1、一、濾波器的功能 濾波器的功能是對輸入信號進行濾波以增強所需信號部分，抑制不要的部分。二、模擬濾波器（AF）是指輸入輸出均為模擬信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。10.1 引言第1頁/共72頁三、數字濾波器（DF）是指輸入輸出均為數字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。)()()(zHeHnhaj( )x n( )y n)(zX)(jeX)(jeY)(zY)()()(sHjHthaaa)(sX)( jX)( jY)(sY( )x t( )y t第2頁/共72頁 四、濾波器分類 四種基本濾波器為低通

2、（LP）、高通（HP）、帶通（BP）和帶阻濾波器（BRF）：第3頁/共72頁數字濾波器分類低通高通帶通帶阻)(jeH)(jeH)(jeH)(jeH22222222第4頁/共72頁 五、用數字濾波方法處理模擬信號 六、主要內容 AF的設計 DF的設計限帶濾波A/D數字濾波D/A平滑濾波Xa(t)PrFADCDSPDACPoFYa(t)第5頁/共72頁10.4 模擬濾波器的設計n模擬濾波器n巴特沃斯 Butterworth 濾波器n切比雪夫 Chebyshev 濾波器n頻率響應特性n及性能指標n系統函數第6頁/共72頁jjH111jH20ps一、實際模擬低通濾波器的特性1：通帶內允許誤差2ps：阻

3、帶衰減：通帶截止頻率：阻帶截止頻率 jHlg20p1s2第7頁/共72頁二、2*()()()aaaHjHjHj( )()aasjHs Hs 2()aHj( )aHs()()aaHjHj Ha(s) Ha(-s)的零極點分布 222sajH第8頁/共72頁（1） 的極點在s平面的左半平面； 的原則的零極點sHsHsHaaa確定( )aHs（2） 的零點在s平面的左半平面；( )aHs（3）虛軸上的零點取一半；（4）系數為原系數開平方根。第9頁/共72頁2222216(25) ()( )(49)(36)aaHjHs已知幅度平方函數：，求系統函數例：解：222 222216(25)( )()()(4

4、9)(36)aaassHs HsHjss 7, 6ss 極點：零點： （二階）5sj 零點：5sj 7, 6ss 的極點：( )aHs2224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss第10頁/共72頁三、Butterworth濾波器1、逼近函數：221()1aNcHj稱c為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬N為濾波器的階數c為通帶截止頻率第11頁/共72頁2.幅頻特性221()1aNcHj20()1aHj n c 通帶內幅度特性平坦，單調減小； c 過渡帶及阻帶內快速單調減小； 當s（阻帶截止頻率）時，衰減的2為阻帶最小衰減N越大，越接近理想特性第12頁/共72頁

5、Butterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：22/1()( )()1aaaNs jcHjH s Hssj 3.幅度平方函數的極點分布：第13頁/共72頁 極點在s平面呈象限對稱，分布在Buttterworth圓上， 共2N點;極點間的角度間隔為/ N rad 極點不落在虛軸上，前N個極點落在s平面的半平面 N為奇數，實軸上有極點，N為偶數，實軸上無極點Ha(s) Ha(-s)的零極點分布(a) N=3 (三階） (b)N=4 （四階）第14頁/共72頁4、濾波器系統函數Ha(s) 的確定：第15頁/共72頁1( )()NcaNkkHsss121221,2,.,kjNkcsekN c

6、kkcssss, 1.11H1111sasasasssNNNNNkka則：第16頁/共72頁Ha(s) 的確定的方法：方法一：直接求取方法二：根據N查P186表101，得 ，1( )()NcaNkkHsss H sa ssaaHHssc第17頁/共72頁5、Butterworth濾波器設計步驟：n(2)根據 求出濾波器階數N：12psn(1)確定技術指標：第18頁/共72頁n(3)根據阻帶衰減 確定 ： H sa ssaaHHssc(4)根據N查P186表101，得 ，第19頁/共72頁N：濾波器的階數c ：截止頻率，不一定為3dB帶寬0e1，表示通帶波紋大小，e越大，波紋越大TN(x) ：N

7、階Chebyshev多項式Type I Chebyshev四、Chebyshev濾波器1、逼近函數：第20頁/共72頁切比雪夫多項式特點： (1)當|x|1時，|TN(x)|1,在|x|1時，TN(x) 隨x單調上升; (3) (4) 偶，奇NNTTNN1,00,11 偶，偶函數奇奇函數為NNxTN,第21頁/共72頁2、幅頻特性：第22頁/共72頁，N為偶數2( 0)1/ 1aHje，N為奇數( 0)1aHjn 2()1/ 1caHje n 通帶內：在1和 間等波紋起伏c 21/ 1en 通帶外：迅速單調下降趨向0c （1）（2）（3）（4）第23頁/共72頁 3.幅度平方函數的極點分布：2

8、221()( )()1()aaasjNcHjHs HssCje2211()0()NNccssCCjjjee 1,2,.2kN令：第24頁/共72頁記：則： 極點不落在虛軸上，前N個極點落在s平面的左半平面 極點在s平面呈象限對稱，分布在橢圓上，共2N點第25頁/共72頁其中：所以：4、濾波器系統函數Ha(s) 的確定：第26頁/共72頁ckkcssss,令： 0111111.2121HasasassssNNNNNkkNaee則：第27頁/共72頁Ha(s) 的確定的方法：方法一：直接求取方法二：根據N、 查P196表104，得 ， H sa ssaaHHssce第28頁/共72頁5、Cheby

9、shev濾波器設計步驟：n(3)根據 求出濾波器階數N：n(1)確定技術指標：n(2) 根據 確定 ：e第29頁/共72頁 H sa ssaaHHssc(4)根據N、 查P196表104，得 ，e第30頁/共72頁 設計思想： s 平面 z 平面模擬系統 數字系統( )( )aHsH zn設計步驟：n1、數字濾波器的性能指標 模擬濾波器的性能指標n2、設計模擬原型濾波器n3、n4、通過算法實現H(z) sHa zHsHa數字濾波器的10.6 無限沖激響應（IIR）數字濾波器第31頁/共72頁兩種設計方法：- 沖激響應不變法- 雙線性變換法1、原理數字濾波器的單位沖激響應h(n) 模仿模擬濾波器

10、的單位沖激響應ha(t)()(nThnhaT抽樣周期( )( )()( )( )aaaHsh th nTh nH z一、沖激響應不變法第32頁/共72頁1( )NkakkAHsss111kNks TkAez11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT( )( )nnH zh n z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez n系數相同：kAn極點：s 平面 z 平面kssks Tzek第33頁/共72頁2、穩定性與逼近程度1）、穩定性不變AF穩定:DF穩定：10ReTskkkezs2）、逼近

11、程度kakajTkjHTkTjjHTeH)2(1)2(1)(第34頁/共72頁1()jaH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez當T 很小時，數字濾波器增益很大，易溢出，需修正3、修正第35頁/共72頁4、設計步驟DF性能指標AF性能指標scp,scp, zH sHa（1）指標轉換（3）（2）設計AFkkTskssAzeTAk11T第36頁/共72頁2211( )4313aHsssss試用沖激響應不變法，設計IIR數字濾波器例：設模擬濾波器的系統函數為解：131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kN

12、ks TkTAH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz設T = 1s，則第37頁/共72頁1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj 第38頁/共72頁n優點：n缺點：n保持線性關系：=T線性相位模擬濾波器轉變為線性相位數字濾波器n頻率響應混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器nh(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應ha(t) 時域逼近良好5、優缺點第39頁/共72頁二、 雙線性變換法q 沖激響應不變法：時域模仿逼近缺點是產生頻率響應的混疊失真q 為了

13、克服這一缺點，采用雙線性變換法。q 使數字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似第40頁/共72頁 設計思想1、脈沖響應不變法的主要缺點：對時域的采樣會造成頻域的“混疊效應”，故有可能使所設計數字濾波器的頻率響應與原來模擬濾波器的頻率響應相差很大，而且不能用來設計高通和帶阻濾波器。原因：從S平面到Z平面的映射是多值映射關系脈沖響應不變法映射過程圖示 第41頁/共72頁TT，2、雙線性變換法的改進：為避免頻率的“混疊效應” ，分兩步完成S平面到Z平面的映射。 將S平面壓縮到某一中介的S1平面的一條橫帶域 通過標準的變換將此橫帶域映射到整個Z平面上去。雙線性變換的映射過程圖示 第42頁/共72

14、頁3、雙線性變換法的基本思路：從頻率響應出發，直接使數字濾波器的頻率響應 ，逼近模擬濾波器的頻率響應 ,進而求得H(z)。)( jH)(jeH “雙線性變換法”設計方法 通過Z變換： 將1映射到Z平面的單位圓上。 Tsez1TjTj,)2(1Ttg 通過正切變換：將S平面的j軸壓縮到S1平面的j1軸上的 內。TsTseeTstgs1111)2(1第43頁/共72頁 將S1平面按 映射到Z平面得到： Tsez1szz1111ssz11或11112zzTs1 令 或以保低頻處有較確切的對應關系：sTsTz222arctan2)2tan(2)2tan(21TTTT或第44頁/共72頁第45頁/共72

15、頁4、穩定與逼近情況01z（1）逼近情況s平面虛軸z平面單位圓（2）穩定情況01z01z左半平面單位圓內s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上,jez 令11112zzTs代入js令第46頁/共72頁5、優缺點 優點：避免了頻率響應的混迭現象2）雙線性變換后，頻率響應產生了畸變，但通帶阻帶仍為常數特性，不受影響，只是臨界頻率點產生畸變。1）線性相位模擬濾波器 非線性相位數字濾波器q 缺點：除了零頻率附近，與之間嚴重非線性第47頁/共72頁第48頁/共72頁預畸變給定數字濾波器的截止頻率 c，則按c設計模擬濾波器，正好映射到c為截止頻率的數字濾波器2tan2ccT第49頁/共72頁6、設計步驟

16、DF性能指標AF性能指標scp,stcp, zH sHa（1）指標轉換（3）（2）設計AF2tan2T11112zzTsPn161第50頁/共72頁10.7 有限沖激響應（FIR）數字濾波器n線性相位FIR濾波器的特點n窗函數設計法第51頁/共72頁IIR數字濾波器：可以利用模擬濾波器設計但相位非線性FIR數字濾波器： 可以嚴格線性相位因果穩定系統可用FFT計算但階次比IIR濾波器要高得多第52頁/共72頁 FIR濾波器的單位沖激響應：( )01h nnN10( )( )NnnH zh n z系統函數：在 z 平面有N 1 個零點在 z = 0 處是N 1 階極點 第53頁/共72頁一線性相位

17、特性1.無失真傳輸條件)()()()( :nknhnkxny時域jje)( : keH頻域)()(jkeH第54頁/共72頁2) 1()(N 10,1NnnNhnh nh2) 1(2)(N 10,1NnnNhnh單位沖激響應 為實數，且關于奇對稱或偶對稱,即21Nn2.獲取線性相位的條件第55頁/共72頁（1）h(n)偶對稱，N為奇數2/ )1(0)cos()(Nmmma10)21(cos)()(NngNnnhH)()()(jgjeHeH111(0)(),( )2 (),(1,2,.)222NNNaha nhnn其中:2) 1()(N第56頁/共72頁g第57頁/共72頁(2) h(n)偶對稱

18、，N為偶數其中， /2 10/2211( )2 ( )cos()212 ()cos()22NnNNnmmNHh nnNhmm 2/1)21(cos)(Nnnnb(0)0,( )2 (),(1,2,.)22NNbb nhnn)()()(jgjeHeH2) 1()(Ng第58頁/共72頁g第59頁/共72頁(3)h(n)奇對稱，N為奇數10(3)/201()( )sin()212 ( )sin()2NnNnNHh nnNh nn(1)/21( )sinNmc nn其中,11(0)0,( )2 ()(1,2,.)22NNcc nhnn)()()(jgjeHeH(1)( )22N g第60頁/共72頁

19、g第61頁/共72頁10)21(sin)()(NnNnnhH/2 1012 ( )sin()2NnNh nn/2112 ()sin()22NmNhmm(1)/211( )sin()2Nmd nm) 1()12(2)(, 0)0(nnNhndd其中：(4) h(n)奇對稱，N為偶數)()()(jgjeHeHg(1)( )22N 第62頁/共72頁g第63頁/共72頁一、設計思想 先給定理想filter的頻響 ，所要求設計一個FIR的filter的頻響為 ，使 逼近二、設計原理 設計是在時域進行的，先用傅氏反變換求出理想filter的單位抽樣響應 ，然后加時間窗對 截斷，以求得FIR filter

20、的單位沖激響應h(n)。)(jdeH)(jeH)e (Hj)e (Hjd)n(hd)(nw)n(hd)()()()(21)(nhnwnhdeeHnhdnjjdd7-3 窗函數設計法1022)(1)(MkknMjkMjddeeHMnh或第64頁/共72頁三、窗函數 1、基本概念（1）窗譜：窗函數的頻響的幅度函數亦稱作窗譜。（2）對窗函數要求 a）希望窗譜主瓣盡量窄，以獲得較陡的過渡帶，這 是因為過渡帶等于主瓣寬度。 b）盡量減少窗譜最大旁瓣的相對幅度，這樣可使肩峰 和波紋減少。 2、矩形窗 時域表達式： 頻域表達式（頻譜）：幅度函數：)()()(nwnRnwRN)21N( jRjRe )(W)e (W)2sin(/ )2Nsin()(WR主瓣寬度4/ N第65頁/共72頁3、三角形（Bartlett）窗時域表達式：)(nw21Nn0 ,1Nn21Nn21N,1Nn22121210