1、自選課題：分類加法計數原理與分步乘法計數原理武漢市第二十三中學 張 靜一、教學設計1教學內容解析“分類加法計數原理和分步乘法計數原理”（以下簡稱“兩個計數原理”）是人教A版高中數學課標教材選修2-3“第一章計數原理”第1.1節的內容，教學需要安排4個課時，本節課為第1課時計數就是數數原理是在大量觀察、實踐的基礎上，經過抽象、歸納、概括而得出具有普遍意義的基本規律兩個計數原理不僅是繼續學習排列、組合和二項式定理的理論依據，更是處理計數問題的兩種基本思想方法，在本章中是奠基性的知識從認知基礎的角度看，兩個計數原理實際上是學生從小學就開始學習的加法運算與乘法運算的拓展應用，是體現加法與乘法運算相互轉

2、化的典型例證從思想方法的角度看，運用分類加法計數原理解決問題是將一個復雜的計數問題分解為若干“類別”，再分類解決；運用分步乘法計數原理解決問題則是將一個復雜的計數問題分解為若干“步驟”，先對每個步驟分類處理，再分步完成綜合運用兩個計數原理就是將綜合問題分解為多個單一問題，再對每個單一問題各個擊破也就是說，兩個計數原理的靈魂是劃歸與轉化的思想、分類與整合的思想和特殊與一般的思想的具體化身 從數學本質的角度看，以退為進，以簡馭繁，化難為易，化繁為簡，是理解和掌握兩個計數原理的關鍵，運用兩個計數原理是知識轉化為能力的催化劑因此，本課的主要任務是如何依托學生已有的認知基礎總結得出兩個計數原理，并能初步

3、領會應用原理簡捷地解決計數問題的要領根據以上分析，本節課的教學重點確定為：教學重點：歸納出兩個計數原理，并能初步用其解決一些簡單的實際問題.2學生學情分析計數問題學生并不陌生，在不同的學段都有相應的接觸，特別是在高中數學必修2中學習“古典概型”時，學生又學會了用列舉法解決最簡單的計數問題；同時在學習和生活中，學生已經不自覺地會使用“分類”和“分步”的方法來思考和解決問題，這些都是學生學習兩個計數原理的認知基礎兩個計數原理雖簡單樸素，易學好懂，但如何讓學生借助已有的數學活動經驗，抽象概括出兩個計數原理，并領悟其中重要的數學思想方法，實現認知的飛躍，則是本課必須要突破的難點所在為此，抓住以下兩個要

4、點尤為重要：一是要通過典型豐富的實例來幫助學生完成歸納提煉的過程，加強學生應用兩個計數原理解決問題的意識這是有效提升學生抽象概括能力的契機；二是要在解決問題的過程中，始終突出兩個計數原理的核心要素，即弄清“完成一件事”的含義和區分“分步”與“分類”的特征這是如何選擇兩個計數原理的關鍵根據以上分析，本節課的教學難點確定為：教學難點：根據實際問題的具體特征，正確理解“完成一件事”的含義；準確區分“分類”和“分步”3教學目標設置（1）通過給出的具體實例，學生經歷兩個計數原理的抽象概括的發現過程，能歸納出兩個計數原理，并能說出兩個計數原理的聯系與區別，體會從特殊到一般的思維過程；（2）根據具體的問題情

5、境，學生能描述“完成一件事”的具體含義，說出“分類”與“分步”的區別，總結出應用兩個計數原理的基本步驟； （3）通過變式練習、引例探究和列舉實例，學生會正確選擇和應用兩個計數原理解決一些簡單的實際問題，領悟運用兩個計數原理所包含的劃歸與轉化、分類與整合和特殊與一般的思想方法，以及以退為進的思維策略. 4教學策略分析本節課是概念原理課的教學典范擬定采取以退為進的教學策略，采用“情景引入問題誘導實例探究抽象概括原理應用歸納總結拓展鋪墊”的探究發現式教學方法，緊緊圍繞如何抽象、怎樣概括、如何歸納和怎么應用等問題展開，通過典型豐富的實例引導學生歸納出兩個計數原理，并能學會初步應用具體教學策略分成如下五

6、個環節：第一環節：創設情境，提出問題從“神十的身份證號碼”出發，引出“人造天體的編號問題”，通過問題設疑，引導學生在不斷思考中獲取兩個計數原理的發現過程；第二環節：實例探究，歸納原理從以退為進的實例出發，通過先“兩類”后“多類”，先“分類”后“分步”，先“加法”后“乘法”的逐步過渡，引導學生在加法與乘法相互轉化的過程中提煉歸納兩個計數原理；第三環節：演練反饋，鞏固提升從選擇兩個原理解決計數問題的關鍵出發，通過“各取”“任取”等關鍵詞的辨別，引導學生真正弄清“完成一件事”的具體含義，領會準確區分“分步”和“分類”的操作要領；第四環節：歸納小結，認知升華從放手讓學生自主小結出發，通過提綱挈領的表格

7、式小結，引導學生進一步加深對兩個計數原理本質的認識；第五環節：課后檢測，拓展鋪墊從引發學生進一步思考出發，通過設置有關高考科目改革的熱點思考題，為后繼學習排列組合做好鋪墊，激發學生進一步學習的欲望其教學流程如下：創設情境提出問題實例探究歸納原理演練反饋鞏固提升歸納小結認知升華課后檢測拓展鋪墊二、課堂實錄1創設情境，提出問題開場白：中國夢，航天夢近年來，我國科技發展突飛猛進，“神十”的發射更是讓世人矚目，下面我們就一起來回顧這令人激動的時刻視頻：“神十”升天，飛入太空畫外音：“神十”升天，國人歡呼，世界矚目你知道他的“身份證號碼”嗎？它的國際編號為2013-029A.人造天體的編號規則：發射年份

8、+四位編碼；四位編碼前三位為阿拉伯數字，第四位為英文字母；前三位數字不能同時為0；英文字母不得選用I，O（ I易與1混淆，O易與0混淆） 按照這樣的編號規則，2013年的人造天體所有可能的編碼有多少種？師：欣賞完激動人心的視頻，我們來看看這個問題的設問方式，“按照這樣的編號規則，2013年的人造天體所有可能的編碼有多少種？”這就是一個典型的計數問題所謂計數就是數數其實類似的問題有很多：幼兒園時我們數有多少個鴨子？我們班有多少同學？甚至我們穿校服上衣和褲子有多少種不同的搭配種數等等，我們將這種方法數的計算問題都稱之為計數問題師：小時候，我們是怎么數的呀？生：一個一個的數師：剛才這個問題“一個一個

9、的去數”可以嗎？比較復雜看來我們有必要探究更有效的計數方法這個問題研究四位編碼比較復雜，怎么辦？我們不妨先退回來研究一位、兩位的情形，從中探索出規律，從而解決四位的情形【評析】以學生關心的知識背景切入本節課，以視頻演示烘托氣氛，提高了學生主動參與學習的積極性，同時點題：如何有效的計數2實例探究，歸納原理（1）師生共同探究，得出分類加法計數原理問題1：如果用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給衛星編號，那么總共能夠編出多少種不同的號碼？生：26+10=36種師：對的這就是加法運算問題2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車一天中，火車有26班，汽車有10班那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地

10、共有多少種不同的走法? 生：一共有26+10=36種不同的走法師：對，那這兩個計數問題有什么共同特點呢？生：這兩個問題告訴我們，計數是可以分類的：問題1按英文字母和阿拉伯數字分成兩類，問題2按交通工具分成兩類將每類的方法數相加就得到了問題的答案師：梳理同學們的總結，我們列成表格，將共性總結成一個命題，即如果完成一件事有兩類不同方案，在第一類方案中有種不同的方法，在第二類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法根據特點給它起個名字，就叫分類加法計數原理原理是在大量觀察的基礎上經過歸納、概括而得出的基本規律同學們還要特別注意：這里的關鍵詞是完成一件事，分類，加法，每類中的任一種方法都能

11、獨立完成這件事【評析】讓學生體會知識獲得的過程，通過獨立思考、自主探究、合作交流歸納出原理師：同學們試一試，能用自己得到的原理解決具體的問題嗎？例1 在填寫高考志愿時，一名高中畢業生了解到，A，B兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業，具體情況如下：A大學           B大學生物學                 

12、0;        數  學化  學                          會計學 醫  學            &

13、#160;             信息技術學物理學                          法  學工程學如果這名同學只能選一個專業，那么他共有多少種選擇呢？生：這名同學可以選擇A，B兩所大學中的一所，而且只

14、能選擇一個專業，又由于A大學有5種不同的選擇，B大學有4種不同的選擇，所以共有5+4=9種不同的選擇師：對如果還有C大學呢？變式：在填寫高考志愿時，一名高中畢業生了解到，A，B，C三所大學各有一些自己感興趣的強項專業，具體情況如下： A大學           B大學          C大學 生物學         

15、 數  學        新聞學 化 學          會計學         金融學 醫 學        信息技術學     人力資源學物理學        &#

16、160; 法  學工程學如果這名同學只能選一個專業，那么他共有多少種選擇呢？生：5+4+3=12師：看來加法原理不僅對完成一件事有兩類不同方案適用，也對分三類方案適用，對分n類同樣適用生：一般地，如果完成一件事有類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類中有種不同的方法，在第類中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同方法【評析】例題及變式訓練由易到難，循序漸進，而且為學生自主生成加法原理的一般形式做好了鋪墊師：下面，我們看大家能否用這個原理解決更復雜的問題?。?）類比轉化探究，得出分步乘法計數原理 問題3：如果用前六個大寫英文字母中的一個和19九個阿拉伯數字中的一個，組成編

17、碼形如A1，B2的方式給衛星編號，那么總共能編出多少個不同的號碼? 【評析】承上啟下，既鞏固加法原理，又為乘法原理做鋪墊，然后落腳在“分步，乘法”這兩個特征上，有利于原理的主動生成生：6×9=54師：請談談你的具體想法生：完成編號這件事我先確定數字，再確定字母數字有9種選擇，字母有6種選擇因而共有96=54（種）師：那你是著眼于完成這件事的過程，先確定數字，再確定字母，需分步，用乘法解決那交換兩個步驟可以嗎？顯然可以那54對不對呢？哪位同學能用分類加法計數原理幫他檢驗一下生：按照題意，按字母分類：以A開頭有9個，以B開頭有9個，如此類推，以F開頭有9個，所以共有9+9+9+9+9+9

18、=96=54種不同的號碼師：那你是著眼于完成這件事結果，根據首字母不同，分六類，用加法原理解決看來54是此題的答案確定無疑！ 師：從此題中我們感覺到 “分步相乘”，那類似問題都能這樣嗎？下面看一個新問題問題4：從甲地到丙地，要從甲地先乘火車到乙地，再于次日從乙地乘汽車到丙地一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到丙地共有多少種不同的走法？ 生：從甲地到丙地需 2 步完成，第一步，由甲地去乙地有 3 種方法；第二步，由乙地去丙地有 2 種方法，所以從甲地到丙地共有3 ×2 = 6種不同的方法【評析】從加法原理過渡到乘法原理，讓學生檢驗分步相乘的合理性與簡潔性師：類比加法計數

19、原理，歸納問題3和問題4的共同特點，我們可以得到什么結論？生：如果完成一件事需要兩個步驟，做第一步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法師：我們稱它分步乘法計數原理同學們還要特別注意：這里的關鍵詞是完成一件事，分步，乘法，每步中的任一種方法都不能獨立的完成這件事，只有各個步驟都完成才算做完這件事情【評析】讓學生從感性體驗上升到理性認識，通過獨立思考、自主探究、合作交流歸納出原理師：請用你們得到的原理解決下面的問題例2 某班有男生30名，女生24名，現要從中選出男、女生各一名代表班級參加公益活動，共有多少種不同的選法？師：你把選代表這件事分成兩步，你是先確定男

20、生人選，再確定女生人選，所以分兩步用乘法原理那先確定女生人選，再確定男生人選是否可以呢？生：都可以，只要能達到完成這件事的目的就行變式：某班有男生30名，女生24名，任課老師10名，現要從中選出男、女生各一名代表班級參加公益活動，還要從中選派1名老師作領隊，組成代表隊，共有多少種不同選法？生：再乘以10.師：由此你們又可以得到什么結論呢？生：一般地，如果完成一件事要個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同方法【評析】例題及變式訓練由易到難，循序漸進，而且為學生自主生成乘法原理的一般形式做好了鋪墊師：我們已經歸納了兩個計數原理，他們的

21、共性是：為了計數區別是：因為問題特征不同，有時需要分類，有時需要分步希望以后用原理解決問題時，要清楚的用原理表達完成一件什么事，怎么完成，是分步還是分類呢？下面我們來做幾個練習3演練反饋，鞏固提升練1 書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書（1）從書架的第1，2，3層各取一本書，有多少種不同取法？（2）從書架中任取1本書，有多少種不同的取法？變式：從書架中取2本不同種類的書，有多少種不同的取法？【評析】設問循序漸進，突出強調解題時，弄清完成一件事的要求至關重要，只有這樣才能正確區分“分類”和“分步”（區分的關鍵是對“完成一件事”的理解） 師：

22、還記得人造天體編號的問題嗎？請同學們試一試，我們現在能解決了嗎？練2 【引例回放】“神十”的國際編號為2013-029A人造天體的編號規則：發射年份+四位編碼；四位編碼前三位為阿拉伯數字，第四位為英文字母；前三位數字不能同時為0；英文字母不得選用I，O（ I易與1混淆，O易與0混淆） 這樣的編號規則，2013年的人造天體所有可能的編碼有多少種？生：師：同學們很好的解決了這個問題隨著科技的發展，以后人造天體更多了，超過了23976，怎么解決呢？生：可增加位數生：還可以增加每一位的選擇師：非常棒【評析】呼應引例，開放探究，鞏固兩個計數原理師：計數原理有廣泛的應用，在生活中需要計數，在科學實踐中也需

23、要計數，那么大家想一想：你在生活中學習中遇到哪些分類計數問題和分步計數問題呢？練3 【應用訪談】你能舉出生活中或其它學科中的運用兩個原理的計數問題嗎？生：武漢市的汽車牌照以鄂A開頭，后面有五位我分5步，第一步確定第一位，第二步確定第二位，第五步確定第五位，又因為每一步既可以選擇字母，又可以選擇數字，由加法原理有26+10=36種選擇，再由乘法原理共有種不同的選擇生：身份證后4位是隨機數，就可以分成4步完成，第1，2，4位上有0 9十種選擇，第3位上有5種選擇，所以共有種不同的選擇生：開運動會時，有5個同學要報四個體育項目，每位同學只能報其中一種，每位同學有4種選法，所以共有種不同的選法生：氫元

24、素有3種同位素，氯元素有2種同位素，所以HCl的分子質量共有3×2=6種生：師：大家舉得例子漂亮極了看來數學來自生活，又應用于生活，數學是有用的！同學們，生活豐富多彩，世界奧秘無窮，在知識的天空里，讓我們借助數學的力量，像“神十”一樣展翅飛翔吧！師：這節課同學們舉出了很多實例，老師也給出了一些實例，根據以上的計數實例，我們收獲了什么？4歸納小結，認知升華生：在計數問題中，有的是用分類加法計數原理，有的是用分步乘法計數原理，而有的是既用分類加法計數原理，又用分步乘法計數原理生：當我們遇到復雜問題時，先把復雜的問題化為一些簡單的問題，然后通過一系列的簡單問題得到一些規律，然后用規律解決復雜問題生：經過小組討論，我們總結了兩點第一是今天學到了計數問題的解決辦法：列舉法和兩個計數原理在應用這兩個計數原理的時要小心審題，正確選擇原理第二是我們不僅學到知識本身，還學到了研究問題的方法，我們先是從實際問題中歸納出原理，然后再運用于實際之中，讓我們感受生活中處處有數學生：師：我們今天探討了一個問題就是如何計數？得出了計數方法的兩個原理這兩個計數原理是怎么來的？是我們從實際生活中歸納出來的那么應用這兩個計數原理的關鍵是什么？就是關注它們的應用場合：有的要分類，有的要分步，有的既要分類又要分步這兩個計數原理的不同點是：