1、20XX 年全國碩士研究生入學統一考試數學一試題答案一、選擇題 :1 8 小題，每小題4 分，共 32 分 . 下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上 .1、設函數f ( x)在連續，其 2 階導函數f (x)的圖形如下圖所示，則曲線y f ( x)的（- ,+）拐點個數為（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】 (C)【考點】拐點的定義【難易度】【詳解】拐點出現在二階導數等于0，或二階導數不存在的點上，并且在這點的左右兩側二階導數異號，因此，由f (x) 的圖形可知，曲線 yf ( x) 存在兩個拐點，故選(C).2、設 y1e2xx

2、1ex 是二階常系數非齊次線性微分方程y ayby cex 的一個特解，23則（）（ A） a3, b1,c1.（ B） a3,b2, c1.（ C） a3,b2, c1.（ D） a3, b2, c 1.【答案】 (A)【考點】常系數非齊次線性微分方程的解法【難易度】【詳解】1 e2 x ,1 ex為齊次方程的解，所以2、 1 為特征方程2 +ab 0 的根，從而23a123,b1 2 2, 再將特解 yxex 代入方程 y 3y2 ycex 得： c 1.3、若級數an 條件收斂，則 x3 與 x3依次為冪級數nan x 1n 的：n 1n 1（ A）收斂點，收斂點（ B）收斂點，發散點（

3、 C）發散點，收斂點（ D）發散點，發散點【答案】 (B)【考點】級數的斂散性【難易度】【詳解】因為an 條 件 收 斂 ， 故 x2為冪級數anx 1 n 的 條 件 收 斂 點 ， 進 而 得n 1n 1anxn的收斂半徑為 1，收斂區間為0,21，又由于冪級數逐項求導不改變收斂區間，故n 1nanx1n0,2 ，因而 x3與 x3依次為冪級數n的收斂區間仍為nan x 1 的收斂n 1n 1點、發散點 .4、設 D 是第一象限中曲線2xy1,4xy 1與直線 yx, y3x 圍成的平面區域， 函數 f ( x, y)在 D 上連續，則( ,)f x y dxdyD1（ A）2dsin 2

4、142sin 21（ C）3dsin 2142sin 21f ( r cos, r sin)rdr（ B）2 dsin 2142sin 21f ( r cos, r sin)dr（ D）3 dsin 2142sin 2f (r cos , r sin)rdrf (r cos , r sin)dr【答案】 (D)【考點】二重積分的極坐標變換【難易度】【詳解】由 y x 得，4；由 y3x 得，3由 2xy1得， 2r 2 cossin1, r1sin 2由 4xy1得， 4r 2 cossin1, r12sin 21所以f ( x, y)dxdy3dsin 2f (r cos , r sin )

5、rdr1D42sin 211115、設矩陣 A12a， bd ，若集合1,2 ，則線性方程組Ax b 有無窮多個14a2d 2解的充分必要條件為（ A） a, d（ B） a, d（ C） a, d（ D） a, d【答案】 (D)【考點】非齊次線性方程組的解法【難易度】11111111【詳解】A, b12ad01a 1d114a2d 20 0 a 1 a 2d 1 d 2Ax b 有無窮多解R( A)R( A,b)3a 1或 a2 且 d1 或 d 26、設二次型f ( x1, x2 , x3 ) 在正交變換 xPy 下的標準形為2y12y22y32 ，其中P (e1 , e2 , e3 )

6、 ，若 Q( e1 ,e3 ,e2 ) ，則 f ( x1 , x2 , x3) 在正交變換 xQy 下的標準形為（ A） 2y12y22y32（ B） 2y12y22y32（ C） 2y12y22y32（ D） 2y12y22y32【答案】 (A)【考點】二次型【難易度】200【詳解】由 xPy ，故 fxT AxyT (PT AP) y 2 y12y22y32 且： PT AP 010001100200Q P 001PC ,QT AQ CT (PT AP)C010010001所以 fxT AxyT (QT AA) y2y12y22y32 ，故選 (A)7、若 A, B 為任意兩個隨機事件，

7、則（ A） P( AB)P( A)P(B)（ B） P( AB) P( A)P(B)（ C） P(AB)P( A) P(B)（ D） P( AB)P( A) P(B)22【答案】 (C)【考點】【難易度】【詳解】P(A)P(AB), P(B)P(AB)P( A)P(B)2P( AB)P(AB)P(A)P(B)故選（ C）28、設隨機變量X, Y 不相關，且 EX2, EY 1, DX3,則E XX Y 2（A）-3（B）3（C） -5（D）5【答案】 (D)【考點】【難易度】【詳解】EXXY2E X 2XY 2XEX2EXY 2EXDX E2X EXEY 2EX 5二、填空題：9 14 小題

8、, 每小題4 分 , 共 24 分 . 請將答案寫在答題紙指定位置上 .ln cos x9、 limx2x 01【答案】2【考點】極限的計算【難易度】ln cosxln(1cos x 1)cos x 11 x21limlim2【詳解】 lim2lim222x0xx0xx 0xx 0x22 (sin xx )dx10、 -1cos x22【答案】4【考點】積分的計算【難易度】sin x2【詳解】2 (x )dx22 xdx-1cosx04211、若函數 zz(x, y )由方程z+cos2 確定，則 dz (0,1).exyz xx【答案】【考點】隱函數求導【難易度】【詳解】令(,)zcos2，

9、則，Fx y zexyzxxFxyz 1sin xFy xz Fzxy又當 x0, y1時， z0 ，所以zFx1，zFy0，因而 dz (0,1)dxx (0,1)Fzy (0,1)Fz12、設是由平面 xyz1與三個坐標平面所圍成的空間區域，則( x2 y3z)dxdydz【答案】14【考點】三重積分的計算【難易度】【詳解】 由輪換對稱性，得()òòò1dxdy0òòòzdzx + 2y + 3z dxdydz = 6zdx dydz = 6ò òòWWDz其中 Dz 為平面 z= z截空間區域 W所

10、得的截面，其面積為212(1- z).所以òòòòòò11213210 z×(1- z)dz =30z- 2z + z dz =(x + 2y + 3z)dxdydz = 6zdxdydz = 6ò2ò)4WW(2002-1202002213、 n 階行列式 00-12【答案】 2n 12【考點】行列式的計算【難易度】【詳解】 按第一行展開得= 2n+1 - 214、設二維隨機變量( X ,Y ) 服從正態分布N (1,0,1,1,0) ，則 P( XYY0).【答案】12【考點】【難易度】【詳解】( X

11、 ,Y) N (1,0,1,1,0)X N (1,1),Y N (0,1),且X , Y獨立，X 1 N(0,1)， P XY Y0P(X 1)Y 0PX10,Y0 PX10，Y01111122222三、解答題：15 23 小題 , 共 94 分 . 請將解答寫在答題紙指定位置上 . 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、（本題滿分10 分）設函數f (x)xa ln(1x)bx sin x ， g( x)kx3 ，若 f ( x) 與 g ( x) 在 x0 是等價無窮小，求 a ， b ， k 值。【考點】等價無窮小量，極限的計算【難易度】【詳解】 f (x) xaln(1 x)b

12、x sin xxx2x3x3x3x3a x3bx x23!1af ( x)與g( x)1+a0a b0xab x2a x3x323kx3 是等價無窮小a11b2ak3k21316、（本題滿分10 分）設函數在 f (x) 定義域 I 上的導數大于零， 若對任意的 x0I ，曲線 yf ( x) 在點 ( x0 , f ( x0 ) 處的切線與直線 xx0 及 x 軸所圍成的區域的面積為4，且 f (0) 2 ，求 f (x) 的表達式.【考點】微分方程【難易度】【詳解】如下圖：xx0 處的切線方程為l ： yf ( x0 )( xx0 )f ( x0 )l 與 x 軸的交點為： y 0時， x

13、 x0f ( x0 ) ，則 ABf ( x0 )xx0 ，f ( x0 )f (x0 )因 此 ，11f ( x0 ).即滿足微分方程：y1S2 ABf (x0 )2f ( x0 ) f (x0 )4y2，解得：81 1 x c .y8又因 y(0)218.，所以 c，故 y24x17、（本題滿分10 分）已知函數 f (x, y)x y xy ，曲線 C : x2y2xy 3 ，求 f ( x, y) 在曲線 C 上的最大方向導數 .【考點】方向導數，條件極值【難易度】【詳解】根據方向導數與梯度的關系可知，方向導數沿著梯度方向可取到最大值且為梯度的模.，故gradf ( x, y)1y,1

14、 x故 f ( x, y) 在曲線 C 上的最大方向導數為1y 2(1x)2 ，其中 x, y 滿足 x 2y2xy 3 ，即就求函數 z(1y) 2(1x) 2 在約束條件x2y 2xy30 下的最值 .構造拉格朗日函數F ( x, y,)(1 y) 2(1x) 2( x2y 2xy 3)F2(1x)2xy0x令F2(1y)2yx0可得 (1,1), (1, 1) , (2,2), (1,2)yFx 2y 2xy30其中 z(1,1)4, z(1,1)0, z(2, 1) 9z(1,2)綜上根據題意可知f ( x, y) 在曲線 C 上的最大方向導數為3 .18、（本題滿分10 分）( )設

15、函數 u( x), v(x) 可導，利用導數定義證明 u(x)v( x)'= u '( x)v( x)u( x)v(x)'( )設函數 u1 ( x), u2 (x).un ( x) 可導， f ( x)u1( x)u2( x).un (x), 寫出 f ( x) 的求導公式 .【考點】導數定義【難易度】【詳解】'u xx v xx u x v(x)u x v xlimxx0limu xx u(x) v x x u x v(x x) v( x)0xxu'x v( x) u x v' ( x)'f ' (x) u1 (x) u2 (

16、x) un ( x)u1''(x) u2 (x) un (x) u1( x) u2 ( x) un ( x)u1''(x) u2 ( x) un ( x) u1 ( x) u2 ( x) u3 (x) un ( x)u1' (x) u2 ( x) un ( x) u1 ( x) u2' ( x) un (x)u1(x) u2 ( x) un' ( x)19、（本題滿分 10 分）已知曲線 L 的方程為z2x2y2 , 起點為 A(0,2,0) ，終點為 B(0,2,0) ，計算曲線積zx,分 I( y z)dx ( z2x2y)dy (x

17、2y2 )dzL【考點】曲線積分的計算【難易度】xcos ,【詳解】曲線 L 的參數方程為y2 sin, 從到zcos ,22I( y z)dx ( z2x2y)dy (x2y 2 )dzL2(2 sincos )sin2 sin2cos22sin2)sin d(cos222sin21sin2sinsin3d2222 sin2d222 sin2d22 12202 2220、（本題滿分 11 分）設向量組1, 2, 3是 3 維向量空間3的一個基，12 1 2k 3 ， 22 2 ，31( k1) 3。（）證明向量組1 ,2 ,3 是3 的一個基；（）當 k 為何值時，存在非零向量在基1,2 ,

18、3 與基1 ,2 ,3 下的坐標相同，并求出所有的。【考點】線性無關，基下的坐標【難易度】201【詳解】（） ( 1,2 ,3 )(1,2, 3)0202k0k12012102040 ，因為2k12k0 k 12k所以1 ,2 ,3 線性無關，1 ,2 ,3 是3 的一個基。201（）設 P020， P為從基1,2,3到基1 ,2,3 的過渡矩陣，又設在基2k0k11, 2, 3下的坐標為x( x1 , x2 , x3 )T ，則在基1,2 ,3 下的坐標為 P 1 x ，由 xP 1x ，得 Pxx ，即 (PE) x010111由 P E0110 ，并解得 xc 0 , c 為任意常數。0k 0 ，得 k2k02kk1k從而c 1c 3, c 為任意常數。21、（本題滿分 11 分）02-31-20設矩陣 A-133相似于矩陣 B 0b0.1-2a031（）求 a,b 的值 .（）求可逆矩陣P ，使得 P 1AP為對角陣 .【考點】相似矩陣，相似對角化【難易度】023120【詳解】由 A133相似于 B0b012a0310 3a1b1023120則330b, 解得 a 4,b 51012a03123fA ( ) | E A | 133(1)2 (5) 0124123123當 121,( E A)12300012300023特征向量11 , 2