1、第十三章全等三角形13.3角的平分線的性質目標導航1、能夠利用三角形全等，證明角平分線的性質和判定。2、會用尺規作已知角的平分線。3、能夠利用角平分線的性質和判定進行推理和計算，解決一些實際問題。4、進一步發展我們的的推理證明意識和能力。名師引領1角的平分線的性質：定理 1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。定理 2到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。2三角形的三條角平分線交于三角形內一點，并且這個點到三角形三邊的距離相等師生互動共解難題例 1：三角形的三條角平分線交于一點，你知道這是為什么嗎？分析：我們知道兩條直線是交于一點的，因此可以想辦法證明第三條角平分線通過前兩條

2、角平分線的交點。已知：如圖， ABC的角平分線 AD與 BE交于點 I ，求證：點 I 在 ACB的平分線上。證明：過點 I 作 IHAB、IG AC、IF BC，垂足分別是點H、 G、 F。點 I 在 BAC的角平分線 AD上，且 IH AB、IGAC IH=IG（角平分線上的點到角的兩邊距離相等）同理 IH=IF IG=IF （等量代換）又 IG AC、IF BC點 I 在 ACB的平分線上（到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上）即：三角形的三條角平分線交于一點。例 2：如圖，已知 ABC中 BAC=90°， AB=AC，CD?垂直于 ABC?的平分線 BD 于 D，

3、BD交 AC于 E，求證： BE=2CD。1 / 7分析：要證 BE=2CD，想到要構造等于 2CD的線段，結合角平分線， ?利用翻折的方法把 CBD沿 BD翻折，使 BC重疊到 BA所在的直線上，即構造全等三角形（ BCD BFD），然后證明 BE和 CF（ 2CD）所在的三角形全等。證明：延長 BA、 CD交于點 F BDCF（已知） BDC=BDF=90°（垂直的定義） BD平分 ABC（已知） 1= 2（角平分線的定義）在 BCD和 BFD中21(已知 )BDBD (公共邊 )BDCBDF (已證 ) BCD BFD（ASA） CD=FD（全等三角形的對應邊相等）即 CF=2

4、CD 5= 4=90°， BDF=90° 3+ F=90°， 1+ F=90°（直角三角形兩銳角互余） 1= 3（同角的余角相等）在 ABE和 ACF中45ABAC13(已證 ) ABE ACF（ASA） BE=CF（全等三角形對應邊相等） BE=2CD（等量代換）積累運用舉一反三一、選擇題1到三角形三邊的距離相等的點是三角形（）。A三條邊上的高的交點B三個內角平分線的交點C三邊上的中線的交點D以上結論都不對2如圖 1， ABC中， ACCB， CD平分 ACB，點 E 在 AC上，且 CE=CB，則下列結論： CD平分 BDE； BD=DE； B=CE

5、D； A+CED=90°。其中正確的有（ ）。2 / 7A1 個B2 個C3 個D4 個CEADB圖 13如圖 2，已知點 D是 ABC中 AC邊一點，點 E 在 AB延長線上，且 ABC? DBE， BDA=A若 A： C=5：3，則 DBE的度數是（）。EBCDA圖 2A100°B80°C60°D120°4下列說法：角的內部任意一點到角的兩邊的距離相等； ?到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；角的平分線上任意一點到角的兩邊的距離相等； ABC中 BAC的平分線上任意一點到三角形的三邊的距離相等，其中正確的（）。A1 個B2 個C3 個

6、D4 個5. 已知 AD是 ABC的角平分線， DEAB于 E, 且 DE=3cm,則點 D 到 AC的距離是 ( ) 。6如圖 3，已知 CE、 CF分別是 ABC的內角和外角平分線， ?則圖中與 BCE 互余的角有（ ）。A4 個B3 個C2 個D1 個7如圖 4，已知點 P 到 AE、 AD、BC的距離相等，則下列說法：點 P 在 BAC 的平分線上；點 P 在 CBE的平分線上；點 P 在 BCD的平分線上；點 P是 BAC、 CBE、 BCD的平分線的交點，其中正確的是（）。3 / 7ABCDABEEFPBCD ACD圖 3圖 4二、填空題1 ABC中 AB=AC，點 D 是 BAC

7、平分線上一點，且 BD=2cm，則點 D 與點 C 之間的距離是 _。2如圖 3， ABC=ADC=90°，要證明 ABC ADC，可補充條件_或_（填寫兩組適合的條件即可）。ABDC圖 33如圖 4， DEF由 ABC沿直線 BC平移而得到的，則AB=_，CF=?_， A=_。ADBECF圖 44用直尺和圓規平分已知角的依據是_。5角的平分線上的點到 _相等；到 _相等的點在這個角的平分線上。6如圖 3，AB CD，AP、CP分別平分 BAC和 ACD，PEAC于 E，且PE=2cm，則 AB與 CD之間的距離是 _。三、解題題1如圖， D、E 是 ABC中 AB、AC邊上的點，且

8、 AD=AE， 1= 2，求證BD=CE。4 / 72如圖，已知 AB AC于 A，BD DC于 D，要想得到 AC=BD，你認為需要補充什么條件？請說明你的理由。ADBC3如圖， A、B 兩點分別位于池塘兩側，小亮用下面的方法測量 A、B?之間的距離：先在地上取一個可以直接到達 A 點和 B 點的 C 點，連接 AC、BC，?并分別延長至 D、 E 兩點，使 DC=AC， EC=BC那么量出 DE的長就是 A、B 間的距離。請說明一下這樣做的道理。EACDB4如圖 1，AD是 ABC的角平分線， DE和 DF分別是 ABD和 ACD的高， ?求證： AD垂直平分 EF。AEHFBDC5如圖，

9、四邊形 ABCD中 AB=AD， CB=CD，點 P 是對角線 AC上一點， PEBC于E，PFCD于 F，求證 PE=PF。5 / 7BEPACFD6如圖，四邊形 ABCD中 AB=AD， ABBC，ADCD，P 是對角線 AC上一點， ?求證： PB=PC。APBDC7如圖，已知 CD AB于 D，BE AC于 E，CD交 BE于點 O。若 OC=OB，求證：點 O在 BAC的平分線上。若點 O在 BAC的平分線上，求證： OC=OB。CEOADB答案：一、1B 2D 3A 4.B 5.B 6.C 7.A二、12cm ；2AB=AD； BAC=DAC；3DE；BE； D；4SSS；5角的兩邊的距離；角的兩邊的距離；6.4cm。三、1先證 ABE ACD得到 AB=AC，再用等式性質證明BD=CE2比如