1、2019 年普通高等學校招生全國統一考試(江蘇省 )模擬試卷 (三) 數學(滿分 160 分，考試時間120 分鐘 ) 一、填空題：本大題共14 小題，每小題5 分，共 70 分. 不需寫出解答過程，請把答案直接寫在指定位置上1. 已知集合a x|xx2 0 ，bx|ylg(2x1) ，則集合a b_2. 已知復數z11 ii(i 為虛數單位 )，則 |z|_3. 某學校高三年級有700 人，高二年級有700 人，高一年級有800 人，若采用分層抽樣的辦法，從高一年級抽取80 人，則全校總共抽取_人4. 已知 ar，則 “ a2” 是“1a12” 的_條件5. 從 1，2，4，8 這四個數中一

2、次隨機地取2 個數，則所取2 個數差的絕對值小于2 的概率是_6. 執行如圖所示的偽代碼，最后輸出的s值為 _n1s0while s9 ss (1)n nnn 1 endwhile prints7. 曲線 f(x)xcos x 在點 (2，f(2)處的切線方程為_8. 若函數 f(x)kx 1（x1 ），2xx2（xb0)的左、右端點分別為a， b，點 c(0，b2)，若線段ac 的垂直平分線過左焦點f，則橢圓的離心率為_11. 已知數列 an是首項為a， 公差為 1 的等差數列， bnan2an， 若對任意的nn*， 都有 bn b6成立，則實數a 的取值范圍是_12. 已知 x，y 為正實

3、數，滿足2x y6xy，則 xy 的最小值為 _13. 已知向量 a， b 是單位向量，若 a b0， 且 |ca|c2b|5， 則|cb|的最小值是 _14. 已知函數f(x)x24x，x0 ，xln x， x0，g(x)kx1，若方程 f(x)g(x)0 在 x(2，2)上有三個實數根，則實數k 的取值范圍是_二、解答題：本大題共6 小題，共90 分. 解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15. (本小題滿分14 分) 如圖，在四棱錐pabcd 中，平面pab平面 abcd， pbc bad90 .求證：（1）bc平面 pab；（2）ad平面 pbc. 16. (本小題滿分14

4、分) 在abc 中，邊 a，b，c 的對角分別為a，b， c，且 b4，a3，面積 s23. （1）求 a 的值；（2）設 f(x)2(cos csin xcos acos x)，將 f(x)圖象上所有點的橫坐標變為原來的12(縱坐標不變)得到 g(x)的圖象，求g(x)的單調增區間17. (本小題滿分14 分) 如圖，某地要在矩形區域oabc 內建造三角形池塘oef，e，f 分別在 ab，bc 邊上， oa5 m，oc4 m， eof4，設 cfx，aey. （1）試用解析式將y 表示成 x 的函數；（2）求三角形池塘oef 的面積 s的最小值及此時x 的值18. (本小題滿分16 分) 在

5、直角坐標系xoy 中，橢圓c：x2a2y2b21(ab0)的離心率為32，過點 (1，32)（1）求橢圓 c 的方程；（2）已知點p(2，1)，直線 l 與橢圓 c 相交于 a，b 兩點，且線段ab 被直線 op 平分 求直線 l 的斜率； 若pa pb0，求直線l 的方程19. (本小題滿分16 分) 已知數列 an是首項為a，公比為q 的等比數列，且an0. （1）若 a1，a1，a32，a55 成等差數列，求an；（2）如果 a2a4n2a4n， 當 a2 時，求證：數列an中任意三項都不能構成等差數列； 若 bnanlg an，數列 bn 的每一項都小于它后面的項，求實數a 的取值范圍

6、20. (本小題滿分16 分) 設函數 f(x)的導函數為f(x)若不等式f(x) f(x)對任意實數x 恒成立， 則稱函數f(x)是“ 超導函數” （1）請舉一個 “ 超導函數 ” 的例子，并加以證明；（2）若函數g(x)與 h(x)都是 “ 超導函數 ” ，且其中一個在r 上單調遞增，另一個在r 上單調遞減，求證：函數f(x) g(x)h(x)是“ 超導函數 ” ；（3）若函數y (x)是 “ 超導函數 ” 且方程 (x) (x)無實根， (1)e(e 為自然對數的底數)，判斷方程 (xln x)exln x的實數根的個數并說明理由2019 年普通高等學校招生全國統一考試(江蘇省 )模擬試

7、卷 (三) 數學附加分 (滿分 40 分，考試時間30 分鐘 )21. 【選做題】從 a，b，c 三題中選做2 題，每小題10 分，共 20 分若多做，則按作答的前兩題評分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟a. ( 選修 42：矩陣與變換 ) 設矩陣 am00n，若矩陣 a 的屬于特征值1 的一個特征向量為10，屬于特征值2 的一個特征向量為01，求矩陣a. b. (選修 44：坐標系與參數方程) 在極坐標系中，已知曲線c： 2sin ，過極點 o 的直線 l 與曲線 c 交于 a，b 兩點，且 ab3，求直線 l 的方程c. (選修 45：不等式選講) 解不等式： |x2| x|

8、x2|2. 【必做題】第22 題、第 23 題，每小題10 分，共 20 分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟22. 某校高一、高二兩個年級進行乒乓球對抗賽，每個年級選出3 名學生組成代表隊，比賽規則是：按 “ 單打、雙打、單打” 順序進行三盤比賽；代表隊中每名隊員至少參加一盤比賽，但不能參加兩盤單打比賽若每盤比賽中高一、高二獲勝的概率分別為37，47. （1）按比賽規則，高一年級代表隊可以派出多少種不同的出場陣容？（2）若單打獲勝得2 分，雙打獲勝得3 分，求高一年級得分 的概率分布列和數學期望23. 已知拋物線c：x22py(p0)過點 (2，1)，直線 l 過點 p(0， 1

9、)與拋物線 c 交于 a，b 兩點點 a 關于 y 軸的對稱點為a，連結 a b. （1）求拋物線c 的標準方程；（2）問直線a b 是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由2019 年普通高等學校招生全國統一考試(江蘇省 )模擬試卷 (三) 1.12，1解析： ax|0 x1，bx x12，abx12x1 . 2.22解析： z1i2i1212i，|z|22. 3. 220解析： 設全校總共抽取x 人，則x70070080080800，x220. 4. 充分不必要解析： 由1a12，得 a2，“a2”是“1a0 且 k112112， k2. 9. 7解析： sin 35且 是第二象

10、限角，cos 45，tan 34，tan 4 7. 10. 413解析： kacb2a，ac 中點為p a2，b4，kfpb4ca2，由題知， kackfp 1， 3a28acc20，e28e30，e4 13，又 0e1， e413. 11. (6，5)解析： an an1，bn12an1 12na1，由 y1x的圖象可得61a7，6a0，由圖象可得實數k 的取值范圍是 (1，ln 2e)32，2 . 15. 證明： (1) 如圖，在平面pab 內過點 p 作 phab 于 h，因為平面pab平面 abcd，平面 pab平面 abcdab，ph? 平面 p ab，所以 ph平面 abcd.(4

11、 分 ) 而 bc? 平面 abcd，所以 phbc. 由 pbc 90得 pbbc. 又 phpbp， ph，pb? 平面 pab，所以 bc平面 p ab.(8 分) (2) 因為 ab? 平面 pab，故 bcab, 由 bad 90，得 adab，故在平面abcd 中， adbc.(11 分) 又 ad?平面 pbc， bc? 平面 pbc，所以 ad平面 pbc.(14 分) 16. 解： (1) 在 abc 中， s2 3，s12bcsin a，124csin 32 3，c2， a2b2c22bccos a12，a2 3.(6 分) (2) asin absin b，2 3sin

12、34sin b，sin b1. 又 0b，b2，c6， f(x)2(cos csin xcos acos x)2sinx6，將 f(x)圖象上所有點的橫坐標變為原來的12，得 g(x)2sin2x6，由 2k22x62k2，得 k6 xk3(kz)， g(x)的單調增區間為k6，k3(kz)(14 分) 17. 解： (1) 由 eof4，可得 cof aoe4，由題意有tan cofx4，tan aoey5，則 tan(cof aoe)x4y51xy201，即有 y20 5x4 x，由 0y4?49x4，則函數的解析式為y205x4x49x4 .(6 分) (2) 三角形池塘oef 的面積s

13、s矩形oabcsaoesbef scof455y24x2（4y）（ 5x）2105x2 20 x2（x4）49x4 ，令 tx 4409t8 ，即有 s 10125t160t 60 20220，當且僅當5t160t，即 t4 2時取“”，此時 x(424)m， 當 x(424)m 時， oef 的面積取得最小值，且為(20220)m2.(14 分) 18. 解： (1) 由 e32可得ba12. 設橢圓方程為x24b2y2b21，代入點1，32，得 b1，故橢圓方程為x24y21.(4 分) (2) 由條件知op：yx2，設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則滿足x214y211，x224

14、y221，兩式作差，得x21x224y21y220，化簡得x1x24(y1y2)y1y2x1x20. 因為 ab 被 op 平分，故 y1y2x1 x22，當 x1 x2 0 即直線 l 不過原點時，y1y20，所以y1y2x1x212；當 x1 x2 0 即直線 l 過原點時， y1y20，y1y2x1x2為任意實數， 但y1y2x1x212時 l 與 op 重合；綜上，直線l 的斜率為除12以外的任意實數(8 分 ) 當 x1x20 時， y1y2 0，故 papb(x12) (x2 2)(y11)(y21)5 x21y210，得 x21 y21 5，聯立x214 y21 1，得 y211

15、30，故所求直線方程為y12x1.(16 分) 19. 解： (1) a1， a3 2，a55 成等差數列， 2(a32)a1a55. 又 a1 1，公比為q，2(q2 2) 1q45，即 q4 2q280， q2 4，q 2. an0，q 2，an2n1.(4 分) (2) a2a4n2 a4n，數列 an是首項為a，公比為q 的等比數列，a22n a4n. 又 an0，a2na2n，aq2n1a2n， qa，anan.(6 分) 假設 an中存在三項ar，aq，ap(pqr)成等差數列，則2aqapar. a2，2 2q2p2r，2qr1 2pr 1. qr1，p r2，q r，pr 均為

16、正整數，2qr1為偶數， 2pr1 為奇數， 2qr12pr1，矛盾，故an中不存在三項成等差數列(10 分) an an，bn anlg annanlg a. bn1bn恒成立， (n1)an1lg ananlg a 恒成立，顯然a1. 當 0ananlg a，得 a11n1恒成立，0a1 時，由 (n1)an1lg ananlg a，得 a11n1恒成立，a1. 綜上所述， a 的取值范圍是 (0，12)(1， )(16 分 ) 20. (1) 解： 舉例：函數f(x)1 是“超導函數”，因為 f(x)1，f (x)0，滿足 f(x)f(x)對任意實數x 恒成立，故 f(x)1 是“超導函

17、數”. (4 分) (注：答案不唯一，必須有證明過程才能給分，無證明過程的不給分) (2) 證明： f(x)g(x)h(x)， f (x)g(x)h(x)g(x)h(x)， f(x)f(x)g(x)h(x)g(x)h(x)g(x) h(x) g(x)g(x) h(x)h(x)g(x)h(x)函數 g(x)與 h(x)都是“超導函數”，不等式 g(x)g(x)與 h(x)h(x)對任意實數x 都恒成立，故 g(x)g(x)0，h(x)h(x)0，而 g(x)與 h(x)一個在 r 上單調遞增，另一個在r 上單調遞減，故g(x)h(x)0，由得f(x)f(x)0 對任意實數x 都恒成立， 函數 f

18、(x)g(x)h(x)是“超導函數”(10 分) (3) 解： (1)e， 方程 ( xln x)exln x可化為（ xln x）exln x（1）e1，設函數 g(x)（x）ex，xr，則原方程即為g( xln x)g(1). y (x)是“超導函數”， (x) (x)對任意實數x 恒成立， 而方程 (x)(x)無實根，故 g(x)（ x） （x）ex0 在(0， )上恒成立，故 h(x)在(0， )上單調遞增，而 h1e21e210，且函數 h(x)的圖象在1e2，1e上連續不間斷，故 h(x)x1 ln x 在1e2，1e上有且僅有一個零點，從而原方程有且僅有唯一實數根(16分) 20

19、19 年普通高等學校招生全國統一考試(江蘇省 )模擬試卷 (三) 21. a. 解： 由題意得m00n10110，m00n01201，所以m1，n2，故 a1002.(10 分) b. 解： 曲線 c： 2sin 化為普通方程為x2y22y，即 x2(y 1)21，曲線 c是以 (0，1)為圓心， 1 為半徑的圓(1 分) 由題可知直線l 的斜率存在， 設直線 l 的方程為 ykx， 則圓心到直線l 的距離 d11k2.(4分) ab 2r2d2，32111k2，即 k23，解得 k 3， 直線 l 的方程為y 3x.(10 分) c. 解： 當 x 2時，不等式化為(2x) x(x2)2，解得 3 x 2；(3 分) 當 2x2 時，不等式化為(2x)x(x2) 2，解得 2