1、 春季同步課程第一講 實數的概念與數的開方教學目標1. 理解實數,無理數，有理數等的概念，掌握其分類，明確什么樣的數是無理數,什么樣的數是有理數2. 理解平方根,算術平方根,立方根的概念,掌握平方根,立方根的性質,及被開方數有意義的條件,會求常見數的平方根與立方根 3. 理解n次方根的意義,根據平方根，立方根的性質理解掌握n次方根的性質4. 理解開平方與平方，開立方與立方是互逆的運算，根據性質會解決相關題目的推理，化簡與計算教學重點1. 實數的分類，無理數的常見形式2. 平方根，算術平方根，立方根，n次方根的概念與性質3. 運用概念和性質，通過典型題目，提高學生分析問題解決問題的能力教學難點1

2、. 讓學生深刻理解知識并能熟練應用知識2. 提高學生分析問題解決問題的能力教學方法建議總結歸納，啟發透導,講練結合,鞏固優化知識梳理一 實數的概念 1無理數定義:無限不循環的小數叫做無理數。分類:可分為正無理數和負無理數。說明:無理數應同時滿足三個條件:(1)是小數;(2)是無限小數;(3)不循環.常見三種表現形式：（1）帶根號但開方開不盡的數，如等，但就不是無理數； （2）特定意義的數,如類，等都是無理數；（3）有規律但不循環的小數，如0.101001000100001等數，數字排列有規律，但是，它們都是不循環的無限小數。 無理數和有理數的區別:任何一個有理數都可以寫成的形式,其中a,b都是

3、整數，且b0，而無理數不能寫成這種形式。有限小數和無限循環小數與的形式可以互化，因而它們都是有理數。2.實數的定義 有理數和無理數統稱為實數3.實數的分類 根據實數的定義分類：實數 根據實數的符號分類： 實數4實數與數軸上點的對應 數軸：規定了原點，正方向，單位長度的直線。 對應關系：實數與數軸上的點一一對應。說明：（1）直線是可以向兩方無限延伸的，故不存在最大實數，也不存在最小實數；（2）線成點，在一條直線上不同的兩個點之間還有無數個點，所以兩個不同整數或無理數之間有無數個實數。（3）數和點的對應可看作是最簡單的數形結合。5絕對值，相反數，倒數絕對值：一個實數的絕對值就是指數軸上表示這個實數

4、的點到原點的距離，距離是非負的，因而絕對值是非負數。即具體表示為：說明：（1）兩個正數中，絕對值大的數則大，兩個負數中絕對值大的數反而小； （2）絕對值是非負的，但它可能等于-a（當a<0時），帶負號不一定是負數。相反數：如果兩實數a,b滿足a+b=0，那么a與b互為相反數，反之亦然。互為相反數的兩個數絕對值相等 .倒數：如果兩個實數a和b滿足a.b=1，那么a與b互為倒數，零沒有倒數。注意：相反數是它本身的數是0；倒數是它本身的數是±1；絕對值是它本身的數是非負數。二 數的開方1開平方（1）平方根定義:如果一個數的平方等于a,那么這個數叫做a的平方根(或二次方根),即如果,x

5、2=a那么x就叫做a的平方根.注意:(1)一個實數的平方都是非負的,所以a0,即被開方數0.(2)a的平方根記作±,其中根指數2是省略的，表示a的正的平方根又叫做算術平方根,表示a的負的平方根。(3)一個正數有兩個平方根,它們互為相反數;0有一個平方根,是它本身;負數沒有平方根.（4）9的平方根和的平方根是不一樣的（2）平方根與算術平方根的區別平方根算術平方根定義如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，零的算術平方根是零表示±（a0）(a0)區別正數的平方根是一對相反數正數的算術平方根是一個正數聯系±中a的取值范圍為非負

6、數；正數a的正的平方根就是a的算術平方根，正數a的負的平方根是a的算術平方根的相反數；0的平方根是0中a的取值范圍為非負數；正數a的算術平方根是a的一個平方根（正的平方根）；0的算術平方根是0（2）開平方及其與平方的關系求一個數的平方根的運算,叫做開平方;平方與開平方互為逆運算。注意:當a0時, a 的平方是a2 a的平方根是± a的算術平方根是的平方根是± 看清題目問的是什么。2開立方立方根 定義：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根，也叫做三次方根，記作，讀作三次根號a，其中a叫做被開方數，3叫做根指數。注意：（1）任何實數都有唯一確定的立方根；（2）正數的

7、立方根是一個正數；負數的立方根是一個負數；0的立方根是0。（2）開立方與立方的關系求一個數的立方根的運算,叫做開立方;立方與開立方互為逆運算。3 立方根與平方根的區別和聯系區別：（1）開平方時根指數2可以省略不寫，但對于開立方，根指數3是不能省的。（2）一個正數的平方根有兩個，但立方根卻只有一個；負數沒有平方根，卻有立方根，任何實數都有一唯一的一個立方根。相同：0的平方根和立方根都是0本身。4 n次方根 定義：如果一個數的n次方（n是大于1的整數）等于a，這個數就叫做a的n次方根，當n為奇數時，這個數為a的奇次方根；當n為偶數時，這個數為a的偶次方根。注意：（1）正數的偶次方根有兩個，它們互為

8、相反數；正數的奇次方根有一個且只有一個，是正數，負數的奇次方根有一個且只有一個，是負數；零的n次方根仍是零。（2）n為偶數時性質類似平方根，n為奇數時性質類似立方根。三 例題精講例1 1.414, ，,0.020020002,0.20302, 中哪些是有理數，哪些是無理數？ 選題意圖：本題主要考察無理數的概念，同時復習有理數的概念。解析：判斷一個數是無理數還是無理數必須按定義來分，無限不循環小數是無理數，知道它的常見表現形式，抓住它的本質，無限小數，帶根號的不一定是無理數，；有理數包括整數和分數，但有分數線的也不一定是分數。答案：有理數包括整數和分數，所有的有限小數和無限循環小數都可以化成分數

9、，都是開方開得盡得數，所以1.414,0.20302, 都是有理數；，所以它們都是無理數。針對訓練 在，0.1213141516中，無理數是_.例2 下列命題中正確的個數有( )實數不是無理數就是有理數（2）不帶根號的數一定是有理數（3）無理數數可以分為正 無理數和負無理數（4）有理數可以分為正有理數和負有理數（5）無理數一定是無限不循環 小數A 2 B 3 C 4 D 5出題意圖：考查實數，有理數，無理數的分類解析：實數分為有理數和無理數，故（1）對；不帶根號，但其為無理數，故（2）錯；按符號分（3）對，（4）不對，0是有理數，0既不是正數也不是負數；據定義（5）對。故選B。答案：B針對訓練

10、 下列語句錯誤的是（ ）（A）正整數，0，負整數統稱為整數（B）整數與分數統稱為有理數（C）開方開不盡的數和統稱為無理數（D）有理數，無理數統稱為實數例3求下列各式的值（1）1.69的平方根 (2) (3) (4)的算術平方根選題意圖：考查平方根，算術平方根的概念及常見數的平方。解析：（1）最好記住120各整數的平方，這樣才能熟練求出一些特殊數的平方根（2）看清題問的是什么，算術平方根還是平方根，a的還是的（3）對于正的平方根,被開數擴大100倍,平方根就擴大10倍,反之縮小100,平方根就 縮小10倍.答案：解：（1）因為(±1.3)2=1.69,所以1.69的平方根是±

11、1.3。(2)因為122=144，112=121，所以=(3)因為（0.04）2=0.0016,所以=±004(4),3的算術平方根是，所以的算術平方根是3。針對訓練 求（1）256的平方根（2）的算術平方根例4 若與互為相反數，求的值。選題意圖：該題既考查了相反數與絕對值的性質，又通過非負數相加和為零，每一項都為零這一結論增強了學生思維能力。解析：由互為相反數可知其和為0，又因為兩數都大于等于0，所以只有同時都為零，才能使其和為0。解：與互為相反數+=0又x=1000,y=1003答案：-1002針對訓練 已知，求的平方根。例5 已知x,y是實數，且， 求的值。選題意圖：考查被開方

12、數必須大于0的性質.解析：要求x-3y的值，必須知道x,y的值，一個等式求兩正個未知數的值，不可能,肯定還有隱含條件。看到含有字母的二次根式，就要想被開方數0，確定字母的取值范圍，由此不難得出 x2=3.解：-30,3-0=3,=± =±答案：± 針對訓練：若，求 的立方根例6已知x是滿足不等式2的非負整數,y是5-的小數部分,求(4的4次方根。選題意圖：考查絕對值，無理數的性質，如何確定無理數的整數和小數部分，及n次方根。解析：要求結論必須知道x,y；由不等式確定x值；確定無理數的小數部分一般先確定其整數部分，確定整數部分把無理數平方看其介于哪兩個相鄰整數之間。

13、解：2又又x是非負整數x=0，或1,又5-的整數部分是1y是4xy=0或4(4的4次方根是0或答案：0，針對訓練 若x為正整數，為整數，試問式子是否存在最大值，若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由。四 優化作業基礎訓練題（A）1數3.14，0.323232，中，無理數的個數為（ ）（A）2個 （B）3個 （C）4個 （D）5個2下列說法中正確的是（ ）（A）4是8的算術平方根 （B）16的平方根是4（C）是6的平方根 （D）沒有平方根3若，則（ ）（A）-0.7 （B）±0.7 （C）0.7 （D）0.494的平方根是（ ）（A）6 （B）±6 （C） （D）5一個數

14、的平方根是它本身，則這個數的立方根是（ ）（A） 1 （B） 0 （C） -1 （D）1，-1或06的值是（ ）（A） 是正數 （B） 是負數 （C） 是零 （D） 以上都可能7下列說法中，正確的是（ ）（）27的立方根是3，記作=3 （B）-25的算術平方根是5（C）的三次立方根是 （D）正數的算術平方根是8 下列各式中錯誤的是（ ）（A） （B）（C） （D）99的算術平方根是_，的平方根是_10若有意義，則_11當_時，根式有意義12請你觀察、思考下列計算過程：因為，所以，同樣，因為，所以由此猜想=_13求下列各數的平方根：（1） （2） （3）14計算：（1）； （2）； （3）； （

15、4）； （5）； （6）15解方程：（1）； （2）； （3）16將半徑為12cm的鐵球融化，重新鑄造出27個半徑相同的小鐵球，如不計損耗，小鐵球半徑是多少cm？（提示：球的體積公式為）提高訓練題（B）1.平方根等于本身的數是_；算術平方根等于本身的數是_；立方根等于本身的數是_2如果_3如果0a1，化簡|a|a1|_4當x_時，0，當x_時，式子有意義5如果（x6）2|y2|0，那么（x1）2（y2）2（z3）2的四次方根是_6滿足x的整數x 是_7正方體的體積是216 cm3，則它的表面積是_cm2 8a，b為實數，則代數式（ab）2|a|的值（ ）（A）大于0 （B）大于或等于0 （C）

16、小于0 （D）等于09一個正數的正的平方根是m，那么比這個正數大1的數的平方根是（ ）（A）m21 B.± （C） （D）±102成立的條件是（ ）（A）n 是偶數 （B）n 是大于1的自然數 （C）n 是大于1奇數 （D）n 是整數11已知A是a2的算術平方根，B是2b的立方根求3A2B 的立方根12已知yx2求的值綜合遷移題（C） 1若，則_2已知為ABC的三邊，則化簡_3.已知a,b為實數,且,求的值優化作業答案:針對訓練1. 無理數有，2. C3. （1） ±16（2）0.14. ，它們的和為0，所以，所以x=-3,y=5=64,故其平方根為±85. =±2又-20=-2,=4=8，它的立方根是26. 解答：14-x0x是不大于的正整數又是整數，14-x是014間的完全平方數，它們是0，1，4，9，當14-x取最大值9時，相應的值也最大，即當x=14-9=5時，相應的=3最大。故當x=5時，有最大值，最大值是3.基礎題(A)1. B ;2. C; 3. B;4. D; 5. B; 6. D; 7. D; 8. D;9.3, ;10. 1;11. ;12. 111111111;13. (1) (2) (3);14.