1、第六章 不定積分不定積分是求微商的逆運(yùn)算。§1 不定積分的概念定義61 設(shè)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)，都有，則稱是 在上的一個原函數(shù)例1 設(shè)，則 是在的一個原函數(shù)顯然,也是在的原函數(shù)任意的常數(shù)也是在的原函數(shù)例2 ，是在的一個原函數(shù)；，是在的一個原函數(shù)；注1 原函數(shù)與區(qū)間有關(guān)。但在本章中重在如何求原函數(shù)，故以下不強(qiáng)調(diào)區(qū)間。只要在某區(qū)間成立即可注2 原函數(shù)若存在，則不唯一。 定理61 若是在區(qū)間內(nèi)的一個原函數(shù)，則是 的全體原函數(shù)，其中c是任意常數(shù) 證明 首先證明對任意給定的常數(shù)，是的一個原函數(shù)這是顯然的，因?yàn)椋浯巫C明包括的所有原函數(shù)設(shè)是在區(qū)間的任意一個原函數(shù)，則有 在區(qū)間上的每一點(diǎn)都成立，有微分

2、中值定理的推論知 即 定理證完定義62 在區(qū)間上的原函數(shù)全體稱為在區(qū)間上的不定積分，記為 其中稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為被積表達(dá)式若是在上的一個原函數(shù)，則有；或 。積分號“”也是一種運(yùn)算符號，由Leibniz引入。它表示對已給函數(shù)求其全體原函數(shù)例 2 這里沒有特別注明的變化范圍，通常都理解為使等式成立的全體不定積分的幾何意義：一族積分曲線，在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)，這些曲線的切線的斜率相等，因此切線彼此平行(圖61) 小結(jié)：兩個概念：原函數(shù)，不定積分以下討論計算：求導(dǎo)數(shù)：基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表， 求導(dǎo)四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，反函數(shù)求導(dǎo)法則求不定積分：基本的不定積分表，不定積分

3、線性運(yùn)算法則 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，導(dǎo)出兩種換元積分法 由乘積求導(dǎo)法，導(dǎo)出分部積分法把微商表按反方向讀，得最基本的不定積分表，必須牢牢熟記！甚至基本初等函數(shù)，的不定積分，上表中都沒有！與求導(dǎo)四則運(yùn)算法則相比，不定積分只有線性運(yùn)算法則。定理 6.2 若，在區(qū)間上的原函數(shù)存在，是常數(shù)，則 證明 事實(shí)上，由 根據(jù)不定積分定義便證得定理成立例 §2 換元積分法與分部積分法本節(jié)中我們再介紹兩種重要的積分方法：換元積分法和分部積分法1換元積分法考慮復(fù)合函數(shù)，則 記，若是的一個原函數(shù)，則 可見，和只要能求出一個，上述不定積分就能求出來。由此有下面兩種換元積分法第一換元積分法：為求，不好求，但好求。于是

4、求不定積分是它的逆過程定理63 (湊微分法或第一換元法) 設(shè)在上有原函數(shù)，在上可導(dǎo)，且，則在上有原函數(shù)，即 之所以稱為湊微分法，是因?yàn)樯鲜鲞^程完全是復(fù)合函數(shù)求微分的逆過程 ， ， ， 從表面上看，結(jié)果似乎不一樣，但實(shí)際上它們最多相差一個常數(shù)： 。 解法2 用上述公式 解法3第二換元積分法：為求，不好求，但好求。 作變換 ，則存在時，有 定理 6.4（第二換元法） 設(shè)在上可導(dǎo)且，若在上有原函數(shù)，則有原函數(shù)，即證明 由于，在上連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)，故有反函數(shù)存在，且，于是故定理結(jié)論成立。例 8 求解 令，則 例 9 求解 令，則 其中例 10 求 解 令，則 其中上面的積分可作為公式，匯總對一些無理式，作

5、如下三角代換：目的在于消去根號對于，令；對于，令；對于，令。除三角代換外，也可用其它的代換消去根號。例 11 求解 令，則，。例 12 求解法1 用三角代換。令，則 解法 2 作倒代換，則 解法3 用湊微分法。 2分部積分法我們從復(fù)合函數(shù)微分法得出了換元積分法，下面要從乘積的微分法倒出分部積分公式。設(shè)是的可微函數(shù)，則 ，故 或 因此，若和中有一個有原函數(shù)，則另一個也有原函數(shù)，且上述等式成立。定理 6.5（分部積分公式）設(shè)可導(dǎo)，若存在原函數(shù)，則也存在原函數(shù)，且或 分部積分法是用于乘積的積分，應(yīng)用的關(guān)鍵是如何確定函數(shù)和。下面通過例子說明例 13 求解 如果我們?nèi)?則 結(jié)果，分部積分一次，x的次冪反

6、而增加1，積分不是簡化，而是更復(fù)雜了。因此必須掌握如何正確地選取因子。作為函數(shù)。例 14 求解 例 15 求解 例 16 求解 例 17 求解 移項(xiàng)即得 這里我們?nèi)。x者不妨試試，若取，會是怎樣的情形。一般地，下列類型的不定積分總是用分部積分法求積：， ， ， ， 將湊微， ， ， 將湊微， 其中是正整數(shù)，是常數(shù)，是多項(xiàng)式。有些積分既可用換元法，又可用分部積分法。例 17 求解 已經(jīng)用三角代換求過，下面用分部積分法求積移項(xiàng)即得 。例 18 移項(xiàng)即得 分部積分還常用來導(dǎo)出遞推公式。例 19 求解 移項(xiàng)得 利用這組公式易得 例 20 求解 ， ，利用上述結(jié)果可得 總結(jié)：兩種積分法：換元積分法 和

7、分部積分法換元積分法： 第一換元法 湊微法 第二換元法 常用的三角代換，倒代換 分部積分法：一些特殊類型只能用分部積分法 常用來導(dǎo)出遞推公式 任一初等函數(shù)總可按一定的步驟求得它的導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)仍是初等函數(shù)而求初等函數(shù)的積分不僅無一定的步驟可循，更有所不同的是初等函數(shù)的原函數(shù)有可能不再是初等函數(shù)，這時我們也說積分積不出來例如 有一些特殊類型的函數(shù)，它們的原函數(shù)必是初等函數(shù)，并且可以按一定的步驟積出來 有理函數(shù) 三角函數(shù)有理式 某些無理函數(shù)3有理函數(shù)的積分兩個多項(xiàng)式的商稱為有理函數(shù)，記為 其中和分別是n次和m次多項(xiàng)式。當(dāng)時稱為真分式。當(dāng)時， （多項(xiàng)式） + （真分式）例如： 當(dāng)時，= （下列四種

8、簡單分式之和） （，）若，則分解式中有如下項(xiàng)若，則分解式中有如下項(xiàng)于是有理函數(shù)的積分，歸結(jié)為這四種簡單分式的積分！（1）（2），（3） （分子湊成分母的微分） （分母化為完全平方和） （4） （類似上面的做法） （用遞推公式）其中 。有理函數(shù)的不定積分必能積出來（必能用初等函數(shù)喪示）！例 21 求解 設(shè) ， 是待定系數(shù)。下面介紹兩種確定待定系數(shù)的方法。方法 1（比較系數(shù)法） 在等式右邊通分后，令等式兩邊的分子相等得 比較兩端同次冪的系數(shù)得線性方程組 解得 方法 2（取特殊值法） 在等式兩邊同乘以后令，得 等式兩邊同乘以后，令得 令得 ，將的值代入，即得 。于是 例 21 求解 設(shè) 仍用兩種方法

9、確定待定系數(shù)。方法 1（比較系數(shù)法） 通分后，令等式兩邊的分子相等得比較兩端同次冪的系數(shù)得方程組 解得 方法 2（取特殊值法） 等式兩邊同乘以后，令得 等式兩邊同乘以后，令得 ， 故。等式兩邊乘以后，令 得 ， 故。最后在等式中令， 得 。于是 上面介紹的兩種分解真分式的方法，有時計算很繁，這時可利用拼湊的技巧進(jìn)行分解，可能還更簡單。例 23 求解 4三角函數(shù)有理式的積分有理函數(shù) ，變量和常數(shù)經(jīng)有限次的四則運(yùn)算所得三角函數(shù)有理式 三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)有限次的四則運(yùn)算所得因?yàn)椋际呛偷挠欣硎剑嗜呛瘮?shù)有理式記為 例如 都是三角函數(shù)有理式，而 就不是三角函數(shù)有理式了。三角函數(shù)有理式的積分可化為有理函

10、數(shù)的積分，從而必可積出來（原函數(shù)可以用初等函數(shù)表示）！因?yàn)?， 。令，則，所以令 ，則，變換稱為萬能變換。所謂“萬能，是指凡三角函數(shù)有理式的積分都能通過該變換化為有理函數(shù)的積分。但后面將會看到，有時這一方法并不是簡單的。 例 24 求解 令，則 例 25 求解 這是三角函數(shù)有理式的積分，用萬能代換必能積出來，下面給出另一種解法。記 例 26 求解法1 解法2 例 27 求解 因?yàn)榭梢杂玫挠欣硎奖硎荆?令，則 則 可以用的有理式表示，令，則 故 對于積分，可令對于積分，可令對于積分，可令例28 求解 故令，原式 此外還可利用其他的一些技巧。例 29 求解 記，則 ， 解聯(lián)立方程組即得。5某些無理

11、函數(shù)的積分令，得 ，故 顯然等式右邊是有理函數(shù)的積分，因此必可積出來。例 30 求解 令，則 原式 此題亦可用三角變換來求。解法2 根據(jù)，令，則 解法3 （湊微分法） 例 31 求解 令，則，因此 分子湊成分母的微分 （） （2）型，方法1 當(dāng)，方程有兩個實(shí)根。則 這就是情形（1）的積分，所以作變換也能積出來。方法2 （基本思想：配完全平方，作三角代換）當(dāng)時， 根據(jù)，令 ， 則 ， 當(dāng)時取正號，時取負(fù)號。于是積分轉(zhuǎn)化為類型 或 分別作三角代換 則又可化為三角函數(shù)有理式的積分，從而必可積出來。例 32 求解法1 令，則，原式解法2 分子化為分母的微分 例33 求。解法1 原式令 則 原式因?yàn)?所以 從而 原式解法2 而 故 于是 原式至此，我們已經(jīng)介紹了兩種重要的積分方法換元積分法和分部積分法進(jìn)一步討論了幾種特殊類型函數(shù)的積分(有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式以及某些有理函數(shù)的積分)，按照一定