1、2021/3/291一元二次方程應用題（一）幾何與方程2021/3/2925xx xx （82x）（52x）8例例1：一塊四周鑲有寬度相等的花邊的鏡框如下圖，它：一塊四周鑲有寬度相等的花邊的鏡框如下圖，它的長為的長為8cm，寬為，寬為5cm如果鏡框中央長方形圖案的面如果鏡框中央長方形圖案的面積為積為18cm2 ，則花邊多寬，則花邊多寬?解：設鏡框的寬為解：設鏡框的寬為xcm ，則鏡框中央長方形圖案的長，則鏡框中央長方形圖案的長為為 cm, 寬為寬為cm,得得 (82x）（52x）m22021/3/293寬為寬為cm,得得(8 2x) (5 2x) = 18例例1.鏡框鏡框有多寬有多寬? ?一塊

2、四周鑲有寬度相等的花邊的鏡框如下圖，它的長為一塊四周鑲有寬度相等的花邊的鏡框如下圖，它的長為8cm，寬為，寬為5cm如果鏡框中央長方形圖案的面積為如果鏡框中央長方形圖案的面積為18cm2 ，則鏡框多寬，則鏡框多寬?解：設鏡框的寬為解：設鏡框的寬為xcm ，則鏡框，則鏡框中央長方形圖案的長為中央長方形圖案的長為 cm, （8-2x）（5-2x）即即 2X2 13 X 110解得解得X11，X25.5(不合題意不合題意)答答:鏡框的寬為鏡框的寬為1m.審審設設答答解解列列2021/3/294例例2 2如圖，一塊長和寬分別為如圖，一塊長和寬分別為60厘米和厘米和40厘米厘米的長方形鐵皮，要在它的四角

3、截去四個相等的小的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為面積為800平方厘米平方厘米.求截去正方形的邊長。求截去正方形的邊長。 x解 ： 設 截 去 正 方 形 的 邊 長 厘 米 ，則 圖 中 虛 線 部 分 長 等 于 _厘 米 ，寬 等 于 _厘 米 60 - 240 - 2800 xx依 題 意 得 ：1210, 40 xx解 得 ：240, 1 , . 0 xx不 合 題 意 應 舍 去經 檢 驗答：截去正方形的邊長為答：截去正方形的邊長為1010厘米。厘米。 60 2x40-2x2021/3

4、/295 例例3. 如圖，在長為如圖，在長為40米，寬為米，寬為22米的矩形米的矩形地面上，修筑兩條同樣寬的互相垂直的道地面上，修筑兩條同樣寬的互相垂直的道路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積為路，余下的鋪上草坪，要使草坪的面積為760平方米，道路的寬應為多少？平方米，道路的寬應為多少？40米22米2021/3/296例例4 學校要建一個面積為學校要建一個面積為150150平方米的長方形自平方米的長方形自行車棚，為節約經費，一邊利用行車棚，為節約經費，一邊利用1818米長的教學樓米長的教學樓后墻，另三邊利用總長為后墻，另三邊利用總長為3535米的鐵圍欄圍成，求米的鐵圍欄圍成，求自行車棚的長和寬自

5、行車棚的長和寬. .2021/3/297解：設與教學樓后墻垂直的一條邊長為解：設與教學樓后墻垂直的一條邊長為x米，則與教學米，則與教學樓后墻平行的那條邊長為樓后墻平行的那條邊長為(35 2x)米，根據題意，得米，根據題意，得 x(35 2x) 150解得解得 當當 時，時，35 2x 20 18不合題意，舍去；不合題意，舍去；當當x 10時，時，35 2x 15. 符合題意符合題意.答：自行車棚的長和寬分別為答：自行車棚的長和寬分別為15米和米和10米米.1215,10.2xx152x 2021/3/298n例例5 . 一直角三角形的斜邊長一直角三角形的斜邊長7cm,一條直角邊比一條直角邊比另

6、一條直角邊長另一條直角邊長1cm,求兩條直角邊長度求兩條直角邊長度. 得根據題意設一條直角邊為解,:xcm.7) 1(222 xx:整理得).,(2971;297121舍去不合題意xx. 0242 xx.2971:x解得.29712971:cmcm和兩條直角邊分別為答.2971129711x2021/3/299常見的圖形有下列幾種：常見的圖形有下列幾種：2021/3/29101. 如圖，有長為如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度大可用長度a為為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃。設花圃的寬方形花圃。設花圃的寬A

7、B為為x米，面積為米，面積為S米米2，（1）求）求S與與x的函數關系式的函數關系式;（2）如果要圍成面積為）如果要圍成面積為45米米2的花圃，的花圃，AB的長是多少米？的長是多少米？【解析】【解析】(1)(1)設寬設寬ABAB為為x x米，米，則則BCBC為為(24-3x)(24-3x)米，這時面積米，這時面積S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由條件由條件-3x-3x2 2+24x=45+24x=45化為：化為：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得

8、得14/3x14/3x8 8xx2 2不合題意，不合題意，AB=5AB=5，即花圃的寬，即花圃的寬ABAB為為5 5米米2021/3/29112.如圖，用長為如圖，用長為18m的籬笆（虛線部分），兩面靠的籬笆（虛線部分），兩面靠墻圍成矩形的苗圃墻圍成矩形的苗圃.要圍成苗圃的面積為要圍成苗圃的面積為81m2,應該應該怎么設計怎么設計?解解:設苗圃的一邊長為設苗圃的一邊長為xm,則則81)18( xx化簡得，081182xx0)9(2 x答:應圍成一個邊長為9米的正方形.921xx2021/3/2912列一元二次方程解應題小結小結：解決這類問題的關鍵是掌握常見：解決這類問題的關鍵是掌握常見幾何圖形

9、的面積體積公式，并能熟練計幾何圖形的面積體積公式，并能熟練計算由基本圖形構成的組合圖形的面積算由基本圖形構成的組合圖形的面積2021/3/2913一元二次方程應用題（二）增長率與方程2021/3/2914w 例例1.甲公司前年繳稅甲公司前年繳稅40萬元，今年繳稅萬元，今年繳稅48.4萬萬元元.該公司繳稅的年平均增長率為多少該公司繳稅的年平均增長率為多少?得根據題意設每年平均增長率為解,:x. 4 .48)1 (402 x:解這個方程).,(01 . 11%;101 . 1121舍去不合題意xx,21. 1)1 (2 x, 1 . 1)1 (x, 1 . 11x%.10:每年的平均增長率為答20

10、21/3/2915w 2.某公司計劃經過兩年把某種商品的生產某公司計劃經過兩年把某種商品的生產成本降低成本降低19%，那么平均每年需降低百分，那么平均每年需降低百分之幾之幾?得根據題意分數為設每年平均需降低的百解,:x%.191)1 (2 x:解這個方程).,(9 . 01%;109 . 0121舍去不合題意xx,81. 0)1 (2 x, 9 . 0)1 (x, 9 . 01x%.10:數為每年平均需降低的百分答2021/3/2916w3.某電冰箱廠每個月的產量都比上個月增長的百某電冰箱廠每個月的產量都比上個月增長的百分數相同。已知該廠今年分數相同。已知該廠今年4月份的電冰箱產量為月份的電冰

11、箱產量為5萬臺，萬臺，6月份比月份比5月份多生產了月份多生產了12000臺，求該廠今臺，求該廠今年產量的月平均增長率為多少年產量的月平均增長率為多少?得根據題意均增長率為設該廠今年產量的月平解,:x. 2 . 115)1 ( 52xx:整理得).,(02 . 11075%;202 . 0107521舍去不合題意xx. 0625252xx:解得,107550122525x%.20:增長率為該廠今年產量的月平均答2021/3/29174.某廠今年一月的總產量為某廠今年一月的總產量為500噸噸,三月的總產量三月的總產量為為720噸噸,平均每月增長率是平均每月增長率是x,列方程列方程( )A.500(

12、1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5005.某校去年對實驗器材的投資為某校去年對實驗器材的投資為2萬元萬元,預計今明預計今明兩年的投資總額為兩年的投資總額為8萬元萬元,若設該校今明兩年在若設該校今明兩年在實驗器材投資上的平均增長率是實驗器材投資上的平均增長率是x,則可列方程則可列方程為為 .B8)1 (2)1 (22xx2021/3/29186.小明將勤工助學掙得的小明將勤工助學掙得的500元錢按一年定期存入銀行元錢按一年定期存入銀行,到期后取出到期后取出50元用來購買學習用品元用來購買學習用品 剩下的剩下的450元連同

13、應元連同應得的稅后利息又全部按一年定期存入銀行如果存款的得的稅后利息又全部按一年定期存入銀行如果存款的年利率保持不變年利率保持不變,且到期后可得稅后本息約且到期后可得稅后本息約461元元,那么那么這種存款的年利率大約是多少這種存款的年利率大約是多少? (精確到精確到0.01%) .得根據題意設這種存款的年利率為解,:x.461)1(50)1(500 xx:整理得).,(0%;44. 1144. 021舍去不合題意xx. 0117603202xx:解得%.44. 1:這種存款的年利率約為答,6402 .769760640591680760 x2021/3/2919一元二次方程應用題（三）數字與方

14、程2021/3/29201. 兩個數的差等于兩個數的差等于4,積等于積等于45,求這兩個數求這兩個數.得根據題意設其中一個數為解,:x.454 xx.04542xx整理得.9,521xx解得. 5494, 9454xx或. 5, 99 , 5:或這兩個數為答2021/3/29212. 2. 一個兩位數一個兩位數, ,它的十位數字比個位數字小它的十位數字比個位數字小3,3,而而它的個位數字的平方恰好等于這個兩位數它的個位數字的平方恰好等于這個兩位數. .求這求這個兩位數個兩位數. .得根據題意為設這兩位數的個位數字解,:x.3102xxx.030112xx整理得.6,521xx解得. 3363,

15、 2353xx或.36,25:或這個兩位數為答2021/3/29223.有一個兩位數有一個兩位數,它的十位數字與個位數字的和是它的十位數字與個位數字的和是5.把這個兩位數的十位數字與個位數字互換后得到把這個兩位數的十位數字與個位數字互換后得到另一個兩位數另一個兩位數,兩個兩位數的積為兩個兩位數的積為736.求原來的求原來的兩位數兩位數.得根據題意字為設這個兩位數的個位數解,:x.736510510 xxxx.0652 xx整理得.3,221xx解得. 2355, 3255xx或.2332:或這兩個數為答2021/3/29234.4.三個連續偶數，已知最大數與最小數的三個連續偶數，已知最大數與最

16、小數的平方和比中間一個數的平方大平方和比中間一個數的平方大332，求這三，求這三個連續偶數個連續偶數. 2021/3/29243.十位數字為十位數字為a，個位數字為，個位數字為b的兩位數是的兩位數是10a b;4.百位數字為百位數字為a，十位數字為，十位數字為b，個位數字為，個位數字為c的三的三 位數是位數是100a 10b c.1.偶數個連續偶數（或奇數），一般可設中間兩個為偶數個連續偶數（或奇數），一般可設中間兩個為(x 1)和和(x 1).2.奇數個連續偶數（或奇數，自然數），一般可設中奇數個連續偶數（或奇數，自然數），一般可設中間一個為間一個為x.如三個連續偶數，可設中間一個偶數為如三

17、個連續偶數，可設中間一個偶數為x，則其余兩個偶數分別為則其余兩個偶數分別為(x 2)和和(x+2)又如三個連續自又如三個連續自然數，可設中間一個自然數為然數，可設中間一個自然數為x，則其余兩個自然數，則其余兩個自然數分別為分別為(x 1)和和(x 1).2021/3/2925一元二次方程應用題（四）2021/3/2926 例例1.有一人患了流感有一人患了流感,經過兩輪傳染后共有經過兩輪傳染后共有121人患了流感人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人個人? 分析分析: 1第一輪傳染第一輪傳染后后1+x第二輪傳染后第二輪傳染后1+x+x(1+x)._,21xx20

18、21/3/2927練習練習2021/3/29281.某種植物的主干長出若干數目的支干某種植物的主干長出若干數目的支干,每個支干每個支干又長出同樣數目的小分支又長出同樣數目的小分支,主干主干,支干和小分支的支干和小分支的總數是總數是91,每個支干長出多少小分支每個支干長出多少小分支?主主干干支干支干支干支干小小分分支支小小分分支支小小分分支支小小分分支支xxx1解解:設每個支干長出設每個支干長出x個小分支個小分支,則則1+x+xx=91即即0902 xx解得解得, x1=9,x2=10(不合題意不合題意,舍去舍去)答答:每個支干長出每個支干長出9個小分支個小分支.2021/3/2929例例1.一

19、次會議上一次會議上,每兩個參加會議的人都互相握了一次手每兩個參加會議的人都互相握了一次手,有人統計一共握了有人統計一共握了66次手次手.這次會議到會的人數是多少這次會議到會的人數是多少?得根據題意設這次到會的人數為解,:x.6621xx:整理得).,(02231;12223121舍去不合題意xx. 01322 xx:解得,223125291x.12:人這次到會的人數為答2021/3/29302.要組織一場籃球聯賽要組織一場籃球聯賽,賽制為單循環形式賽制為單循環形式,即每兩即每兩隊之間都賽一場隊之間都賽一場,計劃安排計劃安排15場比賽場比賽,應邀請多少個應邀請多少個球隊參加比賽球隊參加比賽?3.

20、要組織一場籃球聯賽要組織一場籃球聯賽, 每兩隊之間都賽每兩隊之間都賽2場場,計劃計劃安排安排90場比賽場比賽,應邀請多少個球隊參加比賽應邀請多少個球隊參加比賽?4.參加一次聚會的每兩人都握了一次手參加一次聚會的每兩人都握了一次手,所有人共所有人共握手握手10次次,有多少人參加聚會有多少人參加聚會?2021/3/2931一元二次方程應用題（五）2021/3/2932例例.某果園有某果園有100棵桃樹棵桃樹,一棵桃樹平均結一棵桃樹平均結1000個桃子個桃子,現準備多種一些桃樹以提高產量現準備多種一些桃樹以提高產量.試驗發現試驗發現,每多種一每多種一棵桃樹棵桃樹,每棵棵桃樹的產量就會減少每棵棵桃樹的

21、產量就會減少2個個.如果要使產如果要使產量增加量增加15.2%,那么應種多少棵桃樹那么應種多少棵桃樹?得根據題意棵設多種桃樹解,:x.%2 .1511000100)121000)(100(xx. 0760040:2xx整理得得解這個方程,.380,2021xx.38020:棵棵或應多種桃樹答2021/3/29331.某商場銷售一批名牌襯衫某商場銷售一批名牌襯衫, ,現在平均每天能售出現在平均每天能售出2020件件, ,每件盈利每件盈利4040元元. .為了盡快減少庫存為了盡快減少庫存, ,商場決定采取降價商場決定采取降價措施措施. .經調查發現經調查發現: :如果這種襯衫的售價每降低如果這種襯

22、衫的售價每降低1 1元時元時, ,平均每天能多售出平均每天能多售出2 2件件. .商場要想平均每天盈利商場要想平均每天盈利12001200元元, ,每件襯衫應降價多少元每件襯衫應降價多少元? ?得根據題意元設每件襯衫應降價解,:x.1200)1220)(40(xx. 020030:2xx整理得得解這個方程,.10,2021xx.20,:元應降價為了盡快減少庫存答.40220,60220 xx或2021/3/29342.2.某商店從廠家以每件某商店從廠家以每件2121元的價格購進一批商品元的價格購進一批商品, ,若每件商品售價為若每件商品售價為x x元元, ,則每天可賣出則每天可賣出(350-1

23、0 x)(350-10 x)件件, ,但物價局限定每件商品加價不能超過進價的但物價局限定每件商品加價不能超過進價的20%.20%.商店要想每天賺商店要想每天賺400400元元, ,需要賣出多少年來件商品需要賣出多少年來件商品? ?每件商品的售價應為多少元每件商品的售價應為多少元? ?得根據題意元設每件商品的售價應為解,:x.400)10350)(21(xx. 077556:2xx整理得得解這個方程,.31,2521xx.25:元每件商品的售價應為答.,31, 2 .25%2012131舍去不合題意xx2021/3/2935 例：新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨例：新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價

24、為價為2500元。調查發現，當銷售價為元。調查發現，當銷售價為2900元時，平均每天能售出元時，平均每天能售出8臺；而當臺；而當銷售價每降低銷售價每降低50元時，平均每天就能多元時，平均每天就能多售出售出4臺。商場要想使這種冰箱的銷售利臺。商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到潤平均每天達到5000元，每臺冰箱的定元，每臺冰箱的定價應為多少元？價應為多少元？ 2021/3/2936得根據題意元設每臺冰箱降價解,:x.5000)5048)(25002900(xx. 022500300:2xx整理得得解這個方程,.15021 xx.27501502900.2750元為所以，每臺冰箱的定價思考：本

25、題若設定價為思考：本題若設定價為x x元元, ,應怎么列方程應怎么列方程? ?500050-2900482500）（xx2021/3/2937一元二次方程應用題（六）2021/3/2938例例. 某汽車在公路上行駛某汽車在公路上行駛, ,它的路程它的路程s(m)s(m)和時間和時間t(s)t(s)之間的關系為之間的關系為:s=10t+3t:s=10t+3t2 2, ,那么行駛那么行駛 200m200m需要多長時間需要多長時間? ?得根據題意解,:.2001032tt:整理得).,(10;32021舍去不合題意xx, 02001032tt:解得).7 . 6(320200:ssm約需要行駛答2021/3/2939二 、有關“動點”的面積問題”1)關鍵 以靜代動 把動的點進行轉換,變為線段的長度, 2)方法 時間變路程 求“動點的運