1、12數(shù)列的函數(shù)特性知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的單調(diào)性 填一填(1)數(shù)列按照項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系可分為遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列和常數(shù)列；(2)一般地，一個(gè)數(shù)列an，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它前面的一項(xiàng)，即an1>an，那么這個(gè)數(shù)列叫作遞增數(shù)列；(3)一個(gè)數(shù)列，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它前面的一項(xiàng)，即an1<an，那么這個(gè)數(shù)列叫作遞減數(shù)列；(4)一個(gè)數(shù)列，如果從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)，這樣的數(shù)列叫作擺動(dòng)數(shù)列；(5)如果數(shù)列an的各項(xiàng)都相等，那么這個(gè)數(shù)列叫作常數(shù)列答一答1如何證明數(shù)列的單調(diào)性？提示：證明數(shù)列的單調(diào)性的主要方法有：(1)定義法：其中之一是作差比較

2、，為了便于判斷an1an的符號(hào)，通常將an1an變成常數(shù)形式或因式連乘積的形式或平方和形式除了作差比較外，也可以采用作商的方法，作商時(shí)，首先應(yīng)明確數(shù)列的項(xiàng)an的符號(hào)(an>0還是an<0)，將其商與1進(jìn)行比較，從而確定數(shù)列的單調(diào)性，對(duì)于多項(xiàng)式應(yīng)進(jìn)行因式分解，對(duì)于根式，進(jìn)行分子(或分母)有理化(2)借助于數(shù)列圖像的直觀性，證明數(shù)列的單調(diào)性知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的遞推公式 填一填如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))及相鄰兩項(xiàng)(或幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的遞推公式答一答2數(shù)列an的通項(xiàng)公式與遞推公式有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？提示：數(shù)列an的通項(xiàng)公式與遞推公式的區(qū)別與聯(lián)系見

3、表數(shù)列概念與函數(shù)概念的聯(lián)系與數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)是一種定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的前n個(gè)數(shù)組成的有限子集)的函數(shù)，它是一種自變量“等距離”地離散取值的函數(shù)從這個(gè)意義上看，它豐富了學(xué)生所接觸的函數(shù)概念的范圍但數(shù)列與函數(shù)并不能畫等號(hào)，數(shù)列是相應(yīng)函數(shù)的一系列函數(shù)值基于以上聯(lián)系，數(shù)列也可用圖像表示，從而可利用圖像的直觀性來研究數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是相應(yīng)函數(shù)的解析式類型一數(shù)列表示法的應(yīng)用 【例1】在坐標(biāo)系中畫出數(shù)列n3，的圖像【思路探究】為了方便，在平面直角坐標(biāo)系的兩條坐標(biāo)軸上取的單位長(zhǎng)度可以不同【解】如下圖(1)(2)所示規(guī)律方法 數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集n或它的有限子集1,2，n的函數(shù)，因

4、此，數(shù)列的圖像是以(n，f(n)為坐標(biāo)的無限或有限的孤立的點(diǎn)已知在數(shù)列an中，a14，an1f(an)，nn，函數(shù)yf(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表，則a2 019(c)x12345f(x)54321a.1 b2c4 d5解析：由已知可得，a14，a2f(a1)f(4)2，a3f(a2)f(2)4，a4f(a3)f(4)2.數(shù)列an是周期為2的數(shù)列a2 019a1 009×21a14.類型二判斷數(shù)列的單調(diào)性 【例2】設(shè)函數(shù)f(x)數(shù)列an滿足anf(n)，nn，且數(shù)列an是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【思路探究】分段數(shù)列遞增先是確保各段遞增，再使得兩段相鄰處滿足一定的條件即可【解析】由題

5、意知an因?yàn)閿?shù)列an是遞增數(shù)列，所以當(dāng)n7時(shí)，3a>0，即a<3；當(dāng)n>7時(shí)，a>1；且a7<a8，即(3a)×73<a86，解得a>2或a<9.故a的取值范圍為2<a<3.【答案】(2,3)規(guī)律方法 數(shù)列單調(diào)性的判斷方法和應(yīng)用思路1判斷數(shù)列的單調(diào)性通常是通過比較數(shù)列an中任意相鄰兩項(xiàng)an和an1的大小來判斷，常用方法是定義法、作差法和作商法，也可利用與數(shù)列相應(yīng)的函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷2利用數(shù)列的單調(diào)性確定變量的取值范圍，解決此類問題常利用以下的等價(jià)關(guān)系：數(shù)列an遞增an1>an；數(shù)列an遞減an1<an.3分段數(shù)列

6、單調(diào)與相應(yīng)的分段函數(shù)單調(diào)不同，除了確保各段單調(diào)，還要使得兩段之間滿足一定的條件，如本例中數(shù)列an遞增要滿足a7<a8，而若函數(shù)f(x)遞增則要滿足f(7)a76，要注意兩類問題的區(qū)別已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann2tn，若數(shù)列an遞增，則t的取值范圍是(3，)解析：方法一：由數(shù)列遞增，知an1an(n1)2t(n1)(n2tn)2n1t>0恒成立，即t>(2n1)恒成立而nn，所以t>3，故t的取值范圍是(3，)方法二：ann2tn2，由于nn，且數(shù)列an遞增，則結(jié)合二次函數(shù)的圖像有<，解得t>3，故t的取值范圍是(3，)類型三數(shù)列中最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的求法 【

7、例3】已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(n1)·n，試問數(shù)列an有沒有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)并指明最大項(xiàng)是數(shù)列的第幾項(xiàng)；若沒有，請(qǐng)說明理由【思路探究】【解】方法一：因?yàn)閍n1an(n2)·n1(n1)·nn·，當(dāng)n<9時(shí)，an1an>0，即an1>an；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n>9時(shí)，an1an<0，即an1<an.故a1<a2<a3<<a9a10>a11>a12>，所以數(shù)列an有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng)，即a9a10.方法二：由通項(xiàng)公式知an>0恒成

8、立，令1，即1，整理得，解得n9，且當(dāng)n9時(shí)取等號(hào)，即a9a10.令1，即1，整理得，解得n9，且當(dāng)n9時(shí)取等號(hào)所以數(shù)列從第1項(xiàng)到第9項(xiàng)遞增，從第10項(xiàng)起遞減，即a1<a2<a3<<a9a10>a11>a12>，故數(shù)列an有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng)，即a9a10.規(guī)律方法 求數(shù)列an的最大(小)項(xiàng)的方法1利用數(shù)列的單調(diào)性確定數(shù)列的最大(小)項(xiàng)當(dāng)數(shù)列不單調(diào)時(shí)，還需解不等式an1an>0(或>1，此時(shí)要關(guān)注an的取值符號(hào))來確定數(shù)列單調(diào)的范圍但要注意的是，由解不等式an1an>0(或>1)得到n的取值范圍后，對(duì)數(shù)列單調(diào)范圍的確定

9、要當(dāng)心2通過解不等式組來確定，即設(shè)第k(kn，k>1)項(xiàng)是數(shù)列的最大(小)項(xiàng)，則()，求出k的正整數(shù)值即得最大項(xiàng)(最小項(xiàng))，這樣就不必再判斷數(shù)列的單調(diào)性了已知函數(shù)f(x)2x2x，數(shù)列an滿足f(log2an)2n.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)討論數(shù)列an的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論解：(1)f(x)2x2x，f(log2an)2n，2log2an2log2an2n，即an2n.a2nan10，解得ann±.an>0，ann.(2)<1，且an>0，an1<an.故數(shù)列an是遞減數(shù)列類型四由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的前幾項(xiàng) 【例4】已知數(shù)列an滿足下列條件

10、，寫出它的前5項(xiàng)，并歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(不要求證明)(1)a10，an1an(2n1)；(2)a11，an1.【思路探究】題中的兩個(gè)數(shù)列都是用遞推公式給出的，已知a1可遞推出a2，依此類推，可求出它的任意一項(xiàng)【解】(1)a10，an1an(2n1)，a2a1(2×11)011，a3a2(2×21)134，a4a3(2×31)459，a5a4(2×41)9716.它的前5項(xiàng)依次是0,1,4,9,16.故該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an(n1)2.(2)a11，an1，a2，a3，a4，a5，它的前5項(xiàng)依次是1，.它的前5項(xiàng)又可寫成，故它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an

11、.規(guī)律方法 由遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)的方法(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，首先要弄清楚公式中各部分的關(guān)系，依次代入計(jì)算即可(2)若知道的是末項(xiàng)，通常將所給公式整理成用后面的項(xiàng)表示前面的項(xiàng)的形式(3)若知道的是首項(xiàng)，通常將所給公式整理成用前面的項(xiàng)表示后面的項(xiàng)的形式已知數(shù)列an，a11，以后各項(xiàng)由anan1(n2)給出(1)寫出數(shù)列an的前5項(xiàng)；(2)直接寫出數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：(1)a11；a2a1；a3a2；a4a3；a5a4.(2)an.類型五數(shù)列中an與sn的關(guān)系 【例5】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，sn，且a454，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式【思路探究】利用關(guān)系式ansnsn1解題時(shí)務(wù)必要

12、注意n2這一條件【解】因?yàn)閍4s4s3(8127)27a154，所以a12，所以sn3n1.當(dāng)n1時(shí)，a1s1312.當(dāng)n2時(shí)，ansnsn13n1(3n11)2×3n1.而2×3112a1，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2×3n1.規(guī)律方法 由sn求an的一般步驟通常分為四步：(1)由n1確定a1；(2)由ansnsn1確定an(n2)；(3)檢驗(yàn)(2)中n1時(shí)的結(jié)果是否為a1；(4)寫出通項(xiàng)公式已知下列各數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn的公式，求數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式(1)sn(1)n1·n；(2)sn3n2.解：(1)當(dāng)n1時(shí)，a1s11；當(dāng)n2時(shí)，ansnsn

13、1(1)n1·n(1)n·(n1)(1)n·(2n1)a1也適合此等式，數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為an(1)n·(2n1)(nn)(2)當(dāng)n1時(shí)，a1s11；當(dāng)n2時(shí)，ansnsn13n2(3n12)2·3n1.a1不適合此等式，數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式為an類型六數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 【例6】為了完成綠化任務(wù)，某林區(qū)改變植樹計(jì)劃，第一年的植樹增長(zhǎng)率為200%，以后每年的植樹增長(zhǎng)率都是前一年植樹增長(zhǎng)率的.(1)假設(shè)成活率為100%，經(jīng)過4年后，林區(qū)的樹木數(shù)量是原來樹木數(shù)量的多少倍？(2)如果每年都有5%的樹木死亡，那么經(jīng)過多少年后，林區(qū)的樹木數(shù)量開始下降

14、？【思路探究】(1)設(shè)出林區(qū)原有的樹木數(shù)量，逐項(xiàng)遞推出每年的樹木數(shù)量；(2)利用數(shù)列的增減性求解【解】(1)設(shè)林區(qū)原有的樹木數(shù)量為a，調(diào)整計(jì)劃后，第n年的樹木數(shù)量為an(n1,2,3，)，則a1a(1200%)3a，a2a1(1100%)2a16a，a3a2a29a，a4a3a3a.故經(jīng)過4年后，林區(qū)的樹木數(shù)量是原來樹木數(shù)量的倍(2)若每年損失樹木數(shù)量的5%，則第n年的樹木數(shù)量與第(n1)年的樹木數(shù)量之間的關(guān)系式為anan1·(15%)an1(n2，且nn)設(shè)第n年后樹木數(shù)量開始減少，則即解得(nn)，即n6.故經(jīng)過6年后，林區(qū)的樹木數(shù)量開始下降規(guī)律方法 本題第(1)問中，由特例入手

15、，從而求出a4，體現(xiàn)出由特殊到一般的基本思想方法，是數(shù)學(xué)中歸納推理思想的體現(xiàn)在第(2)問中，注意到數(shù)列an的項(xiàng)的變化特征，可知“第n年后樹木數(shù)量開始減少anan1且anan1”，因此問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于n的不等式組某企業(yè)經(jīng)過調(diào)整后，第一年資金的增長(zhǎng)率為300%，以后每年的資金增長(zhǎng)率都是前一年資金增長(zhǎng)率的.(1)經(jīng)過4年，企業(yè)的資金是原來資金的多少倍？(2)如果由于某種原因，每年損失資金5%，那么經(jīng)過多少年后，企業(yè)資金開始下降？解：(1)設(shè)企業(yè)原有資金為a，調(diào)整后第n年的資金為an，則a14a，a28a，a3a，a4a.故經(jīng)過4年，企業(yè)資金是原來的倍(2)若每年損失資金5%，則第n年后的資金與第(n

16、1)年后的資金之間的關(guān)系式為anan1(15%)an1(n2，且nn)設(shè)第n年后資金開始減少，則即整理得(nn)，解得n4.故經(jīng)過4年后，企業(yè)資金開始下降易錯(cuò)警示系列忽視數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系致誤【例7】設(shè)函數(shù)f(x)anf(n)，若數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()a(，2)b(，c(，) d，2)【錯(cuò)解】b由題意，知，a，故選b.【錯(cuò)解分析】本題受函數(shù)單調(diào)性的影響形成思維定勢(shì)，只考慮兩段與分界點(diǎn)，事實(shí)上，數(shù)列是特殊的函數(shù)，在處理其單調(diào)性時(shí)要根據(jù)數(shù)列單調(diào)性的充要條件來求解【正解】c由題意，知f(x)(a2)x在(2，)上是減函數(shù)，且a1>a2，所以即解得a<.故選c.已知

17、數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann221n20.(1)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；(2)n為何值時(shí)，該數(shù)列的前n項(xiàng)和最小？解：(1)因?yàn)閍nn221n20(n)2，可知對(duì)稱軸方程為n10.5.又因nn，故n10或n11時(shí)，an有最小值，其最小值為11221×112090.(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和最小，則有an0，由n221n200，解得1n20，故數(shù)列an從第21項(xiàng)開始為正數(shù)，所以該數(shù)列的前19或20項(xiàng)和最小一、選擇題1數(shù)列an中，an2n，則an是(b)a遞增數(shù)列b遞減數(shù)列c常數(shù)列 d以上都不是解析：an1an2(n1)(2n)2<0，則an是遞減數(shù)列2遞減數(shù)列an中，ankn(k為常數(shù))，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(c)arb(0，)c(，0) d(，0解析：an1ank(n1)knk<0.3設(shè)ann21