1、高考數(shù)學試題分類匯編高考數(shù)學試題分類匯編函數(shù)函數(shù)上海文數(shù)上海文數(shù)22.22.此題總分值此題總分值 1616 分分此題共有此題共有 3 3 個小題，第個小題，第 1 1 小題總分值小題總分值 3 3 分，第分，第 2 2 小題小題總分值總分值 5 5 分，第分，第 3 3 小題總分值小題總分值 8 8 分。分。假設實數(shù)、滿足，那么稱比接近.xymxmymxym1假設比 3 接近 0，求的取值范圍；21x x2對任意兩個不相等的正數(shù)、，證明：比接近；ab22a bab33ab2ab ab3函數(shù)的定義域.任取，等于和( )f x,d x xkkz xrxd( )f x1 sin x的解析式，并指出它

2、的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性結論不要求證1 sin x( )f x明.解析：(1) x(2,2)；(2) 對任意兩個不相等的正數(shù) a、b，有，222a babab ab332abab ab因為，22332|2|2|()()0a babab ababab abab ab 所以，即 a2bab2比 a3b3接近；2233|2| |2|a babab ababab ab2ab ab(3) ,kz，1sin ,(2,2)( )1 |sin|,1sin ,(2,2)xxkkf xx xkxxkk f(x)是偶函數(shù)，f(x)是周期函數(shù)，最小正周期 t，函數(shù) f(x)的最小值為 0，函數(shù) f(x)在

3、區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，kz,)2kk(,2kk湖南文數(shù)湖南文數(shù)21 本小題總分值 13 分函數(shù)其中 a0,且 a-1.( )(1)ln15 ,af xxaxax討論函數(shù)的單調(diào)性；( )f x設函數(shù)e 是自然數(shù)的底數(shù) 。是332( 23646 ),1( ),1( )xxaxaxaa exe fx xg x否存在 a，使在a,-a上為減函數(shù)？假設存在，求 a 的取值范圍；( )g x假設不存在，請說明理由。浙江理數(shù)浙江理數(shù) (22)(此題總分值 14 分)是給定的實常數(shù)，設函數(shù)，a22( )() ()f xxaxb e，br是的一個極大值點xa( )f x ()求的取值范圍；b()設是的

4、3 個極值點，問是否存在實數(shù)，可找到，使得123,x x x( )f xb4xr的某種排列(其中=)依次成等差數(shù)列?假設存1234,x x x x1234,iiiixxxx1234, , ,i i i i1,2,3,4在，求所有的及相應的；假設不存在，說明理由b4x解析：此題主要考查函數(shù)極值的概念、導數(shù)運算法那么、導數(shù)應用及等差數(shù)列等根底知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識。解：f(x)=ex(x-a) 2(3)2,xab xbaba令222( )(3)2,=(3-a+b)4(2)(1)80,g xxab xbabababaab則于是，假設1212,( )0.x xg

5、xxx是的兩個實根，且（1）當 x1=a 或 x2=a 時，那么 x=a 不是 f(x)的極值點，此時不合題意。（2）當 x1a 且 x2a 時，由于 x=a 是 f(x)的極大值點，故 x1a0),12 xax由得 =alnx，x=， 解德 a=,x=e2,12 xax2e兩條曲線交點的坐標為e2,e 切線的斜率為 k=f(e2)= ,12e切線的方程為 y-e=(x- e2). 12e2由條件知 當 a.0 時，令h (x)=0,解得 x=,24a所以當 0 x 時 h (x)時，h (x)0，h(x)在0，上遞增。24a24a所以x是h(x)在0， + 上的唯一極致點，且是極小值點，從而

6、也是h(x)的最小24a值點。所以 a=h()= 2a-aln=224a24a當 a 0 時，h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在0，+遞增，無最小值。故 h(x) 的最小值 a的解析式為 2a(1-ln2a) (ao)3由2知 a=2a(1-ln2a) 那么 1a =-2ln2a，令 1a =0 解得 a =1/2當 0a0，所以 a 在(0,1/2) 上遞增當 a1/2 時， 1a 0，為單調(diào)遞增區(qū)01x，11( )2fxaxx間。最大值在右端點取到。max1(1)2ffa安徽文數(shù)安徽文數(shù)20.本小題總分值 12 分設函數(shù)，求函數(shù) f x的單調(diào)區(qū)間與極值。 sincos1f x

7、xxx02x【解題指導】 1對函數(shù)求導，對導函數(shù)用輔助角公式變形，利 sincos1f xxxx用導數(shù)等于 0 得極值點，通過列表的方法考查極值點的兩側導數(shù)的正負，判斷區(qū)間的單調(diào)性，求極值.,( )12().423( )0()422( )xxxxxxxx 解：由f (x)=si nx-cosx+x+1, 0 x2 , 知fsi n令f，從面si n，得，或，當變化時，f，f (x)變化情況如下表：3223332222因此，由上表知f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，）與（，），單調(diào)遞增區(qū)間是（，），極小值為f ()=，極大值為f ()=【思維總結】對于函數(shù)解答題，一般情況下都是利用導數(shù)來研究單調(diào)性

8、或極值，利用導數(shù)為0 得可能的極值點，通過列表得每個區(qū)間導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而得出極值點.重慶文數(shù)(19) (本小題總分值 12 分), ()小問 5 分，()小問 7 分.)函數(shù)(其中常數(shù) a,br),是奇函數(shù).32( )f xaxxbx( )( )( )g xf xfx()求的表達式;( )f x()討論的單調(diào)性，并求在區(qū)間1,2上的最大值和最小值.( )g x( )g x浙江文數(shù)浙江文數(shù) 21 此題總分值 15 分函數(shù)a-b0. 3231()2axxxr假設 a=1，求曲線 y=fx在點2，f2 處的切線方程；假設在區(qū)間上，fx0 恒成立，求 a 的取值范圍.1 1,2 2【解

9、析】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等根底知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.總分值 12 分.解：當 a=1 時，fx=，f2=3；f(x)=, f(2)=6.323xx12233xx所以曲線 y=fx在點2，f2 處的切線方程為 y-3=6x-2 ，即 y=6x-9.解：f(x)=.令 f(x)=0，解得 x=0 或 x=.2333 (1)axxx ax1a以下分兩種情況討論：（1）假設，當 x 變化時，f(x)，fx的變化情況如下表：110a2a2，則x102，0120，f(x)+0-f(x)a極大值a 當?shù)葍r于1 1xfx2 2 ，時，（）05

10、a10,()0,8215a( )0,0.28ff即.0a2（2）假設 a2，那么.當 x 變化時，f(x),fx的變化情況如下表：110a2x102，01a0，1a1 1a 2，f(x)+0-0+f(x)a極大值a極小值a當時，fx0 等價于即1 1x2 2 ，1f(-)21f()0,a0,25811-0.2aa0,解不等式組得或.因此 2a5. 252a22a 綜合1和2 ，可知 a 的取值范圍為 0a1 時，2x-20,從而(x)0,從而函數(shù) fx在2x-2e10,0,fxe 又所以1,+)是增函數(shù)。又 f(1)=f(x)f(1)=0,即 f(x)g(x).-1-1ee0 ，所以x1時，有

11、)證明：1假設121212(1)(1)0,),1.xxxxxx12由（）及f (xf (x則與矛盾。2假設121212(1)(1)0,),.xxxxxx12由（）及f (xf (x得與矛盾。根據(jù)1 2得1212(1)(1)0,1,1.xxxx不妨設由可知，,那么=，所以,從而)2f (x)2g(x)2g(x)2f (2-x)2f (x)2f (2-x.因為，所以，又由可知函數(shù) f(x)在區(qū)間-，1)1f (x)2f (2-x21x 221x內(nèi)事增函數(shù)，所以,即2.1x22x12xx福建文數(shù)福建文數(shù)22 本小題總分值 14 分 函數(shù) fx=的圖像在點 p0,f(0)處的切線方程為 y=3x-23

12、213xxaxb()求實數(shù) a,b 的值；()設 gx=f(x)+是上的增函數(shù)。1mx2, i求實數(shù) m 的最大值； (ii)當 m 取最大值時，是否存在點 q，使得過點 q 的直線假設能與曲線 y=g(x)圍成兩個封閉圖形，那么這兩個封閉圖形的面積總相等?假設存在，求出點 q 的坐標；假設不存在，說明理由。福建文數(shù)福建文數(shù)21(本小題總分值 12 分)某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口o北偏西 30且與該港口相距 20 海里的a處，并正以 30 海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設該小艇沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小

13、時與輪船相遇。()假設希望相遇時小艇的航行距離最小，那么小艇航行速度的大小應為多少？()為保證小艇在 30 分鐘內(nèi)(含 30 分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；()是否存在，使得小艇以海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？假設存在，試確定的取值范圍；假設不存在，請說明理由。全國卷全國卷 1 1 理數(shù)理數(shù)(20)(本小題總分值 12 分) 函數(shù).( )(1)ln1f xxxx假設，求的取值范圍；2( )1xfxxaxa證明： .(1) ( )0 xf x四川文數(shù)四川文數(shù) 22 本小題總分值 14 分w_w w. k#s5_u.c o*m設且 ，g(x)是 f

14、(x)的反函數(shù).11xxaf( x)a0a 1a 求；( )g x當時，恒有成立，求 t 的取值范圍；2,6x2( )log(1)(7)atg xxx當 0a 時，試比擬 f(1)+f(2)+f(n)與的大小，并說明理由.124n湖北文數(shù)湖北文數(shù)21.本小題總分值 14 分設函數(shù)，其中 a0，曲線在點 p0，321axxbxc32f（x）=xyf （）0f （）處的切線方程為 y=1確定 b、c 的值設曲線在點及處的切線都過點0,2證xyf （）11xxf，（）22xxf，（）明：當時，12xx12()()fxfx假設過點0,2可作曲線的三條不同切線，求 a 的取值范圍。xyf （）湖北文數(shù)湖

15、北文數(shù)19.本小題總分值 12 分某地今年年初擁有居民住房的總面積為 a：m2 ，其中有局部舊住房需要撤除。當?shù)赜嘘P部門決定每年以當年年初住房面積的 10%建設新住房，同事也撤除面積為 b：m2的舊住房。分別寫出第一年末和第二年末的實際住房面積的表達式：5=1.6山東理數(shù)山東理數(shù)(22)(本小題總分值 14 分)函數(shù).1( )ln1af xxaxx()ar()當時，討論的單調(diào)性；12a ( )f x設當時，假設對任意，存在，使2( )24.g xxbx14a 1(0,2)x 21,2x ，求實數(shù)取值范圍.12()()f xg xb當時，在0，1上是減函數(shù)，在1，2上是增函數(shù)，所以對任意14a

16、f(x)，1(0,2)x 有，又存在，使，所以，11f(x )f(1)=-221,2x 12()()f xg x21()2g x21,2x 即存在，使，即，即1,2x21( )242g xxbx 2922bxx922bxx，11 17,24所以，解得，即實數(shù)取值范圍是。1122b 114b b11,)4考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力。1直接利用函數(shù)與導數(shù)的關系討論函數(shù)的單調(diào)性；2利用導數(shù)求出的最小值、( )f x利用二次函數(shù)知識或別離常數(shù)法求出在閉區(qū)間1,2上的最大值，然后解不等式求參數(shù)。( )g x湖南理數(shù)湖南理數(shù)20.本小題總分值 13 分函數(shù)對任意的，恒有。2( )(

17、 ,),f xxbxc b crxr( )fx( )f x證明：當時，；0 x 2( )()f xxc假設對滿足題設條件的任意 b，c，不等式恒成立，求22( )( )()f cf bm cbm 的最小值。解析：解析：湖北理數(shù)17 本小題總分值 12 分 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造本錢為 6 萬元。該建筑物每年的能源消消耗用 c：萬元與隔熱層厚度 x：cm滿足關系：cx=假設不建隔熱層，每年能源消消耗用為 8 萬元。設 fx為隔熱層建造(010),35kxx費用與 20 年的能源消消耗用

18、之和。求 k 的值及 f(x)的表達式。隔熱層修建多厚時，總費用 f(x)到達最小，并求最小值。福建理數(shù)福建理數(shù)20 本小題總分值 14 分函數(shù)，。3(x)=x -xf其圖象記為曲線ci求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間ii證明：假設對于任意非零實數(shù)，曲線 c 與其在點(x)f1x處的切線交于另一點111p (x ,f(x )，曲線 c 與其在點處的切線交于另一點，線段222p (x ,f(x )222p (x ,f(x )333p (x ,f(x )11223122pp ,p p,s ,scs與曲線所圍成封閉圖形的面積分別記為s則為定值；對于一般的三次函數(shù)32g(x)=ax +bx +cx+d(a0),請給出類似于【解析】 i由得=，3(x)=x -xf2(x)=3x -1f333(x-)(x+)33當和時，；3x(- ,-)3 33（，）(x)0f當時，3x(-,33)3(x)0，使得，那么)(xh)(xh), 1 ( x)(xh) 1)()( 2axxxhxf稱函數(shù)具有性質(zhì)。)(xf)(ap(1)設函數(shù)，其中為實數(shù)。)(xf2ln(1)1bxxxb(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)； (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。)(xf)(bp)(xf(2)函數(shù)具有性質(zhì)。給定設為實數(shù)，)(xg)2(p1212,(1