1、第 二 章函 數1、函數的概念：(1)定義：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系 f，使對于集合A中的任意一個數X，在集合B中都有唯一確定的數f(X)和它對應，那么就稱f : AtB為從集合A到集合B的一個函數.記作：y=f(x) , X A.其中，x叫做自變量,X的取值范圍A叫做函數的定義域；與 X的值相對應的y值叫做函數值，函數值的 集合 f (X) | X A 叫做函數的值域.(2)函數的三要素： 定義域、值域、對應法那么(3)相同函數的判斷方法：表達式相冋(與表示自變量和函數值的字母無關)；定義域一致(兩點必須同時具備)2、定義域:(1) 定義域定義：函數f (x)的自變量

2、X的取值范圍。(2) 確定函數定義域的原那么：使這個函數有意義的實數的全體構成的集合 (3 )確定函數定義域的常見方法： 假設f(X)是整式，那么定義域為全體實數 假設f(x)是分式，那么定義域為使分母不為零的全體實數例：求函數y1 的定義域。 假設f(x)是偶次根式，那么定義域為使被開方數不小于零的全體實數例1 .求函數 y33x 4的定義域。例2.求函數y2X2 1 X 1 0的定義域。 對數函數的真數必須大于零 指數、對數式的底必須大于零且不等于1 假設f(X)為復合函數，那么定義域由其中各根本函數的定義域組成的不等式組來確定 指數為零底不可以等于零，如X0 1(x 0) 實際問題中的函

3、數的定義域還要保證實際問題有意義(4)求抽象函數(復合函數)的定義域函數f (x)的定義域為0,1求f(x2)的定義域函數f (2x1)的定義域為0,1 )求f (13x)的定義域3、值域:(1)值域的定義：與x相對應的y值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。(2) 確定值域的原那么：先求定義域(3) 常見根本初等函數值域：一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、三角函數(正余弦、正切)2af (x) bf (x) c 的此類問題一般也可以7. 22x 5函數y0 , y1 x2x 5的值域為 y | y 換元法：運用代數代換，獎所給函數化成值域容易確定的另一函數,域，形如y

4、ax b . cx d ( a、b、c、d均為常數，且a 0)從而求得原函數的值的函數常用此法求解。例：求函數y 2xJ 2x的值域。(4)確定函數值域的常見方法： 直接法：從自變量x的范圍出發，推出 y f(x)的取值范圍。例：求函數y /1的值域。解：、&0 ,、_ x 11 ,函數y 匸1的值域為1,)。 配方法：配方法是求“二次函數類值域的根本方法。形如F(x)函數的值域問題，均可使用配方法。例：求函數y x2 4x 2 ( x 1,1)的值域。2 2解：yx 4x 2 (x 2)6 , x 1,1,. x 2 3, 1 , 1 (x 2)293(x2)2 65, 3y5函數

5、yx2 4x 2 ( x 1,1)的值域為3,5 別離常數法：分子、分母是一次函數得有理函數，可用別離常數法, 利用反函數法。例:求函數y1的值域。2x515)77解:.y1x(2x221 22x52x52 2x 51 35當t,即x-時，ymax-，無最小值。2 84- 函數y 2x 72x的值域為(，一。'40，從而求得原函數的值域,形如a1x2b1xc1yra2x b2xC2( a1a2不同時為零)的函數的值域，常用此方法求解。例：求函數2 x-2x-的值域。x解：由y2x2 x x-變形得1(y 1)x2(y i)x y - 0，判別式法：把函數轉化成關于 x的二次方程F(x,

6、 y) 0 ；通過方程有實數根，判別式1時，此方程無解;1 時， x R, (y 1)24(y i)(y -) 0，11解得函數x2 x -2 x的值域為y |1x值域為y|y 1y y2x -練習：求函數y的值域x4、函數的表示方法(1) 解析法、列表法、圖象法(2) 求函數解析式的常見方法:換元法例:f(3x1)4x -,求f (x)的解析式例:假設f( 1)彳x,求 f (x)x 1x例:f(', X1)2x -,求 f (x).解方程組法例：設函數f(x)滿足f(x)+2 f ( 1 ) = x ( x工0)，求f(x)函數解析式x一變：假設f (x)是定義在 R上的函數，f(

7、0) 1，并且對于任意實數x,y，總有f(x -) f(x)yy(2x y1),求 f(x)(令 x=0，y=2x)待定系數法例：f (x)是次函數，并且解：設f(x) kx b，那么k(kx b)k 2十k 或b2xff(x)k 2那么kkb bkf(x) b44 ，解得3故所求一次函數解析式配變量法b 1f(x)ff(x) 4x3 求 f(x)例：f(x1)xx2例：假設fC、X1)k2x kb31 或 f (x)b 4x 32x 32 ,求f (x)的解析式. x2.x,求 f (x). 特殊值代入法(取特殊值法)例：假設f(Xy)f(x) f(y),且 f(i) 2，求值個竺也f(1)

8、f(2)f(3)f (2005)f(2004)解：設x y那么f (0)f (x) x(2x x 1) 1例：設f (x)是R上的函數，且滿足 f(0) 1并且對任意實數 x,y有f(x y)f (x) y(2x y 1)求f (x)的表達式即 f (x) x2 x 1或設x 0那么f ( y)f(0) y( y 1) 1 y( y 1) 利用給定的特性(奇偶性周期性)求解析式例：對 x R, f(x)滿足 f(x) f(x 1),且當 x 1,0時，f (x)x2 2x求當x 9,10時f (x)的表達式.解析：f (x) f (x 1)，那么 f(x 1) f (x)那么 f(x 1) f

9、 (x 1), f (x) f (x 2) , T=25、分段函數(1) 定義：在函數的定義域內，對于自變量x的不同取值區間，有著不同的對應關系，這樣的函數叫分段函數。(2) 注意：分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集；分段函數是一個函數，而不是幾個函數；寫分段函數定義域時，區間端點不重不漏。6、復合函數如果 y f(u),(u M),u g(x),(x A)那么 y fg(x)F(x),(xA),稱為 f、g的復合函數。7、函數圖象問題(1 )熟悉各種根本初等函數的圖象11如：y 0, y c(c為常數)，y x，y -， y ， y x2xx(2 )圖象變換0)個單位長

10、度yf (x a) f(x) b平移：yf (x)向右平移a(ayf(x)向上平移b(b0)個單位長度y對稱:yf(x)關于x軸對稱_y -f(x)yf (x)關于y軸對稱y f( x)yf(x)關于原點對稱一 y -f( x)翻折:yf(x),y f(x)注意：帶絕對值的函數去絕對值方法有分情況討論法，平方法，圖象法課堂習題*1. 求以下函數的定義域：y】2 x15y ；1 (十|x 33V x 12. 設函數f (x)的定義域為0, 1，那么函數f (x2)的定義域為3. 假設函數f(x 1)的定義域為2, 3，那么函數f(2x 1)的定義域是4.函數f(x)x 2(x1)x2( 1 x

11、2)，假設 f(x)3，那么 x=2x(x 2)5.求以下函數的值域： y x2 2x 3 (x R)y x 、廠2xyx2 4x 5二.函數的性質1.函數的單調性(局部性質)(1)(2)增減函數和單調區間設函數y f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個 自變量Xi,X2，當& X2時，都有f(xj f(X2)，那么就說f (x)在區間D上是增 函數.區間D稱為y f (x)的單調增區間.如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2當x1f(xj f(X2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y 減區間 注意：函數的單調性是函數的局部性質； 圖

12、象的特點如果函數y f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數yx2時，都有f(x)的單調f(X)在這一(3)區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函 數的圖象從左到右是下降的.函數單調區間與單調性的判定方法(重點)(A)定義法：02022任取 作差 變形 宀口定號X-I , X2 D,且 X1 X2 ;f (xj f (X2);(通常是因式分解和配方)；(即判斷差f(xj f (x2)的正負)；下結論(指出函數 f(x)在給定的區間D上的單調性).(B) 圖象法(從圖象上看升降)(C) 復合函數的單調性復合函數fg(x)的單調性與構成它的函數u g(x)

13、, y f (u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.例：是否存在實數a使函數y f(x) loga(ax2 x)在閉區間2,4上是增函數？如 果存在，說明a可取哪些值；如果不存在，說明理由。解：當a >1時，為使函數y f(x) log a (ax2 只需 g(x) ax21x 一2ag(2) 4a當0<a<1時，x)在閉區間2,4上是增函數 x在閉區間2,4上是增函數，故1得a ，又由a >1，得a >10 2只需 g(x) ax2x 二 4 2a g(4)16a4為使函數y

14、 f(x) log a (ax2 x)在閉區間2,4上是增函數x在閉區間2,4上是減函數，故無解0綜上，當a (1,)時，f (x) loga (ax2 x)在閉區間2,4上是增函數(D)常用結論函數y f (x)與函數y f (x)的單調性相反；函數f (x)與f (x) c(c為常數)具有相同的單調性；當c 0時，函數f (x)與cf(x)具有相同的單調性，c 0時，它們具有相反的單調性；1假設f (x) 0那么函數f (x)與具有相反的單調性；f(x)公共區間，增函數+增函數=增函數、減函數+減函數=減函數、 增函數-減函數=增函數、減函數-增函數=減函數假設f (x) 0, g(x)

15、0,且f (x)與g(x)都是增(或減)函數，那么f (x) g(x)也是增(或減)函數；假設f (x)0, g(x) 0,且f (x)與g(x)都是增(或減)函數，那么 f (x) g(x)也是增(或減)函數；n n假設f (x)0，且在定義域上是增函數， 那么.f (x)也是增函數，f n (x)(n 1)也是增函數。常見函數的單調性(一次函數、二次函數、反比例函數、對勾函數k八c、y x -(k 0)x(E)禾U用函數的單調性求函數的最值確定函數的定義域；將復合函數分解為根本的初等函數；分別判斷其單調性；根據同 增異減判斷2例：求函數f (x)在區間2,6上的最大值和最小值x 12. 函

16、數的奇偶性(整體性質)(1 )函數奇偶性定義一般地，對于函數f (x)的定義域D內的任意一個x，都有 x D ,且f ( x) f (x) (或 f( x) f (x),那么f (x)就叫做奇(或偶)函數.(2) 圖象的特征偶函數的圖象關于 y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱.(3) 利用定義判斷函數奇偶性的步驟：0首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；(2)確定f( X)f (x)與f( X) f (x)是否成立；0作出相應結論：假設 f( x) f (x)或f( x) f (x) 0，那么f (x)是偶函數； 假設 f ( x)f (x)或 f( x) f (x) 0，那么 f

17、(x)是奇函數.注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件首先看函數的定義域是否 關于原點對稱，假設不對稱那么函數是非奇非偶函數假設對稱，再根據定義判定；或由變式f( x) f (x) 0或b '1來判定；利用定理，或借助函數的圖象判定f(x)(4 )函數奇偶性的重要結論具有奇偶性的函數，其定義域關于原點對稱；f(x)、g(x)是定義域分別為 D1,D2的奇函數，那么在 D1 D2上，f (x) +g(x)是奇函數，f (x)?g(x)是偶函數。類似結論：奇奇=奇、奇X奇=偶、偶偶=禺、偶偶=偶 奇X偶=奇假設f (x)是具有奇偶性的單調函數，那么奇(偶) (反)的。假設f

18、 (x)的定義域關于原點對稱，函數在正負對稱區間上的單調性是相同G(x) f (x) f ( x)是奇函數。(f(x)那么F(x) f (x) f( x)是偶函數， F(x) G(x)假設f (x)既是奇函數又是偶函數，貝y 復合函數的奇偶性：內層是偶函數，貝y(不用死記硬背)內層是奇函數，外層是奇20 fg(x)是偶函數函數，那么外層是偶函數，那么f(x)y曰主y fg(x)是奇函數 y fg(x)是偶函數(5)函數奇偶性與單調性的關系奇函數在a.b上是增函數，在偶函數在a.b上是增函數，在 例：函數求不等式解：b, a上也是增函數; b, a上是減函數。旦古函數，且當 xy f (x)(x

19、0)是奇1f x(x)0的解集。(0,)時是增函數，假設f(1) 0，1f (1)0不等式可化為fx(x )f(1)，因為f (x)在x (0,)上遞增，所以01x(x 2) 1得丄x，或x 0244又由f(x)是奇函數，它在關于原點對稱的兩個區間上的單調性相同，且 f( 1)f(1)0,fx(x綜上，原不等式的解集是12) f( 1)，即有 x(x1-.17 亠 1. 17，或一44無解。0例：設奇函數f (x)在(0,)上為增函數，且f(1)0,那么不等式f(x)的解集為?解：由f(x)是奇函數得f(x) f( x)，所以 f(x) f( x)2f(x)0xf(x) 0 或 f(x)0 一

20、 xf (x)在(0,)上為增函數，故f (x)在(，0)上為增函數0知 f( 1)00可化為f(x) f(1)得0 x 1，同理x 0即x由奇函數由 f(1)f(x)x 0f(x) 0可化為f(x)f(1)得 1 x 0x 0x0解集為 1 x 00 x13.函數的周期性(1)周期函數的定義假設函數f(x)對于定義域中任意x ,存在不為零的常數 T,使得f(x T) f(x)恒成立，貝y f (x)為周期函數，T為f (x)的周期(2 )有關周期性的一些結論假設f(x)的周期為T,那么n T( n Z,n 0)也是f(x)的周期假設周期函數的周期 T是所有正周期中最小的，那么T為f(x)的最

21、小正周期1假設函數 f (x)滿足 f(x a) f (x)(a0), f(x a)(a 0),f (x)1f (x a)(a 0)，貝U f (x)比以2a為周期，反之不成立。f (x)證明提示：令 x =x a ；令x x a ；令x x a。(3) 函數的對稱性滿足條件f (x a) f (b x)的函數的圖象關于直線 x對稱；假設滿足f (x a)f (b x)的函數的圖象關于點(a b(_2-,0)對稱點(x, y)關于y軸的對稱點為 (x, y)，函數y y f( x)點(x, y)關于x軸的對稱點為 (x, y)，函數y yf (x)(x,y)關于原點的對稱點為 (x, y)，函

22、數y yf( x)f (x)關于y軸的對稱曲線方程為f (x)關于x軸的對稱曲線方程為f (x)關于y軸的對稱曲線方程為函數y f (x a)與函數yf (b x)關于直線x對稱。注意：f(x a) f (b x)，對稱軸求法:y f (x a)與y f(b x)的對稱軸求法：a x b x, x*課堂習題*1.函數f (x 1) x2 4x ,求函數f(x), f(2x 1)的解析式2.函數f(x)滿足2f(x) f( x) 3x 4,那么 f (x) =3.設f(x)是R上的奇函數，且當x 0,)時，f(x) x(1 喝,那么當x (,0)時f(x> =f (x)在R上的解析式為 4

23、.求以下函數的單調區間： y x2 2x 3 yx2 2x 3 y x2 6x 15.判斷函數x31的單調性并證明你的結論.6.設函數fx匚4判斷它的奇偶性并且求證：f fx.1 x三、一次函數略與二次函數函數應用中有提及1、二次函數的定義及表達式1定義：函數y ax2 bx ca 0叫做二次函數，它的定義域是R2 表達式：一般式、頂點式、兩根式2、二次函數的圖象與性質1圖象：拋物線：開口方向、對稱軸、頂點坐標；2性質：定義域、值域、單調性、奇偶性、最大值最小值。3、二次函數在閉區間上的最值分情況討論對稱軸與閉區間的位置關系4、一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式的關系判別式b2 4ac>0=0<0二次函數y ax2 bx c a 0的圖象一兀二次方程 ax2 bx c 0 a 0的根有兩不等實根b Jb2 4acXiX2a(人 x2)有兩相等實根fb X X1 X22a沒有實根元 二次 不等 式的 解集ax2 bx c 0 (a 0) xx