1、大數(shù)定律及中心極限定理1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科的學(xué)科. 隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來. 也就是說，要從也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)象.研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對極限定理進(jìn)行研究此導(dǎo)致對極限定理進(jìn)行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種泛，其中最重要的有兩種:大數(shù)定

2、律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理2大數(shù)定律及中心極限定理3 大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性 一、大數(shù)定律的客觀背景一、大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)過程中的廢品率廢品率 大數(shù)定律及中心極限定理4二、幾個(gè)常見的大數(shù)定律二、幾個(gè)常見的大數(shù)定律切比雪夫切比雪夫Th1: 切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情況定理的特殊情況大數(shù)定律及中心極限定理5說明說明 （2） 在所給的條件下，當(dāng)在所給的條件下，當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值與它們的數(shù)學(xué)期望有個(gè)隨機(jī)變量的

3、算術(shù)平均值與它們的數(shù)學(xué)期望有較小的偏差的可能性比較大。較小的偏差的可能性比較大。可以考慮可以考慮用算術(shù)平用算術(shù)平均值作為所研究指標(biāo)值的近似值均值作為所研究指標(biāo)值的近似值。（1）此定理也稱為切比雪夫大數(shù)定理）此定理也稱為切比雪夫大數(shù)定理大數(shù)定律及中心極限定理6 證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式具是切比雪夫不等式.注意注意切比雪夫不等式切比雪夫不等式大數(shù)定律及中心極限定理7證證 |22)(|xdxxfX dxxfx)()(122 |)(|XdxxfXP當(dāng)當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí), 設(shè)設(shè)X的概率密度為的概率密度為f(x),則則22 大

4、數(shù)定律及中心極限定理8說明說明例例 =3 ,P |X- | = P |X- | 3 0.8889 =4 , P |X- | =P |X- |105的近似值的近似值解解E(Vk)=5, D(Vk)=100/12 (k=1,2,20).近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布N(0,1),大數(shù)定律及中心極限定理29)387. 0(1 12/100205201051105 VP349. 0 1-CDF.NORMAL(105,20*5,SQRT(20*100/12)=0.3493大數(shù)定律及中心極限定理30 1001kkXX例例3. 對敵人的防御地段進(jìn)行對敵人的防御地段進(jìn)行100次炮擊次炮擊, 在每次在每次炮擊

5、中炮擊中, 炮彈命中顆數(shù)的數(shù)學(xué)期望為炮彈命中顆數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2, 均方差為均方差為1.5, 求在求在100次炮擊中次炮擊中,有有180顆到顆到220顆炮彈命中目標(biāo)的顆炮彈命中目標(biāo)的概率概率.解解:設(shè)設(shè)Xk為第為第k次炮擊炮彈命中的顆數(shù)次炮擊炮彈命中的顆數(shù)(k=1,2,100),在在100次炮擊中炮彈命中的總顆數(shù)次炮擊中炮彈命中的總顆數(shù)相互獨(dú)立地服從同一分布，相互獨(dú)立地服從同一分布，E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,100)大數(shù)定律及中心極限定理31 1005 . 121001801005 . 12100220220180XP)200(151)2(5 . 110011001

6、XXkk隨機(jī)變量隨機(jī)變量由中心極限定理得由中心極限定理得13423434 8176. 019088. 02 CDF.NORMAL(220,200,15)- CDF.NORMAL(180,200,15)=0.8176大數(shù)定律及中心極限定理32例例4 對于一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長會(huì)的家長人對于一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長會(huì)的家長人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長、數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長、1名家長、名家長、2名家長來參加會(huì)議的概率分別為名家長來參加會(huì)議的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學(xué)校共有若學(xué)校共有400名學(xué)生名學(xué)生,設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長數(shù)設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長數(shù)相互獨(dú)立相互

7、獨(dú)立,且服從同一分布且服從同一分布. 求參加會(huì)議的家長數(shù)求參加會(huì)議的家長數(shù)X超過超過450的概率的概率. (2) 求有求有1名家長來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于名家長來參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的的(1)概率概率.大數(shù)定律及中心極限定理33解解(1) 以以Xk (k=1,2,400)記第記第k個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議個(gè)學(xué)生來參加會(huì)議的家長數(shù)的家長數(shù),其分布律為其分布律為pk0.050120.80.15Xk1 .1)( kXE.400,.,2 , 119.0)( kXDk 4001kkXXXk 相互獨(dú)立地服從同一分布相互獨(dú)立地服從同一分布大數(shù)定律及中心極限定理34450 XP1257. 0 19. 0400

8、1 . 14004501 147. 11 由中心極限定理得由中心極限定理得1-CDF.NORMAL(450,400*1.1,SQRT(400*0.19)=0.1257大數(shù)定律及中心極限定理35(2) 以以Y表示有一名家長來參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù)表示有一名家長來參加會(huì)議的學(xué)生人數(shù), 則則Y B(400, 0.8) 2 . 08 . 04008 . 0400340)5 . 2( 9938. 0 340 YP所以所以CDF.NORMAL(340,400*0.8,SQRT(400*0.8*0.2)=0.9938大數(shù)定律及中心極限定理36三三 小結(jié)小結(jié)1. 獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理2

9、. 李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理3. 棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理nnkknkknkknkknkknBXXDXEXZ 11111)()( 近似服從近似服從標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布N(0,1)。大數(shù)定律及中心極限定理37一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖一船舶在某海區(qū)航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于擊，縱搖角大于3 的概率為的概率為p=1/3,若船舶遭受了若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問其中有次波浪沖擊，問其中有2950030500次縱搖次縱搖角度大于角度大于3 的概率是多少？的概率是多少？解解將船舶每遭受一次沖擊看作是一次試驗(yàn)，將船舶每遭受一次沖擊看作是一次試驗(yàn)，假定各次試驗(yàn)是獨(dú)立的假定各次試驗(yàn)是獨(dú)立的90000次波浪沖擊中縱搖角大于次波浪沖擊中縱搖角大于3 的次數(shù)記為的次數(shù)記為X，X B(90000,1/3),思考題思考題大數(shù)定律及中心極限定理383050029500 XP所求概率為所求概率為90000,.,1 , 0,323130500295009000090000 kCkkkk計(jì)算太麻煩！計(jì)算太麻煩！90000,.,1 , 0,32319000090000 kCkXPkkk分布律為分布律為采用棣莫佛拉普拉斯定理采用棣莫佛拉普拉斯定理大數(shù)定律及中心極限