1、i. 行列式的定義 n階行列式unl an2其中p4p.為自然數(shù)12的一個排列m為這個排列的逆序數(shù)，求和符號 2 是對所有排列久“2仇求和.n階行列式d中所含/個數(shù)叫做d的元素，位于第i行第j列的元素知 叫做d的（i j）元.二階和三階行列式的計算適用對角線法則.2. 行列式的性質(zhì) （1）行列式d與它的轉(zhuǎn)置行列式dt相等.（2）互換行列式的兩行（列），行列式變號.（3）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)趴等于用數(shù)k乘此行列式;或者，行列式的某一行（列）的各元素有公因子虹則k可提到行列式記號 之外.（4）行列式中如果有兩行（列）元素完全相同或成比例，則此行列式為零.（5）若行列式的某一列

2、（行）中各元素均為兩項之和，則此行列式等于兩個 行列式之和.例如第j列«|al2(5+幾） 5%° 22丄（切+島) a 2”%（q町+此） °”第j列第j列a 12 s5”u 12a 5a2a22a2>+«2152 a2ja2h555a譏a”2 %如果這樣，就形象地稱為行列式按第j列拆成兩個行列式.（6）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）的對 應(yīng)元累上去，行列式的值不變.3. 行列式的按行(按列)展開(1) 把n階行列式中g(shù)j)元勺所在的第，行和第j列劃去后所成的并-1 階行列式稱為(d,j)元知的余子式，記作m”；記a

3、” = ( - 1)宀m”，稱a”為gj)元知的代數(shù)余子式.(2) n階行列式等于它的任意一行(列)的各元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和即可以按第2行展開:d = an a訂 + ai2 ai2 + + %a加(i = 1,2,皿)； 或者按第j列展開：+ a2ja2i + + afanj (j = 1,2, ，”)(3) 行列式中任一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘 積之和等于零即+ ai2af2 + +和+ a2ia2j + + aniani =ouj.4. 一些常用的行列式(1) 上、下三角形行列式等于主對角線上的元素的乘積即心2a22 =a2la22 %心1 5ii

4、«22 a”(未標明的元素均為零，下同).特別,對角行列式等于對角線元素的乘積，即“b八（未標明的元素均為零下同）.= aha22 amiij特別,對角行列式等于對角線元素的乘積，即內(nèi)容提要1. 矩陣的定義與記號mx”矩陣，記作a或awxw.矩陣的第i行、第j列元素稱為該矩陣的 （fj）元；以知為（f,j）元的矩陣記作（知）或（知）八”.n階矩陣（或稱n階方陣），記作a或a”列矩陣（或稱列向罐），常用a,a, x表示;行矩陣（或稱行向量），常用at,at,xt表示.零矩陣，記作o或o,對角陣也記作deg（右，“，"單位陣，記作 e或&如同教材的約定一樣，本書中的矩陣

5、除特別說明者外，都指實矩陣，即矩陣的元素都是實數(shù).設(shè)a = （a0）,b = （6y）是兩個?n x n矩陣，如果ai=切、i = ,2,，山=1,2,，n , 那么稱矩陣a與b相等，記作a = b.2. 矩陣的運算及運算規(guī)律(1) 矩陣的加法滿足：(1) a +b=b +a;(ii) (a + b) + c=a + (b + c).(2) 數(shù)乘矩陣滿足(其中a,r)：(i) 入s)= (“)a;(ii) (a + /z)a = aa + jua;(iii) a(a + b) = aa + jib.(3) 矩陣與矩陣相乘滿足(設(shè)運算都是可行的)：(i) (ab)c= a(bc);(ii) a(

6、b + c) = ab +ac,(a+ jb)c = ac + bc;(iii) (aa)b = a(ab) = a(ab).矩陣的乘法不滿足交換律若方陣a與b滿足ab = ba,則稱方陣a與b 是可交換的.當ab = 0時，a與b可以都不是零矩陣.(4) 矩陣的轉(zhuǎn)置滿足：(i) (at)t = a;(ii) (a + b)t = at + bt;(iii) (aa)t = aat;(iv) (ab)t = btat.若方陣a滿足at = at則稱a為對稱陣a = (切)”為對稱陣的充要條件 是知=a”( i, j = 1,2,，力)(5) 方陣的幕a*和方陣的多項式.設(shè)p(入)=a0 + &

7、#171;| a + + amkm為入的加次多項式，記(p(a ) = a0e + a + + aman ,卩(a)稱為方陣a的加次多項式.方陣的無和多項式滿足：(i) a% = a.,(aj' = a"()mz)；(ii) 設(shè)卩(a),/(a)是a的兩個多項式，則<p(a)f(a) = f(a)<p(a) 因此,方陣的多項式可以像數(shù)的多項式一樣分解因式.(6) 方陣的行列式滿足：(1) iat| = |a|；(ii) |aaj=a"|aj;(iii) |ab| = |4|b| 3. 逆矩陣(1) 定義 對于方陣a若有方陣使ab = ba = e,則稱矩

8、陣a是可逆的，b稱為a的逆陣，并記為b = a l.(2) 方陣a可逆少iaihou存在方陣使ab = eu存在方陣使ba = e(3) 逆陣的性質(zhì)(i) 若a可逆，則a"也可逆，且(ay定義與記號初等行變換(匚一p/xb匚+硏)，矩陣a與b行等價，記為a-b;初等列變換(c嚴c, q x怡，c” +如)，矩陣a與b列等價，記為a-b; 初等變換，矩陣a與b等價，記為ab矩陣a的行階梯形、行最簡形、標準形f =(£r °),這里廠是a的秩. o oi 初等變換的性質(zhì)及應(yīng)用(1)定理1 a丄b呂存在可逆矩陣p,使pa = b;a-b<存在可逆矩陣q 使aqb推

9、論方陣a可逆 = a;(ii) 若a可逆，則人丁也可逆，且(at)t = (a“)t；(iii) 若a可逆mho,則ka也可逆，且(也尸二卜八；(iv) 若a9b均可逆，則ab也可逆，且(4) 伴隨矩陣方陣a的伴隨陣a 定義為a=(aj其中a“是行列式|a|中(i,j)元的代數(shù)余子式.j 伴隨陣具有下述性質(zhì)：(i) aa，=4-a=|a|e;(ii) 若iaiho,則 a"二丄，a，=|a|a'ia i： ,4. 分塊矩陣、： i用一些橫線和豎線把矩陣分成若干小塊，這種“操作”稱為對矩陣進行分塊； 矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣,分塊矩陣在運算時， 可以把

10、每個小塊看做“數(shù)”來運算.利用把矩陣按列(行)分塊，建立起矩陣與列(行)向址組的對應(yīng)這是第四章 中討論問題的基本方法.5 克拉默法則用矩陣語言敘述為：若方陣a的行列式i a i ho,則方程ax = b有惟一解x =* b (即 x = al b).i a i其中a 為a的伴隨陣.內(nèi)容提要(2)若(a,e) = (jb,p),則 p 可逆，且 pa = b. 若(a,e) e,p),則 a 可逆，且 p = a-1.若(a,b)：(e,x),則 a 可逆，且 x=a 'b3. 矩陣的秩(1) 定義 矩陣的k階子式矩陣a的秩定義為a中最高階非零子式的憫 數(shù)，記作r.(2) 定理2初等變換

11、不改變矩陣的秩.(3) r(a)=ra的行階梯形含廠個非零行 ua的標準形片=(4)矩陣秩的性質(zhì)(1) 0<r(awxn )cmin| m.n(ii) i?(at) = r(a);(iii) 若 ab,則 r(a) = r(b);(iv) 若 p,q 可逆，則 r(paq) = r(a); . .(v) max|k(4)tk(b)kk(a,b)<i?(a) + /?(b); 特別地，當為列向量b時,有r(a)wr(a)wr(a) + 1;(vi) r(a + b)cj?(a) + k(b);(vii) k(ab)<min|r(a),k(b)| (定理 7);(viii)若 a

12、i”“ = o,則 u(a) + k(b)<n (第四章例 13).4.線性方程組的i(1)基本定理71元線性方程組ax = d(i) 無解的充要條件是r(a)vr(a,b);(ii) 有惟一解的充要條件是r(a) = r(a.b) = fi;(iii) 有無限多解的充要條件是k(a)= k(a,6)<n.(2) 求解線性方程組的步驟(見教材).5. 重要定理為應(yīng)用方便，常把4中的基本定理分成兩個定理來敘述：定理4幾元齊次線性方程awxnx = o有非零解的充要條件是r(a)<n.定理5線性方程ax = b有解的充要條件是r(a) = r(a)把定理5推廣到矩陣方程，得定理6

13、矩陣方程ax = b有解的充要條件是r(a) = r(a9b). 定理7 若ak = b.則r(a)>r(b)維向量、向量組，久構(gòu)成的有序數(shù)組稱為并維向量，其中稱為n個有次序的數(shù)«,«2 這個向量的第，個分量記a與/分別稱為列向量與行向量，也就是列矩陣與行矩陣，并規(guī)定向量的運算 規(guī)則與矩陣相同教材約定:所論向量如未指明是列向量還是行向量，就當做是 列向量.二：若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組.一 個向量組可以含有限個向量，也可以含無限個向量,教材先討論含有限個向量的 向量組，再把所得結(jié)果推廣到含無限個向量的向量組.含有限個向量的向量組可以

14、構(gòu)成一個矩陣.2線性組合與線性表示.(1) 向量b能由向量組aqm，t線性表示<=>方程組xj a( + x2a2 + xmam = b(或記作ax= b)有解.0尺(叭山2，5)=尺(5,，_)(定理1,上章定理5).(2) 向量組e：b,b2,，bi能由向量組a：s，5,，線性表示o矩陣方程(q,o2 ,)x = (bl;b2»»bl)(或記作 ax=b)有解u存在矩陣kwx/ ,<=>k(a) = 1?(a,b).：(定理 2,上章定理 6)=>7?(b)<1?(a)(定理3,上章定理7)(3) 向量組a與向疑組b等價(能相互線性表

15、示)or(a) = r(b) = r(a)*3. 線性相關(guān)與線性無關(guān):向量組a：5，q2，a,”線性相關(guān)u齊次線性方程4叭+ x2d2 + xmam =0(或記作ax = 0)有非零解 . u>r(ai,a2,，)<加(定理4,占章定理4)4. 向量組線性相關(guān)性的重要結(jié)論除上列定理14而外，還有(i) 向量組al9-,am(?n2)線性相關(guān)的充要條件是存在某個向量a;(l< 使能由其余機-1個向量線性表示.(ii) 若向量組a，-, a,線性相關(guān)，則向蚩組尙，a,匕小，a”,，也線 性相關(guān).(iii) m個n維向蚩組成的向量組，當時一定線性相關(guān)(iv) 設(shè)向量組a：at，?

16、5線性無關(guān)，而向量組a,”線性相 關(guān)，則向量&必能由向量組a線性表示,且表示式是惟一的.5. 向量組的最大無關(guān)組與向量組的秩(1)定義與等價定義如果在向量組a中能選岀廠個向量5,衍，-，滿足(i) 向量組a0：at ,a2, ,or線性無關(guān)；(ii) 向量組a中任意r + 1個向量都線性相關(guān),那么稱向量組a。是向量組 a的一個最大無關(guān)組；最大無關(guān)組所含向鈕的個數(shù)r稱為向址組a的秩，記作 ra 只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組,規(guī)定它的秩為0等價定義:上述定義中的條件(ii)可改為(iii) 向量組a中任一向量都能由向量組a。線性表示.(2)只含有限個向j2的向量組a：at ,a2構(gòu)成矩

17、陣a = (fli ,a2),那么，矩陣a的最高階非零子式所在的列是向量組a的一個最大無關(guān)組, 矩陣a的秩等于向量組a的秩，即r（a） = r（a衛(wèi)2,，）=血因此，前述定理1、2、3、4中出現(xiàn)的矩陣的秩都可用向量組的秩代替.(3) 利用最大無關(guān)組和向量組的秩，可以把定理1、2、3推廣到含無限個向 蚩的向蚩組.6設(shè)元齊次線性方程組amxnx = 0的解集為s側(cè)r(a)-rs=n 解集s的一個最大無關(guān)組稱為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系設(shè)r(a) = r,-廠，知基】系含n - r個解向:設(shè)薊，爲，為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則其通解x = c| + c2§2 + + c”工（g ,cwr

18、）齊次線性方程組的解集s是非空集合,并且對向雖的線性運算封閉(即若 則右© +入2冬ws,其中a,a2為數(shù)j,故s是一個向量空間，稱為 齊次線性方程組的解空間./7.設(shè)非齊次線性方程組ax = b的一個特解為if，對應(yīng)的齊次線性方程ax = 0(也稱為非齊次方程組的導(dǎo)出組)的基礎(chǔ)解系為& ,，©,則非齊次方程的通解為x=耳"+ “§ + +(c,c”.rr ).8.向量空間. (1)設(shè)“為元維向量的集合，如果v非空，且v對于向：a的線性運算封 閉，那么”就稱為向量空間.向量空間w的最大無關(guān)組稱為w的基，向量空間v的秩ry稱為v的維數(shù)若 心=廠,則

19、稱v為/維向蜃空間.設(shè)r維向量空間v的一個基為辦，兒j，則任一向量v,總有惟一 的一組有序數(shù)aj,a2 , ,ar使有序數(shù)組右，入2,，兒就稱為向扯9在基齊丁2,中的坐標.(2)給定”維向量組a ：a( ,a2,%，集合l（5 宀，）二xf s + *q & ,ar i是一個向量空間，稱為由向量組a所生成的向量空間.向量組a與向魚組b等價qa組與£組所生成的向量空間相等.1. 向雖的內(nèi)積、長度、正交 (1)設(shè)九維向蚩yihj“丿+無2力+ z”=*ty,>2令x,y = htmx,y稱為向蚩x與y的內(nèi)積.(2) 非負實數(shù)ii x ii =vt77t稱為向蚩x的長度當ii

20、 x | = 1時，向雖x 稱為單位向扯x = ou> ii x | =0. 當x,j= 0時,稱向堡x與y正交零向量與任何向量都正交.2. 正交向量組一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組正交向量組一定線性無關(guān).施密特正交化過程：設(shè)向蚩組a：5，a2，6線性無關(guān)，令組a等價.設(shè)川維向勺，6是向量空間站(vur”)的一個基，如果珀,則向址組&2，,瓦為正交向量組，且與向量衍，件兩兩正交，且都是單位向雖，則稱它是v的一個規(guī)范正交基.3. 正交矩陣若n階矩陣a滿足ata=e,則稱a為正交矩陣.a 為正交矩陣<=>ata = e-da 可逆，且 yr' = at 0a

21、的行（列）向組是r”的規(guī)范正交基.4. 特征值與特征向雖（1）設(shè)a為n階矩陣，若有數(shù)入及非零列向值使則稱a是矩陣a的特征值冷為a的對應(yīng)于特征值入的特征向量.（2） a的72次多項式/(a) = i a - ae i =11 一入 a 12a2i ° 22 入稱為"階矩陣a的特征多項式j(luò)a-aei =0稱為特征方程，特征方程的根就是矩 陣a的特征值在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)n階矩陣a有n個特征值（重根按重數(shù)計算）.設(shè)右，"，九是”階矩陣a的n個特征值，則（i）a| + a2 +.+入” =alt + % + ann = tr a （稱為矩陣a的跡）；（ii）入i 入2入” =de

22、t a ;（iii）若入是a的一個特征值，p（入）=do +尙入+ amaw，則申（入）是矩 陣護（a）的特征值，這里卩(a) = a0e + aa + + amam ,(3) 設(shè)a是方陣a的特征值，則齊次方程(a - ae)x = 0的全體非零解就是方陣a的對應(yīng)于特征值入的全部特征向寸設(shè)兒“2,人是方陣a的r個特征值，對應(yīng)的特征向量依次為p2，p，如果右，入2,人各不相等，則pl，p2，p,線性無關(guān).5. 相似矩陣(1) 對于并階矩陣a和若存在可逆矩陣p,使p 'ap = b9則稱a與 相似把a化成b的變換稱為相似變換,p稱為這一變換的過渡矩陣.若矩陣a與b相似，則a與b有相同的特征

23、多項式，從而有相同的蒔征值.(2) 若矩陣a與對角陣相似(此時，稱矩陣a能(相似)對角化)，即若存在 可逆矩陣 p,使 p'1ap = a = diag(a1,a2,-,aw),則(i)入| ,入2,，入”是a的”個特征1rfi(ii) p的第個列向l&pj是a的對應(yīng)于特征值人的特征向蚩.由此可推知:矩陣a能(相似)對角化的充要條件是a有個線性無關(guān)的 特征向量.6. 對稱矩陣的對角化(1)對稱矩陣的性質(zhì):(i)對稱矩陣的特征值都是實數(shù); (ii)對稱矩陣的對應(yīng)不同特征值的特征向量正交;(iii) 給定對稱陣a，存在正交陣p,使p'ap = ptap = a = diag

24、(al,a2,-,aj.(2)對稱陣a對角化的步驟：(i)求出a的全部互不相等的特征值右，人，它們的重數(shù)依次為s】， sfg + + » = n);(ii)對每個£重特征值入，求方程(a-a.e)x = o的基礎(chǔ)解系，得s,.個線性無關(guān)的特征向量.再把它們正交化、單位化，得s(.個兩兩正交的單位特征向: 因si + + »= n，故總共可得5個兩兩正交的單位特征向量；(iii)用這n個兩兩正交的單位特征向筑構(gòu)成正交陣p,便有p lap = ptap = a 7. 二次型化標準形(1)二次齊次函數(shù)/*(工1，,工“)=aux| + + aunx + 2anxxx2 + + 2ai,nxw_lxn 稱為免元二次型.令呦=a“，a = (切)“”小=(