1、專題20平面向量的數量積【知識光背】護夯實基礎知識，掌握基本技能一、基礎知識：（一）所涉及的平面向量定理及數量積運算法則：ur itr1、平面向量基本定理：若向量 ei,e2為兩個不共線的向量，那么對于平面上任意的一個向量a，均存在唯一一對實數1, 2，使得auri eiit2e2。其中e）,e2成為平面向量的一組基底。（簡而言之，不共線的兩個向量可以表示所有向量）r rr2、向量數量積運算 a b a1 1:)cos ,其中為向量a, b的夾角3、向量夾角的確定：向量a, b的夾角指的是將a,b的起點重合所成的角，0,其中 0 :同向4、數量積運算法則：r r r r（1 ）交換律：a b

2、b a(2)系數結合律： a b aba b Rrr rrrrr(3 )分配律：abeacbc5、平面向量數量積的重要性質(1) e a= a e= |a|cos 0;(2) 非零向量 a, b, a丄b? ab = 0;(3) 當 a 與 b 同向時，a b=|a|b|;當 a 與 b 反向時， a b=-a a = a2, |a|= . a a;a b(4) cos社麗(5) |a b| 崗|b|.6、平面向量數量積有關性質的坐標表示設向量 a = (xi, yi), b= (x2, y2),貝U a b = xix2+ yiy2，由此得至U(1)若 a= (x, y)，則 |a|2= x

3、2+ y2 或|a|= x2 + y2.設 A(xi, yi), B(X2,y2)，貝U A、B兩點間的距離 |AB|= |AB|=,： X2-xi2+g yi設兩個非零向量 a,b, a = (xi,yi), b =(X2, y2)，則 a丄b?xix2 + yiy2=0.【技能點按】M融合知識方法，塑造解題能力.【20i9年高考北京卷文數】已知向量例1、（2018蘇州暑假測試）已知平面向量a = （2, 1）, a b= 10,若|a + b|= 5 -'2，則|b|的值是a = ( 4, 3) , b = (6, m),且 a b，貝U m=【答案】8【解析】向量a （ 4,3）

4、, b(6,m),ab,則 a b0, 4 6 3m 0, m 8.變式i、（20i9年高考全國III卷文數）已知向量 a(2,2), b ( 8,6)，則 cos；a,b【答案】_210/ , x a b I解析】coS a, b麗2.'22 228 2 6,(8)2 62210變式2、（20i7蘇北四市期末）已知非零向量a,b滿足|a|= |b|= |a+ b|,則a與2a b夾角的余弦值為【答案】、5i47【解析】、解法1因為非零向量1 1a, b 滿足 |a|= |b|= |a+ b,所以 a2= b2= a2+ 2a b + b2, a b= ?a2= ?b2,5所以 a (

5、2a b) = 2a2 a b= ga2,|2a b|= 2a b 2= 5a2 4a b= 7|a|,a 2a b cos a,2a b> =la2= 廠=筆=曲|a| |2a b| |a| 7|a| 2 714 .解法2因為非零向量a, b滿足|a|=|b|=|a+ b|,所以a, b>所以 a (2a b) = 2a2 a b = 2a2 |a| |b|cos2"n= 2 a2 ,32|2a b| = 2a b 2 =5 a2 4a b =5a2 4|a| |b|cos；n= 7|a|.以下同解法1.例2、（2019年江蘇高考）如圖，在 AABC中，D是BC的中點，

6、E在邊AB上，BE=2EA, AD與CE交于亠 uuu uuuujurLT -uuu點 O 右 AB AC 6AO EC，AB則竺的值是AC【答案】；3.交AB于點F，由BE=2EA，D 為 BC 中點，知 BF = FE=EA,AO = OD.【解析】如圖，過點 D作DF/CE，uur uur6AOgECuuur uuur3AD g ACuuuAEuuuABuuurACuuur g ACuurAEuuuABuurAC guurAC1 uuuAB33 uuu ABgACuuur1 uuu 2AB3uur 2 AC1 uuu uuur-ABgAC2 uuu uurABgAC1 uuu2AB3uu

7、ur 2ACuuu uurABgAC1 uuu 2AB23 uuur 23 AC2uuu uuurABgAC，1 uuu23 uur2得AB2uuu LAB V3uuur AC ,故ABAC 3.變式1、（ 2016江蘇卷）uur uur.如圖，在AABC中，D是BC的中點，E,F是AD上的兩個三等分點，BC CA 4 ,uuuBFuuuCFiuu uur1 ，貝y BE CE的值是【答案】78【解析】因為uuu uuu 1 uuuBA CA （丄 BC2uuur1 uuurAD） gBCuur AD） =uuur 24ADuuu 2BCuuu2 uuu236FD BCuur uuu BF C

8、F1 uuu 1 uuur 1 uur 1 uur BC AD）（ -BC AD）2 323uuu2 uuu24FD BC4UUU25 UIU213 uuu uuu因此 FD ,BC , BE CE8 27 aD gE me 山B1 - 22WDS F6變式2、（2017南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調）如圖，在平面四邊形 ABCD中，0為BD的中點,且 0A = 3,0C= 5.若 AB【答案】【解析】、BC dc =（0C- 0B）（0C0D）=（0c + 0D）（0c- 0D）= 0c2 od2,類似 AB Ad = ao2 od2=-7, 所以 BC DC = OC2-OD2

9、= OC2- AO2- 7 = 9.思想根源極化恒等式:a+ b22.在 AABC 中，若 M 是 BC 的中點，貝U AB AC = AM2- MC2.其作用是：用線段的長度來計算向量的數量積.例3、（2019鎮江期末）已知ABC是邊長為2的等邊三角形，點 D, E分別是邊AB , BC的中點，連結DE并延長到點F，使得DE = 3EF，則AF BC的值為1 【答案】、;.【解析】、解法1（基底法）連結AE.因為AABC為正三角形，E為BC的中點，所以AE丄BC.所以AF BC =（AE + EiF） BC = AE BC + eF BC = eF BC.由題知 EF = ；Dl = ；AC

10、，所以 AF BC = ；AC BC =>2 Xcos60 °= 3.解法2(向量法)建立如圖所示平面直角坐標系，A(0,3), B( 1 , 0), C(1 , 0), D 2， j，E(0, 0),設點 F(xo, yo)由 DE = 3EF 得DE = 3詐，故 2,乎=3(xo,yo),故 xo= 6"0=一*3,所以= g， 了；?, 故AF BC = 6，爭(2, 0) = g.變式 1、（2018 南京學情調研）在 ABC 中，AB = 3, AC = 2,/ BAC = 120° BM =就若AM BC =乎，3則實數入的值為.【答案】、 1

11、3【解析】、解法1（基底法）因為AM = AB + BM = AB + ABC = AB +入（C AB） = ?Ao + （1 入AB，所以AM （BC = 4C + （1 入 AB （AC AB ）=入AC |2 + （入一1）|AB f + （1 2 入 AB -AC = 4 入+ 9（入一1） + （1 1712 入）X 2 XCOSK20 = 19 入12= 3，解得入=3解法2（坐標運算法）建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意有,A(0,0) ,B(3,0) ,C( 1,3)，設點 M 的坐標為(x, y)，則(x 3 ,y)=入1 3，3)，即x= 3 4 人y = -3入，故

12、AM BC = （3 4 入，'弓入）一（，勺=19 入一12= 17,解得 A= 13 3變式2、（2018南通、泰州一調）如圖，已知矩形 ABCD的邊AB = 2, AD = 1點P, Q分別在邊BC , CD上，且/ PAQ = 45°則AP AQ的最小值為0), D(0 , 1) AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系,則 A(0 , 0), B(2,設/ PAB = B,則 AP = (2, 2tan B,) AQ = tan 才_ B , 1 , OWan B 寺nn2 ( 1tan因為 AP aq = (2 , 2tan B ) tan 一一

13、B, 1 = 2tan 一一 B + 2tan B=F 2tan =4 41 + tan B一4+ 2ta nB 2=1 + tan B1 +爲J2(tan +1)-4>42-4,當且僅當tan = 2- 1時，"成立，所以的最小值為4 2-4.變式3、(2019蘇錫常鎮調研)在ABC中，已知 AB = 2, AC = 1，/ BAC = 90° D, E分別為BC , AD的中點,過點 E的直線交AB于點P,交AC于點Q,則BQ CP的最大值為【答案】【解析】(坐標法)以A為原點，AB為x軸，AC為y軸建立平面直角坐標系如圖所示，則A(0 , 0), B(2,0),

14、 C(0, 1), D 1, 1 , E 11沌.Ap、B j.設 P(p, 0), Q(0, q)，則 p>0, q>0,且直線 PQ: x +y = 1,因為點 E 在直線 PQ 上，所以 1 + 1 = 1, BQ Cp P q2p 4q=(2, q) (p, 1)=_ 2p_ q= ( 2p_ q) J + J=_ 5 ； + PW 5 2q xP =_ 9，當且僅當q =2p 4q 42p 2q 42p 2q 42p2q,即P = q= 4時取=”所以盹丘的最大值是-4.【賣戡渥練】同步即學即練，實時鞏固新知1、 (2017無錫期末) 已知向量a= (2,1), b= (

15、1, 1),若a b與ma+ b垂直，則實數m的值為.1 【答案】、14【解析】、根據向量a, b的坐標可得a b= (1,2), ma+ b = (2m +1, m 1)，因為(a b)丄(ma+ b)，所以(a1b) (ma + b) = 1&2m+ 1)+ 2>(m 1)= 4m 1 = 0，故 m=-42、 (2016蘇北四市摸底).已知|a= 1, |b= 2, a + b= (1，物,則向量a, b的夾角為.2 【答案】、 2 n【解析】、因為a + b = (1,、2)，所以|a + b|= Q3,兩邊平方得 a2 + 2a b + b2 = 3，將|a|= 1,

16、|b|= 2代入得1+ 2a b+ 4= 3，從而 a b= 1,所以 cosa, b>=霍廠一1，而a, b 0, n,所以a, b>= 3n,|a|b|23即向量a, b的夾角為2 n.33、(2019南京學情調研)在菱形 ABCD中，/ ABC = 60° E為邊BC上一點，且AB AE = 6, AD AE = ,則Ab ad的值為.【答案】、92【解析】、設BE = zAD，且菱形的邊長為 x，則AE = AB + A5, AB Al = AB (ab + 曲)=x2 px6,AD aI = Ad (AB + ZAD) = ；x2+ 入 X=；，解得 x2= 9

17、,所以 AB AD = x2cos120 =；4、 (2019蘇北三市期末) 在AABC中，AB = 2, AC = 3, / BAC = 60 ° P為AABC所在平面內一點， 滿足CP =3pB+ 2PA，則 CP Ab 的值為.【答案】、1【解析】、因為Cp= 2PB + 2PA,所以Ap Ac = 2(AB AP) 2AP,解得Ap =+ |ac ,故CP ab = (Ap 2239->->1 - >2 >- >1 - > 27 - > - >47AC) AB =3AB +9AC ACAB = 3AB29AC AB = 3仝左&

18、gt;3>Cos60°=1.5、 (2019蘇北三市期末)在AABC中，AB = 2, AC = 3, / BAC = 60 ° P為AABC所在平面內一點， 滿足CP=3昆+ 2pA，則CP Ab的值為.【答案】、1解法1(坐標法)以A為原點，AC為x軸正方向建立平面直角坐標系，貝UA(0 , 0), B(1 , 3), C(3, 0),設 P(x,y).由CP = 2pB + 2PA得(x 3,y) = ；(1 x,3 y) + 2( x, y)，得 x = 1,y = 33 所以 P 1, j ,CP AB = 2, ¥ (1,問=2+ 1 = 1.3解法2（基底法）因為 Cp= ；PB+ 2pa,所以 Ap Ac = 3(ab Ap) 2AP,解得Ap = ；ab + £ac ,故Cp ab = (Ap AC) ab =3Ab + 9AC AC Ab = ；AB2- 9AC Ab = ；- 7& X3 xcos60 °= 1.6、（2018蘇州期末） 如圖，ABC為等腰三角形，/ BAC = 120 ° AB = AC = 4，以A