1、課時規范練 41直線、平面垂直的判定與性質一、基礎鞏固組1 .如圖 , 在直角梯形ABCD中 , AB CD, BCD=90°,BC=CD,AE=BE,ED平面 ABCD.(1) 若 M是 AB的中點 , 求證 : 平面 CEM平面 BDE;(2) 若 N為 BE的中點 , 求證 : CN平面 ADE.2 .如圖 , 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中 , D, E 分別為 AB, BC的中點 , 點 F 在側棱 B1B 上 , 且 B1DA1F, A1C1A1B1. 求證 :(1) 直線 DE平面 A1C1F;(2) 平面 B1DE平面 A1C1F.3 .1 / 8如圖 , 四棱

2、錐 P-ABCD中 , PA底面 ABCD,底面 ABCD是直角梯形 , ADC=90°,AD BC, AB AC, AB=AC= , 點 E 在 AD上 , 且 AE=2ED.(1) 已知點 F 在 BC上, 且 CF=2FB, 求證 : 平面 PEF平面 PAC;(2) 若 PBC的面積是梯形ABCD面積的, 求點 E到平面 PBC的距離 .4 .如圖 , 在正方體ABCD-A1B1C1D1 中 , E 為棱 C1D1 的中點 , F為棱 BC的中點 .(1) 求證 : AE DA1;(2) 在線段 AA1 上求一點 G, 使得 AE平面 DFG.二、綜合提升組5 .如圖 ,Rt

3、 ABC中 , ACB=90°,BC=2AC=4, D, E 分別是 AB, BC邊的中點 , 沿 DE將 BDE折起至 FDE, 且 CEF=60° .(1) 求四棱錐 F-ADEC的體積 ;(2) 求證 : 平面 ADF平面 ACF.2 / 86. 如圖 (1), 五邊形 ABCDE中 , ED=EA,AB CD, CD=2AB, EDC=150° . 如圖 (2), 將 EAD沿 AD折到PAD的位置 , 得到四棱錐 P-ABCD,點 M為線段 PC的中點 , 且 BM平面 PCD.圖 (1)圖 (2)(1) 求證 : 平面 PAD平面 ABCD;(2) 若

4、四棱錐 P-ABCD的體積為 2 , 求四面體 BCDM的體積 .7 .如圖 , 四棱錐 P-ABCD的底面是邊長為1 的正方形 , 側棱 PA底面 ABCD,且 PA=2, E是 側棱 PA上的動點.(1) 求四棱錐 P-ABCD的體積 .(2) 如果 E是 PA的中點 , 求證 : PC平面 BDE.(3) 是否不論點 E 在側棱 PA的任何位置 , 都有 BD CE?證明你的結論 .? 導學號 21500562?三、創新應用組8 .如圖 , 在四棱錐P-ABCD中 , 底面 ABCD為正方形 , PA底面 ABCD,AD=AP=2, AB=2, E 為棱 PD中點 .(1) 求證 : P

5、D平面 ABE;(2) 求四棱錐 P-ABCD外接球的體積 .3 / 89. 如圖 (1), 在平面六邊形ABFCDE中 , 四邊形 ABCD是矩形 , 且 AB=4, BC=2, AE=DE= , BF=CF= , 點M, N分別是 AD, BC的中點 , 分別沿直線AD, BC將 ADE, BCF翻折成如圖 (2) 的空間幾何體ABCDEF.(1) 利用下面的結論 1 或結論 2, 證明 : E, F, M, N四點共面 ;結論 1: 過空間一點作已知直線的垂面, 有且只有一個 ;結論 2: 過平面內一條直線作該平面的垂面, 有且只有一個 .(2) 若二面角 E-AD-B和二面角 F-BC

6、-A都是 60°, 求三棱錐 E-BCF的體積 .圖 (1)圖 (2)? 導學號 21500563?課時規范練41直線、平面垂直的判定與性質1. 證明 (1) ED平面 ABCD,EDAD, ED BD, ED CM.AE=BE, Rt ADE Rt BDE, AD=BD.連接 DM,則 DMAB,ABCD, BCD=90°,BC=CD,四邊形 BCDM是正方形 , BD CM.又 DE CM,BDDE=D,CM平面 BDE, CM? 平面 CEM,平面 CEM平面 BDE.(2) 由 (1) 知 , AB=2CD, 取 AE中點 G, 連接 NG,DG,在 EBA中 ,

7、N為 BE的中點 ,NGAB且 NG=AB,又 AB CD, 且 AB=2CD,NGCD, 且 NG=CD,四邊形 CDGN為平行四邊形 ,CNDG.又 CN?平面 ADE,DG? 平面 ADE,CN平面 ADE. 2. 證明 (1) 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中 , A1 C1 AC.在 ABC中 , 因為 D, E 分別為 AB, BC的中點 , 所以 DEAC, 于是 DE A1C1. 又因為 DE?平面 A1C1F, A1C1? 平面 A1C1F,4 / 8所以直線 DE平面 A1C1F.(2) 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中 , A1A平面 A1B1C1. 因為 A1C

8、1? 平面 A1B1C1, 所以 A1A A1C1.又因為 A1C1 A1B1, A1A? 平面 ABB1A1, A1B1? 平面 ABB1A1, A1AA1B1=A1, 所以 A1C1平面 ABB1A1 .因為 B1D? 平面 ABB1A1, 所以 A1C1 B1D.又因為 B1D A1F, A1C1? 平面 A1C1F, A1F? 平面 A1C1F, A1C1A1F=A1, 所以 B1D平面 A1C1F.因為 B1D? 平面 B1DE,所以平面 B1DE平面 A1C1F.3. (1) 證明AB AC, AB=AC,ACB=45° .底面 ABCD是直角梯形 , ADC=90

9、76;,AD BC, ACD=45°,AD=CD,BC= AC=2AD.AE=2ED, CF=2FB,AE=BF=AD,四邊形 ABFE是平行四邊形 ,ABEF.又 AB AC, AC EF.PA底面 ABCD,PAEF.PAAC=A,EF平面 PAC.EF? 平面 PEF,平面 PEF平面 PAC.(2) 解 PA底面 ABCD,且 AB=AC,PB=PC,取 BC的中點 G, 連接 AG, 則 AG BC, AG=CD=1.設 PA=x, 連接 PG,則 PG=, PBC的面積是梯形ABCD面積的倍 ,2×PG=(1 +2) ×1, 即 PG=2, 求得 x=

10、,ADBC, AD?平面 PBC,BC? 平面 PBC, AD平面 PBC,點 E到平面 PBC的距離即是點A 到平面 PBC的距離 ,VA-PBC=VP-ABC, SPBC=2SABC,點 E到平面 PBC的距離為PA=4. (1) 證明連接 AD1, BC1( 圖略 ) .由正方體的性質可知, DA1AD1, DA1 AB,又 AB AD1=A,DA1平面 ABC1D1.5 / 8AE? 平面 ABC1D1 ,AEDA1.(2) 解 所求點 G即為點 A1, 證明如下 :由 (1) 可知 AEDA1, 取 CD的中點 H, 連接 AH, EH( 圖略 ), 由 DF AH, DF EH,

11、AH EH=H, 可得 DF平面 AHE.AE? 平面 AHE,DF AE. 又 DF A1D=D,AE平面 DFA1, 即 AE平面 DFG.5. 解 (1)D, E 分別是 AB, BC邊的中點 ,DEAC, DE BC, DE=1.依題意 , DE EF, BE=EF=2,EFEC=E,DE平面 CEF,DE? 平面 ACED,平面 ACED平面 CEF.作 FM EC于 M, 則 FM平面 ACED, CEF=60°,FM= ,梯形的面積S=()(1 2)2 3ACEDAC+ED×EC=+× = .四棱錐 F-ADEC的體積 V= Sh= 3(2)(法一)

12、如圖,取線段 AF, CF的中點 N, Q,連接 DN, NQ, EQ,則 NQ AC,NQ DE, 四邊形 DEQN是平行四邊形 , DN EQ.EC=EF, CEF=60°, CEF是等邊三角形 , EQ FC,又 DE平面 CEF,DE EQ, ACEQ,FCAC=C,EQ平面 ACF, DN平面 ACF,又 DN? 平面 ADF,平面 ADF平面 ACF.( 法二 ) 連接 BF, EC=EF, CEF=60°, CEF是邊長為 2 等邊三角形 .BE=EF, EBF=CEF=30°, BFC=90°,BF FC.DE平面 BCF,DE AC,A

13、C平面 BCF.BF? 平面 BCF,AC BF,又 FC AC=C,BF平面 ACF,又 BF? 平面 ADF, 平面 ADF平面 ACF.6 / 86. (1) 證明 取 PD的中點 N, 連接 AN, MN,則 MN CD,且 MN=CD, 又 AB CD,AB= CD, MNAB, MN=AB,四邊形 ABMN是平行四邊形 ,ANBM,又 BM平面 PCD,AN平面 PCD,AN PD, AN CD, 由 ED=EA,即 PD=PA,及 N為 PD的中點 ,得 PAD為等邊三角形 , PDA=60°,又 EDC=150°, CDA=90°,CDAD, 又

14、AN AD=A,CD平面 PAD,又 CD? 平面 ABCD,平面 PAD平面 ABCD.(2) 解 設四棱錐 P-ABCD的高為 h, 四邊形 ABCD的面積為 S,則 V= Sh=2, 又 S = S, 四面體 BCDM的底面 BCD上的高為 ,P-ABCD BCD四面體 BCDM的體積 VBCDM=S BCDSh=7.(1) 解底面,PAABCDPA為此四棱錐底面上的高 .V= S×PA=× =四棱錐 P-ABCD正方形 ABCD122(2) 證明 連接 AC交 BD于點 O, 連接 OE.四邊形 ABCD是正方形 ,AO=OC.又 AE=EP, OE PC.又 PC

15、?平面 BDE,OE? 平面 BDE, PC平面 BDE.(3) 解 不論點 E 在側棱 PA的任何位置 , 都有 BDCE. 證明如下 : 四邊形 ABCD是正方形 ,BDAC.PA底面 ABCD,PABD.7 / 8又 PA AC=A,BD平面 PAC.CE? 平面 PAC,BD CE.8. (1) 證明PA底面 ABCD,AB? 底面 ABCD,PAAB,又底面 ABCD為矩形 ,ABAD,又 PA? 平面 PAD,AD? 平面 PAD,PA AD=A, AB平面 PAD,又 PD? 平面 PAD,ABPD, AD=AP,E 為 PD中點 ,AEPD, AE AB=A,AE? 平面 ABE, AB? 平面 ABE,PD平面 ABE.(2) 解 四棱錐 P-ABCD外接球球心是線段 BD和線段 PA的垂直平分線交點 O, 由已知 BD=4 ,設 M為 BD中點 ,AM=2, OM=AP=1,OA=3,3四棱錐 P-ABCD外接球的體積是OA=36 .9. (1) 證明 由題意 , 點 E在底面 ABCD的射影在 MN上, 可設為點 P, 同理 , 點 F 在底面 ABCD的射影在 MN上 , 可設為點 Q,則 EP平面 ABCD,FQ平面 ABCD,平面 EMP平面