1、會計學1時間響應分析時間響應分析3.1.1 定常線性微分方程求解 3.1.2 時間響應的組成 3.1.3 疊加原理用于求解 時間響應 1.了解求解定常線性微分方程的基本方法 3.加深線性系統疊加原理的理解 2.熟悉時間響應的組成和各種類型 按微分方程的結構理論，這一非齊次常微分方程的完全解由兩部分組成)2 . 1 . 3()()()(21tytyty)1 .1 .3(cos)()(.wtFtkytym)4 . 1 . 3(cos)()3 . 1 . 3(cossin)(21wtYtytwBtwAtynn將3.1.4代入3.1.1，有 wtFwtYkmwcoscos)(2)5 . 1 . 3(1

2、1.2kFY將3.1.1變為3.1.6 )6 . 1 . 3(cos11.cossin)(2wtkFtwBtwAtynn得與代入式時，設7 .1 .36 .1 .3),0(y) t (y),0(y) t (y0t.)7 . 1 . 3(sin1.sincos)(2.wtwkFtwBwtwAwtynnnn2.11.)0()0(kFyBwyAn)8 . 1 . 3(cos11.cos11.cos)0(sin)0()(22.強迫響應零狀態響應自由響應零輸入響應wtkFtwkFtwytwwytynnnn圖3.1.1線性非齊次微分方程的通解n通解中的yi(t)由齊次方程的特征根決定;n通解中的Ci和特解

3、y*則與系統結構參數、系統初態以及系統的輸入x(t)有關。 n該微分方程是未知函數及其各階導數的一次方程；n微分方程中各項系數均為常數；n這類方程可用代數方法（如拉氏變換）求解。線 性微分方程一般形式（x=0: 齊次微分方程；x0: 非齊次微分方程）非齊次線性方程特解齊次線性方程的通解)()()()()(2211tytyCtyCtyCtynn)()()()(1)1(1)(txtyatyatyannnn 系統在輸入信號作用下其輸出隨時間變化的規律,稱為系統的，它也是系統動力學。niniiiiitBtsAtsAty1121)()exp()exp()(零輸入響應零狀態響應自由響應強迫響應si 微分方

4、程的特征根（i=1, 2, , n）自由響應對應齊次微分方程的通解；強迫響應對應非齊次微分方程的特解。n 時間響應的類型niniiiiitBtsAtsAty1121)()exp()exp()(零輸入響應零狀態響應自由響應強迫響應按微分方程解的形式分：由系統結構、參數所決定的輸出.：由外加輸入所決定的輸出.按穩定系統響應形態分: 系統輸出從初始狀態到穩定狀態的 響應過程(對應自由響應).: 在時間趨于無窮大時系統的輸出 (對應強迫響應).按輸入激勵的 形 式 分: 無輸入時系統初態引起的輸出.: 系統初態為零僅由輸入引起的輸 出.利用疊加原理求解)()()()()()(11011) 1(11)(

5、1tytxtyatyatyatyannnn結 論對于,如果輸入函數為某一函數的導數，則該輸入函數的響應函數也等于這一函數的響應函數的導數。線性常微分方程的一般形式)()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(txbtxbtxbtxbtyatyatyatyammmmnnnn)()()()(1011) 1(11)(1tybtybybtybtymmmm)()()()()()(11011)(11) 1(1tytxtyatyatyatyannnn )()()()()()()(1)()(10) 1(11) 1(11)(1tytxtyatyatyatyammmmmnnmnnn此類信號工程上易實

6、現。n可用來測試系統瞬態特性，獲取系統階躍響應曲線。n此類信號常用于測取系統模態。n可用來測試系統瞬態特性和抗擾動性能，獲取系統脈沖響應曲線。n此類信號多用于疲勞試驗系統。n可用來測試系統的頻率特性。n此類信號工程上多用于恒速控制。n可用來測試I型系統的穩態特性，獲取系統斜坡響應曲線。3.3.1 一階系統模型 3.3.2 一階系統單位脈沖 響應 3.3.3 一階系統單位階躍 響應 1.熟悉一階系統建模及模型的特點 3.理解脈沖、階躍響應的相互關系及瞬態特性特點2.掌握一階系統脈沖、階 躍響應函數的求取方法 用一階微分方程就可描述完全的系統。其對應的物理系統有一個儲能元件和一個耗能元件。系統的數

7、學模型只有一個特征參數，即系統的時間常數 。Xi(s)Xo(s)Xi(s)Xo(s)系統閉環極點(特征根)：-1/Tckxo(t)xi(t)xo(t)ckxi(t)單位脈沖函數的拉氏變換：1)()(tLsXi單位脈沖響應的拉氏變換：)()()()()(sGsXsGsXsWio 當系統的輸入信號是理想的單位脈沖函數時，系統的輸出稱為單位脈沖響應函數,簡稱為單位脈沖響應,用表示。系統的單位脈沖響應：)0( ,111)()(111teTTsLsGLtwtTn單位脈沖響應對應時間響應類型中的自由響應、零狀態響應和瞬態響應；n定義響應曲線衰減到初值的2%之前的過程為。一階系統過渡過程時間為，越小系統響應

8、越快。 當系統的輸入信號是理想的單位階躍函數時，系統的輸出稱為單位階躍響應函數，簡稱為單位階躍響應。單位階躍函數的拉氏變換：stuLsXi1)()(單位階躍響應的拉氏變換：ssGsXsGsXio1)()()()(n單位階躍響應包括瞬態部分和穩態部分；n響應曲線為一單調上升過程,其穩態誤差趨于零；n過曲線零點的切線的斜率為1/T，且y(T)=0.632y()。單位階躍響應：)0( ,111111)(111teTsTsLsTsLtxtTo n階躍響應曲線零點的反映了信號加入瞬間系統對輸入的反應速度：TeTdttdxttTto1|1|)(010n響應曲線達到穩態值的98%之前的過程為階躍響應的 ，系

9、統過渡過程時間或調整時間為。（注意：調整時間與輸入信號的幅值無關。）nt=T , xo(t)=63.2% 實驗法求T, 也可用實驗方法判斷所試系統是否為一階系統。脈沖函數是階躍函數的微分脈沖響應是階躍響應的微分)(11)(11tweTedtdtxdtdtTtTo階躍響應是脈沖響應的積分是階躍響應的積分TtttToTeTtdtetx011)(n一階系統的 系統時間常數 ；n系統時間響應曲線為單調上升（階躍響應）或下降（脈沖響應）曲線（沒有振蕩現象）。n時間響應的過渡過程時間或與T成正比。T越小，系統的調整時間越短，響應越快。n舉例 水銀溫度計可近似為一階慣性環節，用其測量加熱器內的水溫，當插入水

10、中一分鐘時才指示出該水溫的98%的數值（設插入前溫度計指示0度）。如果給加熱器加熱,使水溫以10度/分的速度均勻上升，問溫度計的穩態指示誤差是多少？一階慣性環節模型11)(TssG(T: 環節的時間常數)確定系統響應類型n溫度計的輸入為加熱器的水溫，應為階躍輸入；n溫度計的初始值為0度，因此是階躍響應；n階躍響應的過渡過程時間為一分鐘，可用于求系統時間常數。斜坡響應穩態誤差n第二問的溫度計輸入為斜坡輸入xi(t)=10t，因此應求出溫度計的斜坡響應；n斜坡響應的調整時間仍然為4T,對本題即為1分鐘，用此時水溫的實際值減去溫度計的指示值（溫度計的斜坡響應值）即為溫度計的穩態指示誤差。課后作業教材

11、113頁： 3.4(2)，3.53.4.1 二階系統模型 3.4.2 二階系統單位脈沖響應 3.4.3 二階系統單位階躍響應 1.熟悉二階系統傳遞函數的特點 3.掌握脈沖、階躍響應特 性與系統阻尼比的關系2.熟悉二階系統脈沖、階 躍響應函數的求取方法3.4.4 二階系統響應的性能指標 4.掌握階躍響應超調量、 調整時間的概念和計算本節(特別是3.4.3,3.4.4)是本章的重點和難點 n可用二階微分方程完全描述的系統;n其對應的物理系統有兩個獨立的儲能元件;n系統的數學模型有兩個特征參數，即無阻尼固有頻率和阻尼比 。0222nnss1221nn、sn二階系統的特征根隨阻尼比 的取值不同而有多種

12、形式，進而決定了二階系統不同的響應特性。2222)(nnnsssG)(2nnssXi(s)Xo(s)-01022, 11nnsjnsj2, 1ns2, 1122, 1nns122, 1nns重點掌握欠阻尼系統的時間響應特性單位脈沖函數的拉氏變換：1)()(tLsXi單位脈沖響應的拉氏變換：)()()()()(sGsXsGsXsWio系統的單位脈沖響應：222112)()(nnnssLsGLtwtetxdtnonsin1)(2欠阻尼0 1)(12)()1()1(222ttnonneetx無阻尼 = 0ttxnnosin)(臨界阻尼 =1tonntetx2)() 10(221)(22nnnosss

13、ssX單位階躍函數的拉氏變換：stuLsXi1)()(單位階躍響應的拉氏變換：ssGsXsGsXio1)()()()(sssLsXLtxnnnoo12)()(22211單位階躍響應：)0()sin(11)(2ttetxdton21nd211tg)0()sin(11)(2ttetxdton21nd211tg無穩態誤差；含有衰減的復指數振蕩項,其振幅衰減的快慢由 和決定, 振蕩幅值隨 減小而加大； 和可由傳遞函數的極點來確定:dnnn、jjs2211s1s2振蕩發散單調發散)0(cos1)(tttxno221)(nossssX(無阻尼的等幅振蕩)xo(t)0()1 (1)(ttetxnton222

14、21)(nnnosssssXxo(t)(單調上升,無振蕩,無超調,無穩態誤差。)ttonneetx)1(22)1(2222)1(121)1(1211)(tonetx)1(21)(單調上升,無振蕩,過渡過程時間長,無穩態誤差.)(1)阻 尼比 決 定了 二階 系統 的振 蕩特 性(2) 一定時,越大,瞬態響應分量衰減越迅速,響應的快速性越好。s1s2nt(3) 工程中除了一些不允許產生振蕩的應用，如指示和記錄儀表系統等,通常采用系統, 且通常選擇在之間,以保證系統的快速性同時又不至于產生過大的振蕩。xo(t)對系統的時間響應性能的定量描述是系統性能評價和設計的依據。drtn對欠阻尼系統,響應曲線

15、從零時刻出發所需時間:n對無超調系統,響應曲線所需的時間.)sin(11)(2tetxdton1)sin(11)(2rdtrotetxrn0)sin(rdtKtrddrt)sin(11)(2tetxdtonn響應曲線從零上升到所需時間:dpt0)sin(12pdtntepn0sinpdt.2 , 0pdtdpt0|)(pttodttdxn 一定時,n越大,tp越小； n一定時, 越大,tp越大。)sin(11)(2tetxdton211tne2包絡線為)(txon響應曲線到達并保持在允 許誤差范圍 （穩態值的2%或5%）內所需的時間。1112snte)7 . 00(05. 0)/(302. 0

16、)/(41lnln2nnnstn響應曲線的最大 峰值與穩態值之差與穩態值的比值.通常用百分數表示:%100)()()(oopopxxtxM)sin(11)(2tetxdtondpt又%100%100)()()(21exxtxMoopopnMp僅與阻尼比 有關;n 越大, Mp 越小,系統的平穩性越好;n = 0.40.8 Mp = 25.4%1.5%n在調整時間ts內系統響應曲線的振蕩次數 。實測時，可按響應曲線穿越穩態值次數的一半計數。2122nddT振蕩周期調整時間05. 0,302. 0,4nnst02. 0,1205. 0,15 . 122dsTtN02. 0,Mln205. 0,Ml

17、n5 . 1Npp21 eMpn N 僅與 有關:越大，N 越小，系統平穩性越好。n增加無阻尼固有頻率可提高系統響應的快速性 , 減少上升時間、峰值時間和調整時間。n在00.7范圍內，增加阻尼比 會增加上升時間、峰值時間，但減少調整時間，降低超調量和振蕩次數，有利于提高系統響應的平穩性。通常可用 確定 ，用確定。n快速性與平穩性有著相互制約的關系，如對于 系統，由于 增加雖可使增加提高響應速度，但卻使 減小，可能影響平穩性。因此在系統設計時需要綜合考慮。n對于非單位階躍響應，以上性能指標同樣適用，只是響應的穩態值不再是1。mkcmkn2,系統模型sNsXkcsmssXsXsGxkxxcxmii

18、oiooo9 . 8)(,1)()()(2 根據響應曲線確定系統的。s/mN8 .18122mkcmkc已知條件%6 . 9%10003. 00029. 0,2,03. 0)(ppoMstx求 N/m297)(9 . 89 . 89 . 8)(lim)(0osoxkksssGxkg3 .77)/96. 1 (N/m29722skmmknn6 . 0096. 021/eMp1296. 121sstnnp1010)()(2ssXsXio =0 無阻尼ssXi1)(ttxo10cos1)(n 等幅不衰減振蕩，不能正常工作。改進前n 試分析：1）該系統能否正常工作？ 2）若要求=0.707，系統應作如

19、何改進？101010)()(2sssXsXio1s107 . 0102nns444. 0102n改進后n系統增加一微分反饋環節后，可以增加系統的阻尼，提高響應的平穩性。課后作業教材113頁：3.11，3.12 (取=0.02) 3.15 (選做題) 3.14 (思考題)n系統簡化的基本思想是：用較低階的近似系統替代階數較高的實際系統；簡化后的模型應能體現原系統的主要特征及主要變化規律，且模型誤差在容許范圍內。n三階以上的微分方程描述的系統就稱為高階系統。許多實際系統的微分方程階次往往都比較高, 而高階微分方程的研究和分析通常比較復雜, 有時十分困難。因此在工程中常常需要對高階系統的數學模型進行

20、簡化。n本節學習的目的是要同學們對高階系統的形式、高階系統時間響應的基本特點以及高階系統降階分析的基本方法有一個基本的了解，為將來從事工程系統的分析打下基礎。)2)(1()2)(1()()(222222nnnnnniossTsTssTssXsX) 10(22, 11nnjsTs13n三階系統模型可分解為三個一階慣性環節串聯或一個慣性環節與一個振蕩環節的串聯，以后者為研究重點。特征根ssXi1)(tTdtoeAteAtxn121)sin(1)(n三階系統的時間響應的瞬態部分由二階振蕩環節的衰減振蕩和一階慣性環節的單調衰減這兩部分組成。211221111101110)2()()(.)()()(nk

21、nknkknjjmiinnnnmmmmiosspszsKasasasabsbsbsbsXsXsG)(mn )(00abK )1sin()(211021kknktnkktpnjjoteDeAAtxnkkj211221021)()(nknknkkkknjjjossCsBpsAsAssGsX高階系統的單位階躍響應由一階和二階系統的響應函數疊加而成。如果所有閉環極點都在 s 平面的左半平面,則隨著時間t，有xo()= A0，系統是穩定的。極點的性質決定瞬態分量的類型：n實數極點非周期瞬態分量；n共軛復數極點阻尼振蕩瞬態分量。系統零點影響各極點處的留數的大小（即各個瞬態分量的相對強度），如果在某一極點附

22、近存在零點，則其對應的瞬態分量的強度將變小。一對靠得很近的零點和極點其瞬態響應分量可以忽略。n 結 論 距虛軸最近，實部的絕對值為其它極點實部絕對值的或更小，且其附近沒有零點的閉環極點點，其對高階系統的瞬態響應起著主導作用。tXo(t)tp0圖3.5.1 ( b)s4s5nn12jn圖3.5.1 (a)0s35nn對于高階系統，如果能夠找到主導極點，就可以忽略其它遠離虛軸的極點和偶極子（一對靠得很近的零、極點）的影響，可近似為一階或二階系統進行處理。（三階系統二階系統）圖示系統傳遞函數)520020)(60(312000)(2ssssG其 3 個極點分別為60,71j1032, 1pp且516

23、16010ReRe31ppttoetetx60010686. 0)93.267 .71sin(696. 01)()93.267 .71sin(696. 01)(010tetxto精確解近似解3.6.1 誤差的基本概念 3.6.2 穩態偏(誤)差系數3.6.3 擾動作用下的穩態偏差 1.明確誤差與偏差的概念3.了解干擾作用下求穩態偏差的方法 2.掌握求取系統穩態偏差的方法 )()()()()()(sHsXsXsBsXsEoii)()()(tbtxtin 指令信號減去反饋信號)()()(1sXsXsEoroe txtx toro( )( )( )n 希望輸出減去實際輸出)(/ )()(0)()()

24、(sHsXsXsEsXsXiororo)(/ )()()()()()()(/ )()()()(1sHsEsHsXsHsXsXsHsXsXsXsEoioioor對單位反饋E1(s)=E(s)瞬態過程結束后誤（偏）差的穩態分量。)()()(1)()()()()(21sHsGsGsXsXsHsXsEioi)(lim)(lim0ssEtstss穩態偏差)()()()(1)()()()(0)(212sNsHsGsGsGsHsXsHsEoN穩態偏差)(lim)(lim0ssEtNsNtssNn此時偏差與誤差。 先求偏差信號的拉氏變換; 再利用終值定理求穩態偏差。 與輸入信號和系統結構有關的物理量，可用于簡

25、化對系統誤(偏)差的分析。psssKHGssHsGs11)0()0(111)()(11lim0ssXtutxii1)(),()(Kp：穩態位置無偏系數21)(,)(ssXttxiivssssKsHssGssHsGs1)()(lim11)()(11lim020Kv：穩態速度無偏系數321)(,2)(ssXttxiiassssKsHsGsssHsGs1)()(lim11)()(11lim2030Ka：穩態加速度無偏系數niimiisTssKsHsG11) 1() 1()()(v=00型系統v=1I 型系統v=2II型系統系統的結構類型系統開環傳遞函數n 由開環傳遞函數含積分環節的個數可將系統劃分為

26、0) 1() 1(lim)()(lim1100niimiissvsTsKssHssGKvssvK10) 1() 1(lim)()(lim112020niimiissasTsKssHsGsKassaK1KsTsKsHsGKniimiissp1100) 1() 1(lim)()(limKKpssp1111vniivmiisTssKsHsG11) 1() 1()()(（）111) 1() 1()()(niimiisTssKsHsG)()(lim0sHsGKsp011psspK（）0) 1() 1(lim)()(lim112020niimiissasTssKssHsGsKassaK1KKvssv11K

27、sTssKssHssGKniimiissv1100) 1() 1(lim)()(lim 1121) 1() 1()()(niimiisTssKsHsG)()(lim0sHsGKsp011psspK（）01vssvKniimiissvsTssKssHssGK12100) 1() 1(lim)()(limKKassa11KsTssKssHsGsKniimiissa1212020) 1() 1(lim)()(limn減小和消除穩態誤差方法提高系統的開環增益增加開環傳遞函數中積分環節(但受到系統穩定性的制約)n位置、速度、加速度無偏系數位置、速度、加速度無偏系數分別反映了系統對單位階躍、速度、加速度輸

28、入作用下的穩態偏差，也同時反映了系統的穩態精度。同時應當注意速度、加速度輸入信號實際上也仍然是位置信號，只不過該位置信號是隨時間變化的。n如果輸入量非單位量時，其穩態偏差（誤差）按比例增加.n系統在多個信號共同作用下總的穩態偏差（誤差）等于各個信號單獨作用下的穩態偏差（誤差）之和。04. 02460011maxvssKevssKe11600sKKv解： I 型系統單位速度輸入下的穩態誤差而系統的穩態誤差為 I型單位反饋系統的開環增益 K = 600 s-1，系統最大跟蹤速度max =24/s，求系統在最大跟蹤速度下的穩態誤差。解：由輸入為10t時的穩態誤差為0.05cm，即則系統的開環增益12

29、00)(05. 0)/(10scmscmKKvcmKscmevss05. 0)/(10 閥控油缸伺服工作臺要求定位精度為0.05cm，該工作臺最大移動速度vmax =10cm/s。若系統為I 型，試求系統開環增益。G2(s)+_E(s)B(s)G1(s)+N(s)Xi(s)Xo(s)擾動作用下的偏差信號)()()(1)()(212sNsGsGsGsEN)()()()()(201021202211sNsGsGKKsssGKsEN令) 1)(lim(/ )()() 1)(lim(/ )()(2002022100101121sGssGKsGsGssGKsGss擾動作用下的穩態偏差)()()()(li

30、m)(lim20102120200211sNsGsGKKsssGKsssEsNsssN（）21220102120202010212020212011)()(1)(lim)()()()(lim)()(1)()(lim211KKKssGsGKKsGKssNsGsGKKsssGKssGsGsNsGssssssN01)()()(lim2010212020ssGsGKKsssGKssssN（）1201021202011)()()(limKssGsGKKssGKssssN（） 01)()()(lim201021222020ssGsGKKsssGKssssN（）01)()()(lim20102122020s

31、sGsGKKsssGKssssN（）12010212202011)()()(limKssGsGKKssGKssssN（）n增加擾動作用點前回路的傳遞函數的增益或積分環節的個數，有利于提高系統的控制精度和抗干擾能力；n增加擾動作用點后到輸出前回路的增益或積分環節個數不利于減少由干擾造成的穩態誤差。實驗一 典型環節及其時間響應1.熟悉TKKL1型（或3型）控制理論電子模擬實驗箱及相關儀器的使用。2.觀察一、二階系統在階躍輸入信號作用下的瞬態響應。3.學習用電路構造典型環節的方法。4.根據階躍響應曲線，確定系統的過渡過程時間，并與理論計算結果進行比較。 實驗中所用的電子模擬箱用來構造模擬電路。有兩種

32、類型即TKKL-1型(上)和TKKL-3型(下)。這兩種實驗箱的實驗功能是相同的,只是面板的布置略有不同,以及電阻、電容元件的配置有一定差異，但不會影響模擬電路的編排。 實驗中所用的TD4652A型雙蹤示波器用來顯示被測信號的波形。 XD5A型超低頻信號發生器可以產生不同周期的方波、三角波、正弦波、正負脈沖和正負鋸齒波。n由于模擬實驗箱中運算放大器的有效工作范圍為10V，因此在實驗中，模擬電路系統的輸入信號(即信號發生器的輸出信號)幅值應保持在10V以下。n在測試系統階躍響應時，可利用信號發生器產生的適當周期的方波信號作為階躍信號，信號發生器的周期如何確定，請同學們自己分析。-+-+xi(t)

33、xo(t)R1R2R3R4R5R6C比例環節慣性環節調節R6，使R6與R5的并聯電阻為1. 2k，調節R3使比例環節的增益為1.5。將信號發生器上的方波信號周期調至500ms，其輸出接至xi。將xo接至示波器，接通電源，觀察示波器上的響應曲線，并估算其過渡過程時間。在實驗箱上編排如下模擬實驗線路圖：-+-+xi(t)R1R2R3R4R5R6C比例環節慣性環節-+xo(t)R7R8CCC積分環節R9保持慣性環節參數不動，調節可調電阻R8，使R8與R7的并聯電阻約為3。將信號發生器上的方波信號周期調至500ms，其輸出接至xi，并將xo接至示波器，接通電源。調節R3使比例環節的增益為1.5觀察示波器上的輸出響應，估算其有阻尼固有振蕩頻率；再調節R3使比例環節的增益為1.0觀察示波器上的輸出響應，估算其有阻尼固有振蕩頻率。在實驗箱上編排如下模擬實驗線路圖：推導實驗電路所表示的一階、二階系統的傳遞函數，并根據實驗所調參數計算其中的慣性環節、積分環節的時間常數。計