1、1 第三節(jié)圓的方程 最新考綱1掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程 2 初 步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想. 必備知識(shí)填充 1 圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡) 標(biāo)準(zhǔn)方程 (x a)2+ (y b)2= r2(r 0) 圓心(a，b)，半徑 r 一般方程 x2 + y2 + Dx+ Ey+ F = O，(D2 + E2 4F O) 圓心號(hào)，-2， 半徑 2 心+ E2 4F 2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn) M(xo, yo)與圓(x a)2+ (y b)2=r2 的位置關(guān)系: 若 M(xo, yo)在圓外，貝U (xo a)2+ (yo b)2 r2.

2、 若 M(xo, yo)在圓上，貝 U (xo a)2+ (yo b)2 = r2. 若 M(xo, yo)在圓內(nèi)，則(xo a)2+ (yo b)2v r2. 常用結(jié)論 圓的三個(gè)性質(zhì) (1) 圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線上； (2) 圓心在任一弦的中垂線上； 兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線. 學(xué)情自測(cè)驗(yàn)收: 一、思考辨析(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X” ) (1) 確定圓的幾何要素是圓心與半徑. ( ) (2) 方程 x2 + y = a2表示半徑為 a 的圓.( )課前自主 打除雙基方打除雙基方點(diǎn)點(diǎn)2 方程 x2 + y2 + 4mx 2y + 5m= 0 表示圓.( ) 方程 Ax2

3、 + Bxy+ Cy2 + Dx + Ey+ F = 0 表示圓的充要條件是 A= CM0, B =0, D2 + E2 4AF0. ( ) 答案(1) V (2)X (3)X V 二、教材改編 1. 圓 x2 + y2 4x+ 6y= 0 的圓心坐標(biāo)和半徑分別是( ) A. (2,3), 3 B . ( 2,3), 3 C. ( 2, 3), 13 D . (2, 3), 13 D 圓的方程可化為(x2)2 + (y+ 3)2= 13,所以圓心坐標(biāo)是(2, 3),半徑 r = 13. 2. 已知點(diǎn) A(1, 1), B( 1,1),則以線段 AB 為直徑的圓的方程是( ) A. x2 + y

4、2 = 2 B . x2 + y2= 2 C. x2 + y2= 1 D. x2 + y2 = 4 A AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0), |AB|=，1 1 2+ 1 1 2= 2 2，所以圓的方程為 x2 + y2= 2. 3. 過(guò)點(diǎn) A(1, 1),B( 1,1),且圓心在直線 x+ y 2 = 0 上的圓的方程是( ) A. (x 3)2+ (y+ 1)2= 4 B . (x+ 3)2+ (y 1)2= 4 C . (x 1)2 + (y 1)2= 4 D . (x+ 1)2+ (y+ 1)2= 4 C 設(shè)圓心 C 的坐標(biāo)為(a, b)，半徑為 r.因?yàn)閳A心 C 在直線 x+ y 2= 0

5、 上, 所以 b = 2 a.又|CA=|CB,所以(a 1)? + (2 a+ 1)? = (a+ 1)? + (2 a 1)?,所 以 a= 1, b= 1.所以 r = 2.所以方程為(x 1)2 + (y 1)2= 4. 4 .在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)(0,0), (1,1), (2,0)的圓的方程為 _ . x2 + y2 2x = 0 設(shè)圓的方程為 x2+ y2 + Dx + Ey + F = 0.v 圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0), (1,1), (2,0),3 D = 2, 2+ D + E+ F= 0, 解得 E = 0, 4 + 2D + F = 0, F = 0. 圓的方程為 x

6、2 + y2 2x= 0. 的常牯點(diǎn)課堂考點(diǎn)探究臧解髙詈M 考點(diǎn)1 圓的方程 矗疥息求圓的方程的 2 種方法 (1) 幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程. (2) 待定系數(shù)法： 若已知條件與圓心(a, b)和半徑 r 有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出 a, b, r 的值； 選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于 D, E, F 的方程組，進(jìn)而求 出 D, E, F 的值. (2) _ 一題多解已知圓 C 的圓心在直線 x + y= 0 上，圓 C 與直線 x y= 0 相切, 且在直線 x y 3= 0 上截得的弦長(zhǎng)為，6,則圓C 的方程為 _ . C (x1)2 +

7、 (y+ 1)2 = 2 法一：(待定系數(shù)法)設(shè)圓 E 的一般方程 為 x2 + y2 + Dx+ Ey+ F = 0(D2+ E2 4F0),題汕 一題多解 已知圓 E 經(jīng)過(guò)三點(diǎn) 在x 軸的正半軸上，則圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程為( 2 A 3 o 25 A. x + y=4 2 3 2 25 C. x 4 + y = 16 A(0,1), B(2,0), C(0, 1)，且圓心 ) 2 丄 3 丄2 25 x+ 4 + y =屁 2 3 2 25 D. x4 + y2= B. 4 1 + E+ F_ 0 , 則由題意得 4+ 2D + F _ 0 , 1 E+ F_ 0 , 所以圓 E 的一般方程

8、為 x2 + y2 |x 1_ 0 , 2 即 x 3 + + y2 25 即 x 4 + y 二伯 法二：(幾何法)因?yàn)閳A E 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(0,1) , B(2,0), 1 所以圓 E 的圓心在線段 AB 的垂直平分線 y2_2(x 1)上.又圓 E 的圓心 3 2 5 則圓 E 的半徑為|EB|= 2-4 + 0 02= 4, 3 2 25 所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x 4 + y2=16- (2)法一：由圓 C 的圓心在直線 x+ y= 0 上,二設(shè)圓 C 的圓心為(a, a). 又圓C 與直線 x y= 0 相切， 二半徑 r 二 2/2*2|a|. 又圓 C 在直線 xy 3 = 0 上

9、截得的弦長(zhǎng)為，6, |2a 3| 圓心(a, a)到直線 x y 3 = 0 的距離 d=衛(wèi), 門(mén)門(mén)2+ 6 _ 2 即 2a 3 丄 3= 2 2 -d + 2 _ r，即 2 + 2_2a , 解得 a_ 1, 圓 C 的方程為(x 1)2+ (y+ 1)2_ 2. 法二：設(shè)所求圓的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey+ F_0, 則圓心為 D, E，半徑 r _1 , D2+ E2 4F , 圓心在直線 x+y= 0 上， 在 x 軸的正半軸上，所以圓 E 的圓心坐標(biāo)為 O 3 3 D _ 2 , 解得 E_ 0 , F _ 1 5 D E0，即卩 D+ E=0, 又圓 C 與直線

10、 x y= 0 相切, 即(D E)2 2(D2+ E24F), D2 + E2 + 2DE 8F = 0. D E 又知圓心 一 2, 2 到直線 x y 3 = 0 的距離 D E 2 + 2 - 3 d= 2 ， 由已知得 d2 + -2 2= r2, (D E + 6)2 + 12= 2(D2+ E2 4F), D = 2, 聯(lián)立，解得 E = 2, F = 0, 故所求圓的方程為 x2 + y2 2x+ 2y= 0, 即(x 1)2+ (y+ 1)2= 2. 缶疔申 幾何法與待定系數(shù)法是解答圓的有關(guān)問(wèn)題的兩種常用方法，求解圓 的方程時(shí)，可采用數(shù)形結(jié)合的思想充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)， 達(dá)到

11、事半功倍的效果. 理冷 1若不同的四點(diǎn) A(5,0), B( 1,0), C( 3,3), D(a,3)共圓，則 a 的值 為 _ 7 設(shè)圓的方程為 x2 + y2+ Dx + Ey+ F= 0(D2+ E2 4F0),分別代入 A, B, C 三點(diǎn)坐標(biāo)，得6 25+ 5D + F = 0, 1 D + F = 0, 9+ 9 3D + 3E+ F= 0, 所以 A, B, C 三點(diǎn)確定的圓的方程為 X + y2 4x 235y 5= 0. 因?yàn)?D(a,3)也在此圓上，所以 a2 + 9 4a 25 5= 0. 所以 a= 7 或 a= 3(舍去)即 a 的值為 7. 2. _ 已知 a R

12、，方程 a2x2 + (a + 2)y2 + 4x+ 8y+ 5a = 0 表示圓，則圓心坐標(biāo) 是 _ ，半徑是 _. (2, 4) 5 由已知方程表示圓，貝 U a2= a+ 2, 解得 a=2 或 a= 1. 當(dāng) a= 2 時(shí)，方程不滿(mǎn)足表示圓的條件，故舍去. 當(dāng) a= 1 時(shí)，原方程為 x2 + y2 + 4x+ 8y 5= 0, 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+ 2)2 + (y+ 4)2= 25, 表示以(2, 4)為圓心，半徑為 5 的圓. th:斜率型、截距型、距離型最值問(wèn)題 矗強(qiáng) 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的 3 種幾何轉(zhuǎn)化法 y b (1)形如尸 形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題. x

13、 a (2) 形如 t = ax+ by 形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題. (3) 形如 m= (x a)2 + (y b)2形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的 平D = 4, 25 解得E= 25, F = 5. 與圓有關(guān)的最值問(wèn)題 2 7 方的最值問(wèn)題.8 瑟垂摞 已知實(shí)數(shù) x, y 滿(mǎn)足方程 x2 3 + y2 4x+ 1 = 0. (1) 求y的最大值和最小值； x (2) 求 y x 的最大值和最小值； (3) 求 x2 + y2的最大值和最小值. 解原方程可化為(x 2)2 + y2= 3,表示以(2,0)為圓心，：3 為半徑的圓. (1)y的幾何意義是圓上一點(diǎn)與

14、原點(diǎn)連線的斜率， 入 所以設(shè) y= k,即 y= kx. 當(dāng)直線 y= kx 與圓相切時(shí)，斜率 k 取最大值或最小值，此時(shí) 解得 k=.：3(如圖 1). 所以 x 的最大值為，3，最小值為,3. 入 2 yx 可看作是直線 y=x+ b 在 y 軸上的截距，當(dāng)直線 y= x+ b 與圓相切時(shí)， |2 0+ b| f- 廠 縱截距 b 取得最大值或最小值，此時(shí) = .3,解得 b= 2 6(如圖 2). 所以 y x 的最大值為2+ .6，最小值為2 6. 3 x2 + y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知， x2 + y2在 原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值

15、(如圖 3). 又圓心到原點(diǎn)的距離為-2 0 2+ 0 0 2 = 2， 所以 x2 + y2的最大值是(2 + ,3)2 = 7+ 4.3, x2 + y2的最小值是(2 . 3)2= 7 罟卡， :k2 + 1 9 4 3. IS疔,F 與圓有關(guān)的 斜率型、截距型、距離型最值問(wèn)題一般根據(jù)相應(yīng)幾何 意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解. 睞遜 已知點(diǎn) A( 1,0)，B(0,2),點(diǎn) P 是圓 C: (x1)2 + y2= 1 上任意一點(diǎn), 則厶PAB 面積的最大值與最小值分別是( ) A. 2,2-申 B . 2 +護(hù)，2-申 C. 5, 4 5 D.+ 1，舟-1 B 由題意知 |AB|=

16、 1 2+ 22= ：5, IAB： 2x y+ 2 = 0,由題意知圓 C 的圓心坐標(biāo)為(1,0)， |2 0 + 2| 4X/5 圓心到直線 IAB的距離 d= . - = 5_ 寸 4+1 5 SA FAB 的最大值為 2x .5X 5+ 1 = 2 + 號(hào)5, SAPAB的最小值為x .5X 譽(yù)1 = 2 三5 考向 2 利用對(duì)稱(chēng)性求最值 観診 求解形如|PM|+ |PN|(其中 M , N 均為動(dòng)點(diǎn))且與圓 C 有關(guān)的折線段的 最值問(wèn)題的基本思路： (1) “動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離. “曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要 通過(guò)對(duì)稱(chēng)性解

17、決. 10 Ek 川 已知圓 C1： (x 2)2 + (y 3)2= 1,圓 C2： (x 3)2 + (y4)2 = 9, M, N 分別是圓 C1,C2上的動(dòng)點(diǎn)，P 為 x 軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+ |PN|的最小值為( ) A. 5 2 4 B. . 17 1 C. 6 2 2 D. . 1711 A (圖略)P 是 x 軸上任意一點(diǎn)，則|PM|的最小值為|PCi|1，同理|PN|的最 小值為|PC2| 3,則|PM|+ |PN|的最小值為|PCi| + |PC2| 4 作 Ci關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng) 點(diǎn) C 1(2, 3).所以 |PCi|+ |PC2|= |PCi|+ |PC2|Ci

18、C2匸 5.2 即 |PM|+ |PN| =|PCi|+ |PC2| 45 ,;2 4. 本題在求解中要立足了兩點(diǎn)：(i)減少動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，借助圓的幾何性 質(zhì)化圓上任意一點(diǎn)到點(diǎn)(a, b)的距離的最大(小)值為圓心到點(diǎn)(a, b)的距離加(減) 半徑問(wèn)題；(2) “曲化直”，即借助對(duì)稱(chēng)性把折線段轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段 之和的最值問(wèn)題解決. 教師備選例題 設(shè)點(diǎn) P 是函數(shù) y= ；4 x I 2圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn) Q 坐標(biāo)為(2a，a 3)(a R)，則|PQ|的最小值為 _ . (2)已知 A(0,2)，點(diǎn) P 在直線 x+ y+ 2 = 0 上，點(diǎn) Q 在圓 C: x2 + y2 4x 2

19、y =0 上，則|FA| + |PQ |的最小值是 _ . (i) 5 2 (2)2 5 (i)函數(shù) y=4 x i 2的圖象表示圓(x i)2+ y2= 4 在 x 軸及下方的部 分，令點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(x，y)， x= 2a，/曰 x 則 得 y= 2 3， y= a 3 2 即 x 2y 6 = 0，作出圖象如圖所示, 由于圓心(i,0)到直線 x 2y 6= 0 的距離 d = |i 2X 0 6| ；i2+ 2 2 52,所以直 12 線 x 2y 6= 0 與圓(x i)2 + y2= 4 相離，因此|PQ|的最小值是.5 2.13 (2)因?yàn)閳A C: x2 + y24x 2y=

20、0,故圓 C 是以 C(2,1)為圓心，半徑 r= ：5 的 圓設(shè)點(diǎn) A(0,2)關(guān)于直線 x + y + 2 = 0 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 A (m , n),故 m+0 n+2 2 + 2 + 2= 0, n 2 m= 4, 解得 n= 2, 故 A ( 4, 2). 連接 A C 交圓 C 于 Q(圖略), 由對(duì)稱(chēng)性可知 |PA|+ |PQ|= A P|+ |PQ|A Q|= |A C| r = 2 5 埠(2019 上饒模擬)一束光線從點(diǎn) A( 3,2)出發(fā)，經(jīng) x 軸反射到圓 C: (x 2)2 + (y 3)2= 1 上的最短路徑的長(zhǎng)度是( ) A. 4 B . 5 C. 5 2 1 D .

21、 2 6 1 C 根據(jù)題意，設(shè) A與 A 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)，且 A( 3,2)，則 A的坐標(biāo)為( 3, 2),又由 A C= 25+ 25 = 5 2 則 A到圓 C 上的點(diǎn)的最短距離為 5 2 1故這束光線從點(diǎn) A( 3,2)出發(fā)，經(jīng) x 軸反射到圓 C: (x 2)2 + (y 3)2= 1 上的最 短路徑的長(zhǎng)度是 5 2 1，故選 C. 考點(diǎn) 3 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 覘:強(qiáng) 求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的 4 種方法 (1) 直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解. (2) 定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解.m 1, 14 (3) 幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解. (4) 代入法(相關(guān)點(diǎn)

22、法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān) 系式求解. 想業(yè)龍(2019 衡水調(diào)研)已知直角三角形 ABC 的斜邊為 AB,且 A(- 1,0), B(3,0).求: (1) 直角頂點(diǎn) C 的軌跡方程； (2) 直角邊 BC 的中點(diǎn)M的軌跡方程. 解(1)法一：設(shè) C(x, y),因?yàn)?A, B, C 三點(diǎn)不共線，所以 yM0. 因?yàn)?AC 丄 BC,所以 kAC kBc= 1, 所以 丫 丫 =一 1,化簡(jiǎn)得 x2 + y2 2x 3= 0. x+ 1 x 3 因此，直角頂點(diǎn) C 的軌跡方程為 x2 + y2 2x 3 = 0(yM 0). 法二：設(shè) AB 的中點(diǎn)為 D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì) 1 知|CD| = 2AB| = 2由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn) C 的軌跡是以 D(1,0)為圓心，2 為半徑的 圓(由于 A, B, C 三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與 x 軸的交點(diǎn)). 所以直角頂點(diǎn) C 的軌跡方程為(x 1)2 + y2= 4(yM 0). 設(shè) M(x, y), C(x0, y0),因?yàn)?B(3,0), M 是線段 BC 的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo) x0 + 3 y0 + 0 公式得 x=廠,y=廠，所以 X0= 2x 3, y0 = 2y.由知，點(diǎn) C 的軌跡方程