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1、第四章第四章 多自由度體系結構的地震反應多自由度體系結構的地震反應 4.1 概概 述述 4.2 多自由度體系的自由振動多自由度體系的自由振動 4.3 多自由度體系的振型分解法多自由度體系的振型分解法 4.4 多自由度體系的水平地震作用及效應多自由度體系的水平地震作用及效應 4.5 多自由度體系地震反應的時程分析多自由度體系地震反應的時程分析 4.1 多自由度體系的自由振動多自由度體系的自由振動一、多自由度體系的基本概念一、多自由度體系的基本概念1實際房屋的自由度:實際房屋的自由度:無限個無限個。簡化:簡化:有限自由度模型。有限自由度模型。2常用分析模型:常用分析模型:層間模型層間模型。每。每層
2、樓面、屋面可作為一個質點,層樓面、屋面可作為一個質點,墻柱質量則分別向上下質點集中。墻柱質量則分別向上下質點集中。圖圖4.1 4.1 層間模型層間模型計算簡圖計算簡圖 mnmim2m1X2(t)X1(t)Xg(t)Xi(t)Xn(t)二、兩自由度無阻尼運動方程的建立二、兩自由度無阻尼運動方程的建立以兩個自由度為例以兩個自由度為例圖圖4.2 4.2 兩個自由度的層間剪切模型計算簡圖兩個自由度的層間剪切模型計算簡圖 h2(b)(c)h1k2k1X1(t)-m2X2K2(X2-X1)K2(X2-X1)-m1X1k1X1(a)X2(t)m2m11質點的運動質點的運動1( )( )gx txt 2( )
3、( )gx txt 質點絕對加速度質點絕對加速度:1( )x t 質點相對加速度質點相對加速度:2( )x t ( )gxt 地面運動加速度地面運動加速度1111211221( )( )( )Sfffk xtkx tx t 恢復力恢復力慣性力慣性力2質點質點1的運動方程的運動方程110ISff 平衡方程平衡方程11121221( )()( )( )( )gm x tkkx tk x tm xt 質點質點1運動方程運動方程(4.1)220ISff 平衡方程平衡方程222( )( )Igfmx txt 慣性力慣性力221221( )( )SSffkx tx t 恢復力恢復力(4.2)2222212
4、( )( )( )( )gm x tk x tk x tm xt 質點質點2運動方程運動方程3質點質點2的運動方程的運動方程合并式(合并式(4.2)和()和(4.3),寫成矩整形式),寫成矩整形式1122112222212( )( )0( )( )0( )0( )0ggx tkkkx tmmx tkkx txtmmxt ( )( )( )gMx tKx tMI xt (4.3) (4.4) ( )( )( )( )gMx tCx tKx tMI xt 考慮阻尼時考慮阻尼時采用瑞雷阻尼假定采用瑞雷阻尼假定 01CaMaK無阻尼自由振動方程無阻尼自由振動方程 ( )( )0Mx tKx t (4.
5、5) 1122( )( )sin()( )x tXx ttx tX考慮兩自由度情況考慮兩自由度情況, 假定位移矢量假定位移矢量(4.6)三、多自由度體系的自振頻率三、多自由度體系的自振頻率 11222sin()sin()0XXMtKtXX 122()0XKMX (4.7)代入式代入式4.5 2()0KM (4.8)或或(4.9)212122222kkmk0kkm 展開展開221221221221212112()1222kkkkkkkkkmmmmmmm 222122121212()0kkkk kmmm m (4.10)(4.11)頻率方程頻率方程1 第一自振圓頻率,第一自振圓頻率,2 第二自振圓
6、頻率,第二自振圓頻率,頻率特征頻率特征112 /T 較大的為第一自振周期,較大的為第一自振周期,222 /T 較小的為第二自振周期,較小的為第二自振周期,11/2f 較小的為第一自振頻率,較小的為第一自振頻率,22/2f 較大的為第二自振頻率,較大的為第二自振頻率,1)體系的運動包含若干個頻率的振動體系的運動包含若干個頻率的振動.2)每一個頻率的振動有何特征?每一個頻率的振動有何特征?3)不同頻率運動之間的關系?不同頻率運動之間的關系?振型概念:對應某一自振頻率各質點位移間的關系振型概念:對應某一自振頻率各質點位移間的關系 122()0XKMX 頻率方程頻率方程2121211112XkkmXk
7、 1 X11、X122221212212XkkmXk 2 X21、X22特點:位移幅值的比值為常數特點:位移幅值的比值為常數四、多自由度體系的振型四、多自由度體系的振型1對應某一自振頻率各質點位移幅值的比值對應某一自振頻率各質點位移幅值的比值2121222222( )sin()( )xtXtxtX1111111212( )sin()( )xtXtxtX?位移比值仍為常數位移比值仍為常數21212121111112( )( )xtXkkmxtXk 21212121111112( )( )xtXkkmxtXk 2對應某一自振頻率各質點任意時刻位移的關系對應某一自振頻率各質點任意時刻位移的關系 12
8、112111221222( )( )( )sin()sin()x tx tx tXXttXX 1)多自由度運動方程的特點多自由度運動方程的特點耦聯的微分方程耦聯的微分方程; 2)質點的運動包含所有振型頻率質點的運動包含所有振型頻率 ; 3)各主振型之間具有關系?各主振型之間具有關系?3體系運動的組成:包含所有的頻率和振型體系運動的組成:包含所有的頻率和振型 2()0iiKMX (4.12)頻率方程頻率方程 2()0jjKMX (4.13) TjX左乘左乘(4.12) 2()0TijiXKMX (4.14)4振型的正交性:任意兩個不同頻率的主振型之間振型的正交性:任意兩個不同頻率的主振型之間存在
9、互相正交的性質存在互相正交的性質 2()0TjijXKMX TiX左乘左乘(4.13)(4.16) 22()0TjiijXMX式式(4.15) 式式(4.16) 振型關于質量矩整正交性振型關于質量矩整正交性(4.17) 0TijXMX 2()0TTTiijXKMX 轉置變換轉置變換 2()0TiijXKMX (4.15)同樣可得同樣可得 振型關于剛度矩整正交性振型關于剛度矩整正交性(4.18) 0TijXKX 進一步可得進一步可得 1TiiXMX 2TiiiXKX 振型規格化振型規格化 1TiiXMX 例例4.1 三層剪切結構如圖示,求該結構自振頻率和振型三層剪切結構如圖示,求該結構自振頻率和
10、振型解解: 36220001.501000131.201.21.80.61000.60.6600MkgKN mB 2321231235220231.5100115.57.5200.3511.613.5460014.531.346.1BKMBBBBBBBBBrad srad srad s 得得2,T 周期與自振頻率的關系周期與自振頻率的關系1230.4330.2020.136TsTsTs 可得可得結構的各階自振周期分別為結構的各階自振周期分別為為求為求第一階段型,將第一階段型,將 代入代入114.5rad s 2112579.51200012001484.660000600389.8KM 10.
11、3010.6481 同樣可得同樣可得 230.6762.470.6012.5711 第一振型第一振型第二振型第二振型第三振型第三振型1)體系的最大變形能)體系的最大變形能 maxmaxmax1( )( )2TUX tKX t 2)體系的最大動能)體系的最大動能 2max1( )( )2TEX tMX t 2TTXKXXMX maxdEU 3)能量守恒原理)能量守恒原理五、結構周期的計算五、結構周期的計算(一)基本周期的實用近似計算(一)基本周期的實用近似計算1能量法能量法對應第一振型,假定對應第一振型,假定 11KXFG 112111122211111nnnTiiiiiiiiiTnnniiii
12、iiiiiG XgG XgG uXKXXMXm XG XG u 2211111111222nniiiiiinniiiiiiG XG uTggG XG u 將質點的重力荷載視為水平力所產生的質點處將質點的重力荷載視為水平力所產生的質點處的水平位移的水平位移iui各層重力荷載為各層重力荷載為解:解:3211 9.89.81.5 9.814.72 9.819.6GkNGkNGkN 3323213219.824.544.1VGkNVGGkNVGGGkN將各將各樓層的重力荷載當做水平力產生的樓層剪力為樓層的重力荷載當做水平力產生的樓層剪力為例例4.2 用能量法求用能量法求4.1基本周期基本周期21112
13、22219.6 0.024514.70.04499.8 0.0613219.6 0.024514.70.04499.8 0.06130.424niiiniiiG uTG us 則將樓層重力荷載當做水平力所產生的樓層水平位移為則將樓層重力荷載當做水平力所產生的樓層水平位移為與精確解誤差為與精確解誤差為2%基本思想:用一個等效單質點體系代替原來的多質點基本思想:用一個等效單質點體系代替原來的多質點體系。體系。等效原則為:等效原則為:2等效質量法等效質量法1)等效單質點體系與原)等效單質點體系與原多質點體系的基本自多質點體系的基本自振頻率相等;振頻率相等;2)等效單質點體系自由)等效單質點體系自由振
14、動的最大動能與原振動的最大動能與原多質點體系的基本自多質點體系的基本自由振動的最大動能相由振動的最大動能相等。等。21max111()2niiiUmx 多質點體系按第一振型振動的最大動能多質點體系按第一振型振動的最大動能等效單質點體系的最大動能等效單質點體系的最大動能22max11()2eqeqUmx 1max2maxUU 212niiieqeqm xmx 0.25eqmml 0.40eqmml 連續質量體系彎曲型懸臂構連續質量體系彎曲型懸臂構剪切型懸臂構剪切型懸臂構彎、剪型懸臂結構介于前兩者之間。彎、剪型懸臂結構介于前兩者之間。11eqm 12eqTm 等效單質點體系的頻率等效單質點體系的頻
15、率 體系在等效質點處受單位水平力所產生的水平位移。體系在等效質點處受單位水平力所產生的水平位移。 例例4.3 用等效質量法求用等效質量法求4.1基本周期基本周期21222222000.024515000.044910000.06130.04493959niiieqeqm xmxkg 7.6%與與精確解的相對誤差為精確解的相對誤差為6123595 1.389 100.466Ts 在在單位質點下施加單位水平力產生的水平位移為單位質點下施加單位水平力產生的水平位移為3312611111800 101200 101.389 10kkm N 3頂點位移法頂點位移法基本思想:將懸臂結構的基本周期,用頂點位
16、移來表基本思想:將懸臂結構的基本周期,用頂點位移來表示,而該頂點位移為將結構重力荷載作為水平荷載作示,而該頂點位移為將結構重力荷載作為水平荷載作用在結構頂點所產生的假想頂點位移。用在結構頂點所產生的假想頂點位移。對質量沿高度均勻分布的等截面彎曲型懸臂桿對質量沿高度均勻分布的等截面彎曲型懸臂桿411.78mlTEI 將重力荷載作為水平荷載產生的頂點位移為:將重力荷載作為水平荷載產生的頂點位移為:48TmgluEI 11.6TTu 剪切型懸臂桿剪切型懸臂桿彎剪型懸臂桿彎剪型懸臂桿11.8TTu 11.7TTu 例例4.4 用頂點位移法求用頂點位移法求4.1基本周期基本周期 與精確解的誤差為與精確解
17、的誤差為3%11.8TTu 該結構屬于剪切型懸臂桿該結構屬于剪切型懸臂桿0.0613tum 10.0446Ts (二)求解結構體系自振頻率及振型的其它方法(二)求解結構體系自振頻率及振型的其它方法1廣義雅可比法廣義雅可比法 求解自振頻率及振型的問題歸結為求解式求解自振頻率及振型的問題歸結為求解式 KXMX (4.20) 中的特征值中的特征值 和特征向量和特征向量 的問題。的問題。 X 廣義雅可比法的基本思路是尋找合適的相似轉換廣義雅可比法的基本思路是尋找合適的相似轉換矩陣矩陣 和和 ,使,使 P Q 1i3PKQ 1inPMQ 于是特征值于是特征值 iii (i1 2n) , , , 由于變換
18、為相似變換,所得的特征值即為式(由于變換為相似變換,所得的特征值即為式(4.20)的特征值的特征值 P67、69、70例題例題2利用利用Matlab編程求解編程求解 212212200000000000000000000nKM 20KM 3矩陣迭代法(矩陣迭代法(stodola法)法)矩陣迭代法是首先假定振型形狀,經過迭代調整一矩陣迭代法是首先假定振型形狀,經過迭代調整一直到獲得滿意的結果,然后再確定自振頻率假定體系直到獲得滿意的結果,然后再確定自振頻率假定體系的剛度矩陣的逆矩陣的剛度矩陣的逆矩陣 存在,將其左乘式(存在,將其左乘式(4.20) 1K 11XKMX (a)令令 ,得,得 (b)
19、 1DKM 1DXX 式(式(b)就是迭代方程,式中矩陣就是迭代方程,式中矩陣 代表了結構代表了結構的所有動力特征,所以也叫動力矩陣。的所有動力特征,所以也叫動力矩陣。 D矩陣迭代法的迭代步驟如下:矩陣迭代法的迭代步驟如下:(1)先假定一個試探振型)先假定一個試探振型 (其中下標(其中下標1表示第一振型,上表示第一振型,上標標0表示初始迭代振型。將其代入式(表示初始迭代振型。將其代入式(b)得得 0111111DXXX (c)(2)一般說一般說 和和 是不一樣的(除非是不一樣的(除非 是真實是真實的振型)。再將的振型)。再將 代入式(代入式(b)得到得到 01X 11X 01X 11X 122
20、1111DXXX (d)其中其中 是第二次近似振型矢量是第二次近似振型矢量 21X(3)如果)如果 和和 間誤差滿足要求,則式(間誤差滿足要求,則式(d)中中的的 就是所求的特征值。如兩者誤差不滿足要求,就是所求的特征值。如兩者誤差不滿足要求, 則繼則繼續進行迭代??梢宰C明,該迭代過程最終將收斂于第一續進行迭代??梢宰C明,該迭代過程最終將收斂于第一振型。振型。 11X 21X 4.2 多自由度體系的振型分解法多自由度體系的振型分解法一、振型分解法基本概念一、振型分解法基本概念1思路:思路:利用各振型相互正交的特性利用各振型相互正交的特性,將原來耦聯的微分方,將原來耦聯的微分方程組變為若干程組變
21、為若干互相獨立的微分方程互相獨立的微分方程,從而使原來多自,從而使原來多自由度體系的動力計算變為若干個由度體系的動力計算變為若干個單自由度體系的問題單自由度體系的問題;2求解:求解:在求得了各單自由度體系的解后,再將各個解進行在求得了各單自由度體系的解后,再將各個解進行組合組合,從而可求得多自由度體系的地震反應。,從而可求得多自由度體系的地震反應。3兩自由度體系振型分解法兩自由度體系振型分解法1)坐標變換)坐標變換 1111221xtqt Xqt X 2112222xtqt Xqt X (4.21) 坐標變換坐標變換 和和 1xt 2xt 12、qtqt2)振型乘以組合系數疊加)振型乘以組合系
22、數疊加將實際位移按振型加以分解,故稱為振型分解法。將實際位移按振型加以分解,故稱為振型分解法。二、多自由度體系振型分解二、多自由度體系振型分解振型分解式振型分解式 xtXqt(4.22) 將質點地震作用下任一時刻的位移用其振型的線性組將質點地震作用下任一時刻的位移用其振型的線性組合表示合表示其中其中 12inxtxtx txtxt 12inqtqtq tqtqt 12nXXXX假定阻尼矩陣假定阻尼矩陣 可表示為可表示為 C 01CMK 01gMx tMKx tKx tMI xt 體系的運動方程體系的運動方程將將 代入上式,代入上式, TjX xtXqt TT01jjXMXq tXMKXq t
23、TTgjjXKXq tXMI xt (4.23) 并左乘振型矢量并左乘振型矢量 得得 考慮式(考慮式(4.23)左端第一項)左端第一項 Tj12Tj1ininXMXq tqtqtXMXXXqtqt TT1ij1jiTnjnXMXqtXMXqtXMXqt TjjjXMXqt 利用振型正交性利用振型正交性類似地,可推得:類似地,可推得: TjTjjjT2jjjjXKXq tXKXqtXMXqt T01jT201jjjjXMKXq tXMXqt 將上述各式代入式(將上述各式代入式(4.23),), TjjXMX 22j01jjjjjgq tq tq txt (4.24) 并除以系數并除以系數 得得式
24、中式中 Tnnj2jijiijiTi1i1jjXMIm Xm XXMX (4.25) 稱為稱為 j 振型參與系數振型參與系數令式(令式(4.24)中)中 201jjj2 (4.26) 則式(則式(4.24)可改寫成)可改寫成 2jjjjjjjgqt2qtqtxt (4.27) 121221022212 2211122212 (4.28) 稱為對應于第稱為對應于第 振型的振型阻尼比,系數振型的振型阻尼比,系數 及及 可通過體系第一振型及第二振型的頻率及阻尼比確定可通過體系第一振型及第二振型的頻率及阻尼比確定 。j 0 1 j已解耦的第已解耦的第j個廣義坐標的運動方程個廣義坐標的運動方程 依次取依
25、次取 ,可得可得n個獨立的微分方程,個獨立的微分方程,即在每一個方程中僅含有一個未知量即在每一個方程中僅含有一個未知量 ,從而,可從而,可運用單自由度體系的求解方法,求得運用單自由度體系的求解方法,求得1 2nj , , , jqt 12,nqtqtqt將求得的各廣義坐標將求得的各廣義坐標 代入式(代入式(4.22),), xtXqt jqtj 可求得各質點的位移可求得各質點的位移 1, 2,ixtin 比較單自由度情況比較單自由度情況2( )2( )( )( )gx tx tx txt (4.27) 2jjjjjjjgqt2qtqtxt 第第j振型位移反應表達式振型位移反應表達式 nnijj
26、ijjjij1j1xtqt Xt X (4.29) 令令 阻尼比為阻尼比為 ,自振頻率為,自振頻率為 的的單自由度體單自由度體系系的位移反應,對比式(的位移反應,對比式(4.27),可知第),可知第j振型的解即位振型的解即位移反應移反應 ,而,而i 質點的位移反應為質點的位移反應為 jt jjtjq j j 式(式(4.25)中的)中的 稱為第稱為第j振型的參與系數,它滿振型的參與系數,它滿足下式足下式 j njjij1X1 (4.30) P76有證明有證明三、多自由度體系地震反應振型三、多自由度體系地震反應振型分解法的求解步驟分解法的求解步驟1)求體系的自振頻率和振型。)求體系的自振頻率和振
27、型。2)計算振型參與系數)計算振型參與系數 。j 3)求解耦的各階單自由度體系的廣義坐標。)求解耦的各階單自由度體系的廣義坐標。( )jq t4)按振型疊加原理計算各質點的位移:)按振型疊加原理計算各質點的位移:( )( )11 ( )( )( )nnjjjjjjjx tXq tXt 4.3 多自由度體系的水平地震作用及效應多自由度體系的水平地震作用及效應 適合于工程抗震設計的方法:適合于工程抗震設計的方法:簡單、實用;簡單、實用; 需要的關鍵參數:需要的關鍵參數:各質點反應的最大值;各質點反應的最大值; 簡化分析方法:在振型分解法的基礎上,結合運簡化分析方法:在振型分解法的基礎上,結合運用單
28、自由度體系的反應譜理論,推導出用單自由度體系的反應譜理論,推導出實用的振實用的振型分解反應譜法;型分解反應譜法; 在某些特定的條件下,還可推得更為簡單實用的在某些特定的條件下,還可推得更為簡單實用的底部剪力法。底部剪力法。一、振型分解反應譜法一、振型分解反應譜法 多自由度體系的水平地震作用可用各質點所受的慣多自由度體系的水平地震作用可用各質點所受的慣性力來代表,故質點性力來代表,故質點i i上的地震作用為上的地震作用為 iigiFtmxtxt 由式(由式(4.304.30) , 可寫成可寫成 gxt njjij1X1 nnggjj igjj ij1j1xtxtXxtX nijjjij1xtt
29、X (4.334.33) 而由式(而由式(4.294.29) nnijjijjjij1j1xtqt Xt X 可知可知從而從而 nniijj igjjij1j1F tmXxttFt (4.344.34) 式中式中 jiijjigjFtmXxtt (4.354.35) 稱為對應于第稱為對應于第j振型質點振型質點i的水平地震作用的水平地震作用 相當于單自由度的地震反應相當于單自由度的地震反應利用單自由度反應譜利用單自由度反應譜 maxgjjiijjimaxxttFGXg (4.364.36) ?單自由度時定義地震影響系數?單自由度時定義地震影響系數 gjjm axxttg (4.374.37) 即
30、為對應于即為對應于j j振型自振周期為振型自振周期為 的單的單自由度體系的地震影響系數,可按自由度體系的地震影響系數,可按單自由度體系的地單自由度體系的地震影響系數確定震影響系數確定。j jj2T maxjijjjiiFX G (4.384.38) 對應于第對應于第j j振型質點振型質點i i的最大地震作用為的最大地震作用為 利用規范給出的反應譜曲線,可方便地求得對應于利用規范給出的反應譜曲線,可方便地求得對應于某一振型各質點的最大地震作用所產生的作用效應某一振型各質點的最大地震作用所產生的作用效應 (彎矩、剪力、軸力、位移等)彎矩、剪力、軸力、位移等)jSn2jj1SS (4.394.39)
31、 各振型產生的地震作用效應各振型產生的地震作用效應 S S為總的地震作用效應,為總的地震作用效應, 為對應于第為對應于第j j振型該處結振型該處結構的地震作用效應。構的地震作用效應。jS 當某一振型的地震作用達最大值時,其余各振型的當某一振型的地震作用達最大值時,其余各振型的地震作用不一定也達到最大。從而結構地震作用的最大地震作用不一定也達到最大。從而結構地震作用的最大值并不等于各振型地震作用最大值之和根據隨機振動理值并不等于各振型地震作用最大值之和根據隨機振動理論,近似地取論,近似地取“平方和開方平方和開方”。振型的地震組合時振型反應數的確定振型的地震組合時振型反應數的確定 結構的總地震反應
32、以低階振型為主,高階振型的結構的總地震反應以低階振型為主,高階振型的影響較?。河绊戄^?。?1 1)一般情況下,可取結構前)一般情況下,可取結構前2 23 3階振型進行組合,階振型進行組合,但不多于結構自由度;但不多于結構自由度; 2 2)當結構基本周期大于)當結構基本周期大于1.51.5s s或高寬比大于或高寬比大于5 5時,可時,可適當增加。適當增加。例題分析例題分析例題例題4.5 三層框架結構,假定橫梁剛度無窮大,兩柱截面三層框架結構,假定橫梁剛度無窮大,兩柱截面相同,各層重量及三個振型及對應的周期如圖相同,各層重量及三個振型及對應的周期如圖4.34.3所所示,設防烈度為示,設防烈度為7
33、7度度,類場地設計地震動分組為第二類場地設計地震動分組為第二組,組, ,結構阻尼比,結構阻尼比 為為0.050.05,試用振型分解,試用振型分解反應譜法求水平地震作用下框架梁的彎矩。反應譜法求水平地震作用下框架梁的彎矩。0.3gTs 500500500G3=2700kNT2=0.2086T1=0.46651/3T3=0.13482/31G2=2700kNG1=1800kN2/311/42/3-1-3/4圖圖4.3三層框架各層的重量和振型三層框架各層的重量和振型 解解 查第五章表查第五章表5.55.5和地震影響系數曲線(圖和地震影響系數曲線(圖5.25.2)則對)則對于第一振型于第一振型1max
34、0.46650.08gTT 0.90.9g1max1T0.30.080.054T0.4665 地震影響系數地震影響系數 Tnnj2jijiijiTi1i1jjXMIm Xm XXMX 第第j j振型參與系數振型參與系數第一振型參與系數第一振型參與系數 1222211800127002700331.36421180012700270033 對應第一振型的地震作用對應第一振型的地震作用 1 max111iiiFX G 1 3i 1110.054 1.364270066.3kN3F 121320.054 1.3642700 132.6kN30.054 1.364 1 1800 132.6kNFF 對
35、應第二振型的地震作用對應第二振型的地震作用20.10.20860.3gsTsTs2max0.08 2222221800 ( 1)27002700330.429221800 ( 1)2700270033 212F0.080.429270061.8kN3 222F0.080.429270061.8kN3 23F0.080.4291180061.8kN2 max222iiiFX G 1 3i 對應第三振型的地震作用對應第三振型的地震作用30.10.13480.3gsTsTs3max0.08 322213180027002700 1440.42913180027002700 144 323F0.080
36、.26270042.1kN4 331F0.080.2618009.4kN4 31F0.080.26 1270056.2kN 3 max333iiiFX G 1 3i 根據各振型的地震作用,可求出各振型地震作用根據各振型的地震作用,可求出各振型地震作用下框架的彎矩如下框架的彎矩如4.44.4所示所示 ;按平方和開方的組合原則,;按平方和開方的組合原則,可求得各振型組合后框架彎矩圖,如圖可求得各振型組合后框架彎矩圖,如圖4.54.5所示所示第一振型彎矩第一振型彎矩第二振型彎第二振型彎矩矩第三振型彎矩第三振型彎矩各振型組合彎矩圖各振型組合彎矩圖 二、底部剪力法二、底部剪力法( (尋求更為簡便的適合設
37、計的方法)尋求更為簡便的適合設計的方法) 1適用條件:適用條件:結構的質量和剛度沿高度分布比較均勻;結構的質量和剛度沿高度分布比較均勻;房屋的房屋的總高度不超過總高度不超過40m;建筑結構在地震作用下的建筑結構在地震作用下的變形以剪切變形為主;變形以剪切變形為主;建筑結構在地震作用時的建筑結構在地震作用時的扭轉效應可忽略不計。扭轉效應可忽略不計。2底部剪力計算底部剪力計算按振型分解反應譜法,按振型分解反應譜法,j j振型質點的地震作用為振型質點的地震作用為maxjijjjiiFX G nnjijEjjjii1Ejjii 1i 11EGSX GGXG (4.404.40) j j振型下結構的底部
38、剪力為振型下結構的底部剪力為 式中式中 基本振型下的地震影響系數;基本振型下的地震影響系數; 1 結構總的重力荷載代表值;結構總的重力荷載代表值; EG為質點為質點i i的重力荷載代表值。的重力荷載代表值。 nEii1GG EG按按“平方和開方平方和開方”的振型組合原則,結構的底部剪力的振型組合原則,結構的底部剪力為為 n2EkjEj 1FSS 2nnji1Ejji1Ej 1i 11EGGXGG (4.414.41) 為系數為系數, , 2nnjijjij 1i 11EGXG 抗震規范規定抗震規范規定,當,當n=1n=1時,取時,取 1 1,而當,而當n 1n 1時,時,取取 0.850.85
39、,并定義等效總重力荷載代表值,并定義等效總重力荷載代表值GeqGeqGEGE,因因此,其底部剪力(或稱總水平地震作用)為此,其底部剪力(或稱總水平地震作用)為 Ek1eqFG 1n (4.424.42) 10.85EKeqFG 1n 回憶單自由度的形式回憶單自由度的形式? 各質點的水平地震作用近似各質點的水平地震作用近似地取為對應于第一振型的地震作用。地取為對應于第一振型的地震作用。 3總底部剪力的分配總底部剪力的分配i1i111iiFFX G (4.434.43) 根據根據第一振型近似為直線第一振型近似為直線的假定,取的假定,取 1iiXH (4.444.44) 式中,式中,HiHi為質點為
40、質點i i的計算高度,將式(的計算高度,將式(4.444.44)代入)代入式(式(4.434.43) i11iiFH G (4.454.45) 再根據各質點的水平地震作用之和等于總水平地震再根據各質點的水平地震作用之和等于總水平地震作用的條件,得作用的條件,得 nnEkk11kkk1k 1FFH G 進一步得進一步得 Ek11nkkk 1FH G 將上式代入式(將上式代入式(4.454.45),得),得 iiiEknkkk1H GFFH G (4.464.46) 誤差分析誤差分析1 1)特殊情況處理)特殊情況處理nnEkFF 抗震規范規定,當結構基本周期抗震規范規定,當結構基本周期 時,在頂點
41、附加水平地震作用,即取時,在頂點附加水平地震作用,即取 11.4gTT 2)頂點的水平地震作用為)頂點的水平地震作用為 nnnnEknEknkkk 1H GF1FFH G (4.474.47) iiinEknkkk 1H GF1FH G (4.484.48) 其余各質點的地震作用為其余各質點的地震作用為n 式中,式中, 為頂部附加地震作用系數,對多層內框為頂部附加地震作用系數,對多層內框架磚房,可取架磚房,可取0.20.2,對多層鋼筋混凝土房屋和鋼結構,對多層鋼筋混凝土房屋和鋼結構房屋,可根據特征周期及房屋基本周期房屋,可根據特征周期及房屋基本周期T1T1按第五章表按第五章表5.75.7確定確
42、定 鞭梢效應鞭梢效應 突出屋面的小建筑,由于剛度和質量突然變小,突出屋面的小建筑,由于剛度和質量突然變小,局部地震反應有可能加劇,計算作用在局部地震反應有可能加劇,計算作用在小建筑小建筑上的地上的地震作用需乘以增大系數抗震規范規定為震作用需乘以增大系數抗震規范規定為3,3,向主體結構向主體結構傳遞時不乘增大系數。傳遞時不乘增大系數。表表6頂部附加地震作用系數頂部附加地震作用系數 n gTS11.4gTT 11.4gTT 0.35 0.35 0.55 0.55 10.080.02T 10.080.01T 10.080.07T 0.0例題分析例題分析例題例題4.6用底部剪力法求例用底部剪力法求例4.54.5中三層框架彎矩圖中三層框架彎矩圖 地震影響系數地震影響系數 0.910.30.0
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