23.625x(2)=(0, 0)T002122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 步驟步驟1：得到如下支付表得到如下支付表ijkijjzff10*min和例例5： 步驟步驟2：求權系數。從支付表中得到：求權系數。從支付表中得到：ijkijzf10min625.23,00,5 .4502*201*1ffff0.554715 . 11625.23023.625)(10.31623115 .4505 .45)(12212202*202222121*101*11

25、njjnjjcfffcfff歸一化后得權系數：歸一化后得權系數：6369. 03631. 021，2122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 0)(10)(1*120*0*12*0*injijiiiinjijiiiifcffffcfff步驟步驟3：求解求解 072542 . 02 . 0852 . 05 . 0)5 . 1(6369. 0)35 .45(3631. 0.min212121212121xxxxxxxxxxxxts， 最優解為最優解為x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 2122115 . 1)(3)(xxxfxxxf 例例5：

26、步驟步驟5：修改約束集：修改約束集072542.02.0852.05.0105.135.45.min212121212121xxxxxxxxxxxxts，求解得求解得x1=(0, 10)T, f1(x1)=30, f2(x0)=- -10。若決策者認為滿意，停止迭代。若決策者認為滿意，停止迭代。例例5： 步驟步驟4：將：將x0=(0, 9.57)T, f1(x0)=28.71, f2(x0)=-9.57 交給決策者判斷。交給決策者判斷。決策者將其與理想值（決策者將其與理想值（45.5, 0）進行比較后，認為）進行比較后，認為f2 是滿意的，但利潤太低。且認為可以接受污染值是滿意的，但利潤太低。

27、且認為可以接受污染值為為10個單位。個單位。2122115.1)(3)(xxxfxxxf 16.4 目標規劃方法n目標規劃是求解多目標線性規劃的方法之一。n目標規劃的基本方法：n對每一個目標函數引進一個期望值期望值；n引入正、負偏差變量引入正、負偏差變量，表示實際值與期望值的偏差，并將目標函數轉化為約束條件并將目標函數轉化為約束條件，與原有約束條件構成新的約束條件組；n引入目標的優先等級和權系數，構造新的單一的目標函數，將多目標問題轉化為單目標問題求解。 例例6：某廠生產甲、乙兩種產品，每件產品的某廠生產甲、乙兩種產品，每件產品的單位利潤、所消耗的原材料及設備工時、單位利潤、所消耗的原材料及設

28、備工時、材料和設備工時的限額如下表所示。材料和設備工時的限額如下表所示。甲甲 乙乙限額限額原材料（公斤）原材料（公斤）設備（工時）設備（工時）2 33 22426利潤（元利潤（元/件）件）4 2產品產品消耗消耗原料原料n決策者根據市場需求等一系列決策者根據市場需求等一系列因素，提出下列因素，提出下列目標目標（依重要（依重要程度排列）：程度排列）： 首要目標是保證甲、乙產品的產首要目標是保證甲、乙產品的產量盡可能接近量盡可能接近。 盡可能充分利用工時，但又不希盡可能充分利用工時，但又不希望加班望加班； 確保達到計劃利潤確保達到計劃利潤30元元。 )3024max(21 xx甲甲 乙乙限額限額原材

29、料（公斤）原材料（公斤）設備（工時）設備（工時）2 33 22426利潤（元利潤（元/件）件）4 2試對廠家生產作出決策分析。設甲、乙產品試對廠家生產作出決策分析。設甲、乙產品的產量分別為的產量分別為x1、x2件。件。|min21xx )2326min(21xx 該問題的目標函數為：該問題的目標函數為：的條件下越大越好）（確保利潤：目標）（盡可能充分利用工時：目標近）（甲、乙產量盡可能接：目標30)3024max(3)2326min(2|max1212121xxxxxx該問題的約束條件為：該問題的約束條件為：甲甲 乙乙限額限額原材料（公斤）原材料（公斤）設備（工時）設備（工時）2 33 224

30、26利潤（元利潤（元/件）件）4 20423230242623.21212121xxxxxxxxts，（原材料限制）（利潤下限限制）（不能加班限制）n1)目標函數的目標函數的期望值期望值ek 對于多目標線性規劃的每一個目標函數對于多目標線性規劃的每一個目標函數值值Zk( (k=1, 2, , K) )，根據實際情況和決策，根據實際情況和決策者的希望，者的希望，確定一個期望值確定一個期望值ek 。n在在例例6中中:n乙產品與甲產品產量之差的乙產品與甲產品產量之差的目標值可定為目標值可定為0；n生產工時的生產工時的目標值為目標值為26（工時）；（工時）；n利潤的利潤的目標值為目標值為30（元）。（

31、元）。16.4 目標規劃方法n2、正負偏差變量、正負偏差變量 對每一個目標函數值，分別引入正、負對每一個目標函數值，分別引入正、負偏差變量偏差變量： 0), 2 , 1(00 kkkkddKkdd，n正負偏差變量分別表示實際目標值超過和低正負偏差變量分別表示實際目標值超過和低于期望值的數值。于期望值的數值。n引入偏差變量之后，引入偏差變量之后，目標目標就變成了就變成了約束條件約束條件，成為約束條件組的一部分成為約束條件組的一部分。16.4 目標規劃方法n在在例例6中，令：中，令：nd1+, d1- -分別表示乙產品與甲產品產量之差超過和達分別表示乙產品與甲產品產量之差超過和達不到目標值的偏差變

32、量；不到目標值的偏差變量；nd2+, d2- -分別表示生產工時超過和達不到目標值的偏分別表示生產工時超過和達不到目標值的偏差變量；差變量；nd3+, d3- -分別利潤超過和達不到目標值的偏差變量；分別利潤超過和達不到目標值的偏差變量；n則三個則三個目標可化為含有偏差變量的約束條件目標可化為含有偏差變量的約束條件：16.4 目標規劃方法302426230332122211112ddxxddxxddxxn3、優先因子（優先等級）和權系數、優先因子（優先等級）和權系數如何區別不同目標的主次輕重？如何區別不同目標的主次輕重？n凡要求第一位達到的目標賦于優先因子凡要求第一位達到的目標賦于優先因子P1

33、，次位，次位的目標賦于優先因子的目標賦于優先因子P2，并規定，并規定PkPk+1（表示（表示Pk比比Pk+1有更大的優先權，有更大的優先權，Pk+1級目標是在級目標是在保證保證Pk 級目標實現的基礎上才能考慮的）（級目標實現的基礎上才能考慮的）（k1,2，K）n為區別具有相同優先因子的兩個目標的差別，可為區別具有相同優先因子的兩個目標的差別，可分別賦于它們不同的權系數分別賦于它們不同的權系數jn優先等級及權數的賦值由決策者確定優先等級及權數的賦值由決策者確定。16.4 目標規劃方法n4、達成函數、達成函數(準則函數準則函數)：目標規劃模型的目：目標規劃模型的目標函數。標函數。n準則函數由各目標

34、約束的正、負偏差變量及相應準則函數由各目標約束的正、負偏差變量及相應的優先因子和權系數構造而成的優先因子和權系數構造而成。n注：目標規劃模型的目標函數是對各目標的偏差注：目標規劃模型的目標函數是對各目標的偏差的綜合（將多目標化為單目標），在目標函數中的綜合（將多目標化為單目標），在目標函數中不包含原決策變量，且一定是極小型的（偏差最不包含原決策變量，且一定是極小型的（偏差最小）。小）。16.4 目標規劃方法4、達成函數(準則函數)n當每一目標值確定后，決策者的要求是偏當每一目標值確定后，決策者的要求是偏差變量盡可能小，因此其目標函數只能是差變量盡可能小，因此其目標函數只能是極小形式，極小形式，

35、具體有以下三種基本形式具體有以下三種基本形式： kkddfZ,min kdfZmin kdfZminn2 2）要求）要求不超過不超過目標值目標值( (正偏差應盡可能小正偏差應盡可能小) )n3 3）要求）要求不低于不低于目標值目標值( (負偏差應盡可能小負偏差應盡可能小) )n1）要求）要求恰好達到恰好達到目標值目標值(正、負偏差都要盡可能小正、負偏差都要盡可能小)n在在例例6中：中：n首要目標是保證乙產品的產量大于甲產品產量，首要目標是保證乙產品的產量大于甲產品產量，賦于優先因子賦于優先因子P1，目標為，目標為d1- -和和d2都盡可能小；都盡可能小；n次級目標是生產工時恰好達到目標值，賦于

36、優先次級目標是生產工時恰好達到目標值，賦于優先因子因子P2，目標為，目標為d2- -和和d2都要小；都要小；n最后的目標是利潤不低于最后的目標是利潤不低于30元，賦于優先因子元，賦于優先因子P3，目標為目標為d3- -盡可能小。盡可能小。n因此，可構造準則函數如下：因此，可構造準則函數如下：33222111)(mindPddPddPZ16.4 目標規劃方法例例6：目標規劃模型目標規劃模型）（3 , 2 , 10,0,2432302426230. .)(min1212133212221111233222111iddxxxxddxxddxxddxxtsdPddPddPZi線性規劃線性規劃 vs.

37、目標規劃目標規劃0423230242623. .30)3024max(3)2326min(2|max121212121212121xxxxxxxxtsxxxxxx，（原材料限制）（利潤下限限制）（不能加班限制）的條件下越大越好）（確保利潤：目標）（盡可能充分利用工時：目標近）（甲、乙產量盡可能接：目標）（3 , 2 , 10,0,2432302426230. .)(min1212133212221111233222111iddxxxxddxxddxxddxxtsdPddPddPZi LlddnjxmibxaLleddxctsddPZlljinjjijlllnjjljKklkllklLlk, 2

38、 , 10, 2 , 10, 2 , 1, 2 , 1.min1111， 目標規劃的一般模型n（1）假設決策變量；）假設決策變量；n（2）建立約束條件；）建立約束條件；n（3）建立各個目標函數；）建立各個目標函數；n（4）確定各目標期望值，引入偏差變量，）確定各目標期望值，引入偏差變量，將目標函數化為約束方程；將目標函數化為約束方程；n（5）確定各目標優先級別和權系數，構造）確定各目標優先級別和權系數，構造準則函數。準則函數。 目標規劃的建模步驟例例7(10.2): 圖解法圖解法-目標規劃目標規劃n某車間生產甲、乙兩種產品，產量分別為某車間生產甲、乙兩種產品，產量分別為x1和和x2，產品甲每單

39、位需產品甲每單位需2個單位的勞動力和個單位的勞動力和3個單位原個單位原料，利潤為料，利潤為2；生產每單位產品乙需；生產每單位產品乙需3個單位勞個單位勞動力和動力和1.5個單位原料，利潤為個單位原料，利潤為3。在下一計劃期。在下一計劃期間車間有間車間有12單勞動力單勞動力12單位原料。假定車間主單位原料。假定車間主任有如下目標：任有如下目標：n利潤至少為利潤至少為6個單位；個單位；n兩種產品產量經盡可能保持兩種產品產量經盡可能保持x1 : x2 = 3 : 2；n勞動力充分利用（不允許加班）。勞動力充分利用（不允許加班）。解答1: 線性規劃0125 . 132132632. . )3212min

40、(32:3 |32|min2 )32max(121212121212121xxxxxxxxtsxxxxxx，（原材料限制限制）（不允許加班限制）（利潤下限限制）（勞動力充分利用）：目標）持（兩種產量比盡可能保：目標（利潤越大越好）：目標解答2：目標規劃利潤是目標函數中的第一優先級，因此用利潤是目標函數中的第一優先級，因此用d1表示利潤偏差；因表示利潤偏差；因為利潤可以超過目的值，正偏差為利潤可以超過目的值，正偏差d1+可以大于可以大于0，取，取w1+ =0，使不在目標函數中出現；負偏差使不在目標函數中出現；負偏差d1-則是越小越好，把它作為則是越小越好，把它作為第一優先級放到目標函數中。第一優先級放到目標函數中。產量比例屬于第二優先級，用產量比例屬于第二優先級，用d2表示產量比例偏差，由于正、表示產量比例偏差，由于正、負偏差都不好，要將負偏差都不好，要將d2+和和d2-同時加入目標函數中。同時加入目標函數中。第三個目的是充分利用勞動力，因此用第三個目的是充分利用勞動力，因此用d3表示勞動力偏差，因表示勞動力偏差，因為不允許加班，勞動力不能出現正偏差，即為不允許加班，勞動力不能出現正偏差，即d3+ 0，所以約，所以約束條件和目標函數中均無束條件和目標函數中均無d3+出現；出現； d3-則作為第三個優先級