1、現代數值計算方法公式一、 插值法1.拉格朗日（Lagrange）插值法a)兩點一次：L1x=x-x1x0-x1y0+x-x0x1-x0y1R1x=fx-L1x=f''2!(x-x0)(x-x1) (x0<<x1)b)三點二次：L2x=x-x1x-x2x0-x1x0-x2y0+x-x0x-x2x1-x0x1-x2y1+x-x0x-x1x2-x0x2-x1y2R2x=fx-L2x=f33!(x-x0)(x-x1)(x-x2) (x0<<x2)2.牛頓（Newton）插值a)n次牛頓法多項式：Nnx=fx0+fx0,x1x-x0+fx0,x1,xnx-x0(x

2、-xn-1)Rnx=fx-Nnx=fn+1n+1!n+1x (x0<<xn)其中n+1x=x-x0x-x1(x-xn-1)XKF(XK)一階差商二階差商三階差商四階差商X0f(x0)fx0,x1fx1,x2fx2,x3fx3,x4fx0,x1,x2,x3fx1,x2,x3,x4X1f(x1)fx0,x1,x2X2f(x2)fx1,x2,x3fx0,x1,x2,x3,x4X3f(x3)fx2,x3,x4X4f(x4)fx0,x1=fx1-fx0x1-x0fx0,x1,x2=fx1,x2-fx0,x1x2-x0b)向前差分：Nnx0+th=y0+ty0+tt-1t-2(t-n+1)n!

3、ny0Rnx0+th=tt-1t-2t-nn+1!hn+1fn+1 (x0<<xn)XKYKYI2YI3YI4YIX0y0y0y1y2y33y03y1X1y12y0X2y22y14y0X3y32y2X4y4yi=YI+1-YI2yi=YI+1-YI下減上c)向后差分：Nnxn+th=yn+tyn+tt+1(t+n-1)n!nynRnxn+th=tt+1t+2t+nn+1!hn+1fn+1 (x0<<xn)XKYKYI2YI3YI4YIX4y4y4y3y2y13y43y3X3y32y4X2y22y34y4X1y12y2X0y0yi=yi-yi-12yi=yi-yi-1上減

4、下3.三次埃米爾特（Hermite）插值XX0X1YY0Y0Y'M0M1H3X=A0XY0+A1XY1+0XM0+1(X)M1A0X=(1+2X-X0X1-X0)(X-X1X0-X1)2A1X=(1+2X-X1X0-X1)(X-X0X1-X0)20X=(X-X0)(X-X1X0-X1)21X=(X-X1)(X-X0X1-X0)2R3X=F44!(X-X0)2(X-X1)2 (x0<<x1)二、 擬合曲線（最小二乘）x=a0+a1x+a2x2Sa0,a1,a2=i=1nxi-yi2=i=1n(a0+a1xi+a2xi2)-yi2Sa0=0Sa1=0Sa2=0三、 數值積分1.

5、 牛頓-柯特思（Newton-Cotes）公式梯形求積公式（2節點）IT1=b-a2fa-f(b)RT1=-b-a312f''()復化梯形求積公式Ih2fa+2k=1n-1fxk+f(b)TnRTn=-b-a12f''h2=O(h2)辛普生求積公式（3節點）IS1=b-a6fa+4fa+b2+fbRS1=-b-a52880f4()復化辛普生求積公式Ih6fa+4k=0n-1fxk+12+2k=1n-1fxk+f(b)RSn=-b-a2880h4f4=O(h4)2. 高斯（Gauss）公式高斯-勒讓德求積公式1. 先用勒讓德公式求解xiLnx=12nn!dndxn

6、(x2-1)n2. 利用“高斯積分公式具有2n+1次代數精度”將xi帶入求Ai3. 將xi、Ai帶入公式求取積分、并計算誤差。-11fxi=0nAifxiRnf=22n+3n+1!42n+32n+2!3f2n+2()普通積分化標準形式：I=abfxdx積分區間a,b變換x=b-a2t-a+b2abfxdx=b-a2-11f(b-a2t+a+b2)dt3. 代數精度若求積公式對f(x)=1,x,x2,xm時精確成立，而對f(x)=xm+1時不成立，則稱此求積公式具有m次代數精確度四、 解線性代數方程組的直接方法三角形分解法求解Ax=b，先將A分解為A=LU，則原式變為Ux=y，那么問題就變為了求

7、解Ly=bUx=y五、 解線性代數方程的迭代法1. 范數向量范數定義：設 xRn(or Cn) 其中R為實數域、C為復數域，若某實值函數N(x)|x|滿足條件1） 非負性|x|0，|x|=0當且僅當x=0成立2） 其次行ax=a |x|3） 三角不等式x+yx+|y|稱N(x)|x|為Rn(or Cn)域上的一個向量范數常見范數：|x|=max1in|xi|x|1=i=1n|xi|x|2=i=1n|xi|21/2矩陣范數定義：設 ARn×n(or Cn×n) 其中R為實數域、C為復數域，若某實值函數N(A)|A|滿足條件1） 非負性|A|0，|A|=0當且僅當A=0成立2）

8、 其次行aA=a |A|3） 三角不等式A+BA+|B|4） 乘積性質ABA B稱N(A)|A|為Rn×n(or Cn×n)域上的一個矩陣范數常見范數：|A|=max1inj=1naij(行范數)|A|1=max1jni=1naij(列范數)|A|2=1,1為ATA的最大按模特征值|A|F=i,j=1naij21/22. 譜半徑A=max1in|i|3. 雅可比迭代向量：用第i個方程解出xi的方程，分量通式如下：xik+1=1aii(bi-j=1jinaijxj(k)矩陣：對于Ax=b，先將A拆分成對角線矩陣D減去下三角矩陣L，再減去上三角矩陣U。xk+1=BJxk+fJ其

9、中BJ=D-1L+U,fJ=D-1b4. 高斯-塞德爾迭代向量：用第i個方程解出xi的方程，并將上式得到的xi(k+1)帶入下邊的公式，分量通式如下：xik+1=1aii(bi-j=1i-1aijxj(k+1)-j=i+1naijxj(k)矩陣：對于Ax=b，先將A拆分成對角線矩陣D減去下三角矩陣L，再減去上三角矩陣U。xk+1=BSxk+fS其中BS=(D-L)-1U,fS=(D-L)-1b5. 松弛迭代雅可比松弛（JOR）：x(k+1)=I-D-1Axk+D-1b注：當0<<2i時，收斂雅可比方法收斂時，0<<1收斂逐次超松弛（SOR）：xik+1=aii(bi-j

10、=1i-1aijxj(k+1)-j=i+1naijxj(k)注：系數矩陣A對稱正定，0<<2時收斂六、 方程求根1. 大范圍收斂定理a) j(x)在a,b上連續；b) 當xÎa,b時，j(x) Îa,b；c) j(x)存在，且對任意xÎa,b有|(x)|L<12. 牛頓迭代法xk+1=xk-f(xk)f'(xk)牛頓下山法xk+1=xk-fxkf'xk，其中13. 割線法xk+1=xk-xk-xk-1fxk-fxk-1fxk七、 矩陣特征問題求解1. 規范化乘冪法y(k)=xk/max(x(k)x(k+1)=Ay(k)2. 原點位移乘冪法取一個l0，用B=A-I*l0替代A，則得到的特征值ui=li-l0，特征向量不變八、 常微分