1、 學(xué)有方初二數(shù)學(xué) · 寒假課程第二講 等腰三角形教學(xué)目標(biāo)1. 對等腰三角形的性質(zhì)和判定方法，課本采取了實驗和推理相結(jié)合的方法，表明本章仍屬于由實驗幾何向論證幾何過渡的階段。因此在本節(jié)課的教學(xué)中要讓學(xué)生進(jìn)一步理解推理的必要性，加強(qiáng)推理及其表述，對比較復(fù)雜的推理過程，培養(yǎng)思路的啟發(fā)和分析.2. 本章所涉及的性質(zhì)和判定方法實際都是定理，在學(xué)校的教學(xué)中教師都把重點放在這些定理的發(fā)現(xiàn)過程，分清定理中的條件和結(jié)綸，學(xué)會這些定理的應(yīng)用。本節(jié)課的主要目標(biāo)就是加強(qiáng)學(xué)生對這些定理的應(yīng)用。3. 本章已經(jīng)要求學(xué)生完整地書寫推理過程，教學(xué)中要較細(xì)致地做好推理及其表述的指導(dǎo)。教學(xué)重點及相應(yīng)策略1、等腰三角形性質(zhì)

2、與判定的應(yīng)用（1）計算角的度數(shù)利用等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及推論計算角的度數(shù)，是等腰三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。 已知角的度數(shù)，求其它角的度數(shù) 已知條件中有較多的等腰三角形（此時往往設(shè)法用未知數(shù)表示圖中的角，從中得到含這些未知數(shù)的方程或方程組）（2）證明線段或角相等2、以等腰三角形為條件時的常用輔助線教學(xué)難點及相應(yīng)策略1、 分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和方程思想的應(yīng)用2、等腰三角形中常規(guī)輔助線的作法教學(xué)方法建議講練結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)選材程度及數(shù)量課堂精講例題搭配課堂訓(xùn)練題課后作業(yè)A類（ 4 ）道（ 7 ）道（ 5 ）道B類（ 4 ）道（ 4 ）道（ 8 ）道C類（ 2 ）道（ 3 ）

3、道（ 3 ）道一、知識梳理/提煉知識點1、等腰三角形的性質(zhì)（1）對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸，或底邊上的高所在的直線是它的對稱軸，或頂角的平分線所在的直線是它的對稱軸.（2）三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.（3）等邊對等角：等腰三角形的兩個底角相等.提示：“三線合一”是指對應(yīng)的角平分線、中線、高線在畫圖時實際上只是一條線段，即是一條線段既是頂角的平分線，又是底邊上的中線，還是底邊上的高，不能混淆.知識點2、等腰三角形的判定定理定理：如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）.提示

4、：（1）定理題設(shè)中的兩個角必須是同一個三角形中的兩個內(nèi)角，不能出現(xiàn)在兩個三角形中；（2） 結(jié)論中的兩條邊應(yīng)是這兩個內(nèi)角的“對邊”，這種對應(yīng)關(guān)系不能混淆；（3）此定理的作用在于證明一個三角形為等腰三角形.知識點3、等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)除“三線合一”外，三角形中的主要線段之間也存在著特殊的性質(zhì)，如：（1）等腰三角形兩底角的平分線相等；（2）等腰三角形兩腰上的中線相等；（3）等腰三角形兩腰上的高相等；（4）等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等.二、課堂精講例題例題1題目：等腰ABC中A=80°，則B= 。- 難度分級：A類- 試題來源：課時訓(xùn)練- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：

5、對等腰三角形定義的了解- 解題思路：等腰三角形的底角相等。要考慮A是頂角還是底角，B是頂角還是底角.- 解法與答案：80°，50°，20°搭配課堂訓(xùn)練題題目：1等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30o，則頂角的度數(shù)為（ ）（A）60o （B）120o （C）60o或150o （D）60o或120o答案：D2.已知ABC中，ABAC，且B ，則的取值范圍是（ ）（A）45o （B）0o90o （C）90o （D）90o180o答案：B例題2題目：等腰三角形的周長為11，腰與底的長度相差1，則底長為（）A. B. C. 3或4 D. 難度分級：A類- 試題來源：課時

6、訓(xùn)練- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：“等角對等邊”- 解題思路：腰與底的長度相差1包含了兩種情況：第一種情況為腰比底長1；第二種情況為：底比腰長1- 解法與答案：D搭配課堂訓(xùn)練題題目：- 1.若等腰三角形的兩邊長分別為3和4，則其周長為_.- 2一等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成15cm和18cm兩部分，則這個等腰三角形的底邊長是 .- 答案：1.10cm或11cm.- 2. 9cm或13cm.例題3題目：三角形一邊上的高和這邊上的中線重合，則這個三角形一定是（  ）（A）銳角三角形     （B）鈍角三角形（C）等腰三角形 

7、    （D）等邊三角形難度分級：A類- 試題來源：尖子生培優(yōu)教材- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：考查了學(xué)生對“三線合一”的了解- 解題思路：等腰三角形的“三線合一”- 解法與答案：C搭配課堂訓(xùn)練題題目：1.兩個等腰三角形全等的條件是（ ）A、有兩條邊對應(yīng)相等。 B、有兩個角對應(yīng)相等。C、有一腰和一底角對應(yīng)相等。 D、有一腰和一角對應(yīng)相等。- 解析：這道題除了考查了等腰三角形的性質(zhì)外，還考查了全等三角形的應(yīng)用。答案：C.2下列說法中錯誤的是（ ）A、等腰三角形的底角一定是銳角。 B、等腰三角形至少有兩個角相等。C、等腰三角形的頂角一定是銳角。 D、等腰三角形頂角的外角

8、是底角的2倍。 答案：C.例題4題目：如圖，在ABC中，AB=AC，BD，CE分別是ABC，ACB的平分線，且DEBC，A=36°，則圖中等腰三角形共有 個。 難度分級：A類- 試題來源：課課通- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：等腰三角形的判定 。- 解題思路：由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180、角的平分線的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行找尋，注意做到由易到難，不重不漏 - 解法與答案：（1） 解：AB=AC，A=36°，ABC是等腰三角形，ABC=ACB= 180°-36°2=72°，BD平分ABC，EBD=DBC=36&#

9、176;，EDBC，AED=ADE=72°，EDB=CBC=36°，在ADE中，AED=ADE=72°，AD=AE，ADE為等腰三角形，在ABD中，A=ABD=36°，AD=BD，ABD是等腰三角形，同理AEC也是等腰三角形，在BED中，EBD=EDB=36°，ED=BE，BED是等腰三角形，同理CED也是等腰三角形，在BDC中，C=BDC=72°，BD=BC，BDC是等腰三角形，同理BEC也是等腰三角形，OBC=OCB=ODE=OED=36°，OD=OE，OB=OC，即ODE，OBC也為等腰三角形，BEO=BOE=COD=

10、ODC=72°，CD=CO，BE=OB，CDO，BOE也是等腰三角形，所以共有12個等腰三角形搭配課堂訓(xùn)練題題目：小明將兩個全等且有一個角為60°的直角三角形拼成如圖所示的圖形，其中兩條較長直角邊在同一直線上，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（） A、4 B、3 C、2 D、1答案：B 例題5題目：在ABC中，點D在BC上，AB=AD=DC，已知C25°，則BAD的度數(shù) 。 難度分級：B類- 試題來源：課課通- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：等腰三角形的底角相等、三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和。- 解題思路：在這個圖形中，有兩個等腰三角形，而等腰三角形的底角相等，這是角

11、的轉(zhuǎn)換的很重要的一個工具，同時三角形的角的相關(guān)性質(zhì)，在這題也可以進(jìn)行應(yīng)用。- 解法與答案：ADC為等腰三角形，由C25°，DAC25°BDA50°(三角形的一個外角等于三角形不相鄰的兩個內(nèi)角)ADB為等腰三角形B50°BAD80°總結(jié)：在處理等腰三角形角的相關(guān)問題時，我們會用到處理角的相關(guān)知識有：（2） 三角形的內(nèi)角和為1800、三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和。（3） 同角的余角相等，同角的補(bǔ)角相等。（4） 角平分線所分的兩個角相等。（角平分線的逆定理的應(yīng)用較難）（5） 全等三角形的對應(yīng)角相等。（6） 兩直線平行內(nèi)錯角、同位角相等、同

12、旁內(nèi)角互補(bǔ)。（7） 等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）。（8） 等腰三角形的“三線合一”，（已知中線和垂線，推出角平分線）。搭配課堂訓(xùn)練題題目：如圖，ABC中，B=45°,ACB=70°,AD是ABC的角平分線，F(xiàn)是AD上一點，EFAD，交AC于E，交BC的延長線于G。則G等于_°。答案：12.5例題6題目：在ABC中，ABAC，BAD30o，ADAE，則EDC 難度分級：B類- 試題來源：課課通- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：等腰三角形的底角相等、三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和、方程思想。- 解題思路：本題只知道BAD30o，其它角的度數(shù)都不知道，所以要

13、通過設(shè)未知數(shù)，把其它的角用未知數(shù)表示出來，但在設(shè)未知數(shù)時，要選好角度。- 解法與答案：設(shè)BxABC為等腰三角形Cx,BAC=180º-2xBAD30oADE15º+xADE為等腰三角形AEDx+15°EDCAED-C=15°總結(jié)：“方程思想”在求角中的應(yīng)用。處理這種題型時，往往會發(fā)現(xiàn)條件中告訴的角不夠，這時候我們就可以通過設(shè)未知數(shù)，把一些我們在處理問題中一些不方便難表示的角表示出來，然后通過角之間的關(guān)系，建立一元一次方程并解方程求出結(jié)果（注：在處理問題時，我們可以根據(jù)不同的思路設(shè)不同的角）。搭配課堂訓(xùn)練題題目：如圖，在ABC中，BAC100o，CECA，

14、BA=BD,則EAD 。答案：40°例題7題目：如圖所示，在下列三角形中，若AB=AC，則能被一條直線分成兩個小等腰三角形的是 （填序號）。 難度分級：B類- 試題來源：尖子生培優(yōu)教材- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理 - 解題思路：由已知條件，根據(jù)度數(shù)的特點，逐一作出判斷，最后寫出答案 - 解法與答案：- 解：由題意知，要求“被一條直線分成兩個小等腰三角形”，（1）中分成的兩個等腰三角形的角的度數(shù)分別為：36°，36°，108°和36°，72°72°；（2）不能；（3）顯然原等腰直角三角形的斜邊

15、上的高把它還分為了兩個小等腰直角三角形；（4）中分成的為36°，72°，72°和36°，36°，108°故應(yīng)填 搭配課堂訓(xùn)練題題目：正三角形給人以“穩(wěn)如泰山”的美感，它具有獨特的對稱性，請你用三種不同的分割方法，將下列三個正三角形分別分割成四個等腰三角形（在圖中畫出分割線，并標(biāo)出必要的角的度數(shù)） 答案：略例題8題目：在ABC中,D,E分別是AC,AB上的點,BD與CE交于點O.給出下列四個條件:EBO=DCO BEO=CDO BE=CD OB=OC(1)上述四個條件中,哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形(用序號寫出所有情形);(2)選

16、擇第(1)小題中的一種情形,證明ABC是等腰三角形.難度分級：B類- 試題來源：中考試題匯編- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：全等三角形性質(zhì)和判定與等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用。- 解題思路：這是一道探究性的題型，是歷年來考試的一個熱點。這道題的關(guān)鍵就是證明ABC=ACB,而ABC=EBO+OBC、ACB=DCO+OCB,所以只需要證得EBO=OCD、OBC=OCB。- 解法與答案：（1）、（2）選證明。在BOE和COD中BOECOD EBO=DCO OB=OC OCB=OBC ABC=ACB ABC是等腰三角形 搭配課堂訓(xùn)練題題目：如圖，在ABC中，已知ABAC，BAC90o，D是BC上一點，E

17、CBC，ECBD，DFFE求證:（1）ABDACE；（2）AFDE例題9題目：ABC中，AD是BC邊上的中線，過B點作直線分別交AD、AC于點E、F，且有FA=FE，試說明BE=AC。 難度分級：C類- 試題來源：培優(yōu)班- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：證明線段的數(shù)量關(guān)系時，常規(guī)輔助線的添法。- 解題思路：線段BE和線段AC所在的兩個三角形并不全等，所以要添加輔助線構(gòu)造和BED全等三角形，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，并進(jìn)行利用等量代換，最后證得BE=AC。- 解法與答案：證：延長ED至M，使ED=DM，連接CMAD是BC邊上的中線BD=DC在BED和CDM中BEDCDMBE=CM,BED=CMDFA

18、=FEFAE=FEAFEA=BED（對頂角相等）CMD=FAEAC=CM=BE總結(jié)：在證明線段的數(shù)量關(guān)系時，我們常用到的知識點是：等腰三角形的腰相等、全等三角形的對應(yīng)邊相等。在證明線段的數(shù)量關(guān)系時，常用到的輔助線的添加方法：倍長中線、截長補(bǔ)短法、以等腰三角形為條件時的常用輔助線。構(gòu)造輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形或等腰三角形，再利用等量代換，來證明線段的數(shù)量關(guān)系。搭配課堂訓(xùn)練題題目：1.如圖，在ABC中，AB=AC,A1080，BD平分ABC，求證：BC=AB+CD.2.在ABC中，BAC90o，ABAC，ABC的平分線交AC于D，過C作BD垂線交BD的延長線于E，交BA的延長線于F，求證：B

19、D2CE例題10題目：如圖，在等腰ABC中，CH是底邊上的高線，點P是線段CH上不與端點重合的任意一點，連接AP交BC于點E，連接BP交AC于點F（1）證明：CAE=CBF；（2）證明：AE=BF；（3）以線段AE，BF和AB為邊構(gòu)成一個新的三角形ABG（點E與點F重合于點G），記ABC和ABG的面積分別為SABC和SABG，如果存在點P，能使得SABC=SABG，求C的取值范圍 難度分級：C類- 試題來源：2008杭州中考第23題- 選題意圖（對應(yīng)知識點）：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì) - 解題思路：- （1）證得ACPBCP即可；（2）加上（1）的結(jié)論，證得ACEBCF即可；（

20、3）假設(shè)存在點P，能使得SABC=SABG，由（2）得到的AE=BF，則新三角形ABG也為等腰三角形，根據(jù)底邊都為AB，面積相等，得到高相等，故這兩個三角形全等，所以AC=AE，即三角形ACE為等腰三角形，則底角C為銳角，即可得到C的取值范圍 - 解法與答案：- 證明：（1）ABC是等腰三角形，CH是底邊上的高線，AC=BC，ACP=BCP又CP=CP，ACPBCPCAP=CBP，即CAE=CBF（2）ACE=BCF，CAE=CBF，AC=BC，ACEBCFAE=BF（3）若存在點P能使SABC=SABG，因為AE=BF，所以ABG也是一個等腰三角形，這兩個三角形面積相等，底邊也相同，所以高也

21、相等，ABCABG，則對應(yīng)邊AC=AE，ACE=AEC，CEACBA，所以60°C90° 搭配課堂訓(xùn)練題題目：已知：如圖所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點（1）求證：BE=CD；（2）求證：AMN是等腰三角形；（3）在圖的基礎(chǔ)上，將ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使D點落在線段AB上，其他條件不變，得到圖所示的圖形（1）、（2）中的兩個結(jié)論是否仍然成立嗎？請你直接寫出你的結(jié)論 答案：（1）證明：BAC=DAEBAC+CAE=DAE+CAE，即BAE=CADAB=AC，AD=

22、AEABEACDBE=CD（2）證明：由（1）得ABEACD，ABE=ACD，BE=CDM，N分別是BE，CD的中點，BM=CN又AB=ACABMACNAM=AN，即AMN為等腰三角形（3）（1）、（2）中的兩個結(jié)論仍然成立四、鞏固練習(xí)基礎(chǔ)訓(xùn)練題（A類）1、已知等腰三角形的周長為40，以一腰為邊作等邊三角形，其周長為45，則等腰三角形的底邊長是（）A、5B、10C、15D、202、在等腰三角形中，設(shè)底角為x°，頂角為y°，則用含x的代數(shù)式表示y，得y= ；用含y的代數(shù)式表示x，得x= 。3、下列判斷不正確的是（ ）（A）三個角都相等的三角形是等邊三角形（B）有兩個角是60&

23、#176;的三角形是等邊三角形（C）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形（D）有兩個角相等的等腰三角形是等邊三角形4、有一底角為35°的等腰三角形紙片，現(xiàn)過底邊上一點，沿與底邊垂直的方向?qū)⑵浼糸_，分成三角形和四邊形兩部分，則四邊形中，最大角的度數(shù)是 5、如圖，在ABC中，AB=AC，C=65°，MN垂直平分AB，則NBC= 度，BNC= 度。 提高訓(xùn)練（B類）6、如圖，ABC中，ABC=45°，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于點F，DHBC于H，交BE于G，下列結(jié)論：BD=CD；AD+CF=BD；CE=BF；AE=BG其中正

24、確的是 。7、如圖，ABC中，ABC與ACB的平分線交于點F，過點F作DEBC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結(jié)論：BDF和CEF都是等腰三角形；DE=BD+CE；ADE的周長等于AB與AC的和；BF=CF其中正確的有 。 8、 （1）如圖1，ABC中，C=90°，請用直尺和圓規(guī)作一條直線，把ABC分割成兩個等腰三角形（不寫作法，但須保留作圖痕跡）（2）已知內(nèi)角度數(shù)的兩個三角形如圖2，圖3所示請你判斷，能否分別畫一條直線把它們分割成兩個等腰三角形？若能，請寫出分割成的兩個等腰三角形頂角的度數(shù) 9、如圖，CA=CB,DF=DB,AE=AD，求A的度數(shù)。 10、如圖，在ABC中，BA

25、C=90°，AB=AC，ABC的平分線交AC于D，過C作BD垂線交BD的延長線于E，交BA的延長線于F，求證：BD=2CE 11、如圖，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于點O.求證：(1) ABCAED； (2) OBOE .12、 已知ABC中，BAC=90°，AB=AC（1）如圖，D為AC上任一點，連接BD，過A點作BD的垂線交BD于F,過C點作與AB平行的直線，交AF的延長線于點E求證：BD=AE （2）若點D在AC的延長線上，如圖，其他條件同（1），請畫出此時的圖形，并猜想BD與AE是否仍然相等？說明你的理由綜合遷移（C類）13、如圖，已

26、知AOB=，在射線OA、OB上分別取點OA1=OB，連結(jié)AB，在BA、BB上分別取點A、B，使B1 B= B A，連結(jié)A B按此規(guī)律上去，記A B1B=，則= ； = 。14、如圖，AB=AC，E在線段AC上，D在AB的延長線上，且有BD=CE，連DE交BC于F，過E作EGBC于G，求證：FG=BF+CG 15、ABC中，AB=AC，點D為射線BC上一個動點（不與B、C重合），以AD為一邊向AD的左側(cè)作ADE，使AD=AE，DAE=BAC，過點E作BC的平行線，交直線AB于點F，連接BE（1）如圖1，若BAC=DAE=60°，則BEF是 三角形；（2）若BAC=DAE60°

27、如圖2，當(dāng)點D在線段BC上移動，判斷BEF的形狀并證明；當(dāng)點D在線段BC的延長線上移動，BEF是什么三角形？請直接寫出結(jié)論并畫出相應(yīng)的圖形。 答案：基礎(chǔ)訓(xùn)練題（A類）1、答案：B2、答案：y=180°-2x；x=。3、答案：D4、答案：125°5、答案：NBC=15度，BNC=100度提高訓(xùn)練（B類）6、答案： 7、答案：8、解：（1）如圖，直線CE即為所求（2）圖2能畫一條直線分割成兩個等腰三角形，分割成的兩個等腰三角形的頂角分別是132°和84度圖3不能分割成兩個等腰三角形 9、答案：A=36°10、證明：ABC的平分線交AC于D，F(xiàn)BE=CBE，BECF，BEF=BEC，在BFE和BCE中BFEBCE（ASA），CE=EF，CF=2CE，BAC=90°，且AB=AC，F(xiàn)AC=BAC=90°，ABC=ACB=45°，F(xiàn)BE=CBE=22.5°，F(xiàn)=ADB=67.5°，又AB=AC，在ABD和ACF中，ABDACF（AAS），BD=CF，BD=2CE 11、證明：（1）BAD=EAC，BAC=EAD在ABC和AED中，ABCAED（SAS）（2）由（1）知ABC=AED，AB=AE，ABE=AEBOBE=OEBOB=OE 12、證明