1、綜合題講解函數中因動點產生的相似三角形問題例題如圖 1，已知拋物線的頂點為a（2，1） ，且經過原點o，與 x 軸的另一個交點為b。求拋物線的解析式； （用頂點式求得拋物線的解析式為xx41y2）若點 c 在拋物線的對稱軸上，點d 在拋物線上，且以o、c、d、b 四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求 d 點的坐標；連接 oa、 ab，如圖 2，在 x 軸下方的拋物線上是否存在點p，使得 obp 與 oab 相似？若存在，求出 p 點的坐標；若不存在，說明理由。分析 :1.當給出四邊形的兩個頂點時應以兩個頂點的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以o、c、d、b四點為頂點的四邊形為平行四邊形要分類討

2、論:按 ob 為邊和對角線兩種情況2. 函數中因動點產生的相似三角形問題一般有三個解題途徑 求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊和角的特點，進而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應邊分類討論。或利用已知三角形中對應角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數、對稱、旋轉等知識來推導邊的大小。若兩個三角形的各邊均未給出，則應先設所求點的坐標進而用函數解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。例 1 題圖圖 1 oabyxoabyx圖 2 yxeqpcboa練習 1、已知拋物線2yaxbxc經過5 3( 3 3)02pe，及原點(0 0)o

3、，（ 1）求拋物線的解析式 （由一般式得拋物線的解析式為225 333yxx）（ 2）過p點作平行于x軸的直線pc交y軸于c點，在拋物線對稱軸右側且位于直線pc下方的拋物線上，任取一點q，過點q作直線qa平行于y軸交x軸于a點，交直線pc于b點，直線qa與直線pc及兩坐標軸圍成矩形oabc是否存在點q，使得opc與pqb相似？若存在，求出q點的坐標；若不存在，說明理由（ 3）如果符合（ 2）中的q點在x軸的上方，連結oq，矩形oabc內的四個三角形opcpqboqpoqa，之間存在怎樣的關系？為什么？練習 2、如圖，四邊形oabc 是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點a 在 x 軸上，點c

4、 在 y軸上，將邊bc 折疊，使點b 落在邊 oa 的點 d 處。已知折疊5 5ce，且3tan4eda。（1）判斷ocd與ade是否相似？請說明理由；（2）求直線ce 與 x 軸交點 p 的坐標；（3）是否存在過點d 的直線 l，使直線l、直線 ce 與 x 軸所圍成的三角形和直線l、直線 ce 與 y 軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應的直線；如果不存在，請說明理由。練習 3、 在平面直角坐標系xoy中， 已知二次函數2(0)yaxbxc a的圖象與x軸交于ab，兩點 （點a在點b的左邊），與y軸交于點c，其頂點的橫坐標為1，且過點(2 3)，和( 312)，（

5、1）求此二次函數的表達式；（由一般式得拋物線的解析式為223yxx）o x y 練習 2 圖c b e d a（ 2）若直線:(0)lykx k與線段bc交于點d（不與點bc，重合），則是否存在這樣的直線l，使得以bod，為頂點的三角形與bac相似？若存在，求出該直線的函數表達式及點d的坐標；若不存在，請說明理由；( 1 0)(3 0),(0 3)abc，（ 3）若點p是位于該二次函數對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角pco與aco的大小（不必證明） ，并寫出此時點p的橫坐標px的取值范圍練習 4 (2008 廣東湛江市 ) 如圖所示，已知拋物線21yx與x軸交于 a、b 兩點

6、，與y軸交于點 c（1）求 a、b、c 三點的坐標（2）過點 a 作 apcb 交拋物線于點p，求四邊形acbp 的面積（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點m，過 m 作 mgx軸于點 g，使以 a、m、g 三點為頂點的三角形與pca 相似若存在，請求出m 點的坐標；否則，請說明理由練習 5、已知：如圖，在平面直角坐標系中，abc是直角三角形，90acb，點ac，的坐標分別為( 3 0)a，(10)c ，3tan4bac（ 1）求過點ab，的直線的函數表達式；點( 3 0)a，(10)c，b (13)，3944yx（2）在x軸上找一點d，連接db，使得adb與abc相似（不包括全等） ，并求

7、點d的坐標；（3）在（ 2）的條件下，如pq，分別是ab和ad上的動點，連接pq，設apdqm，問是否存在這樣的m使得apq與adb相似，如存在，請求出m的值；如不存在，請說明理由o y c lx b a 1x練習 3 圖oc b a x練習 4 圖p y a c o b x y 參考答案例題 、解 :由題意可設拋物線的解析式為1)2x(ay2拋物線過原點，1)20(a0241a. 拋物線的解析式為1)2x(41y2,即xx41y2如圖 1,當 ob 為邊即四邊形ocdb 是平行四邊形時,cdob, 由1)2x(4102得4x,0 x21, b(4,0),ob 4. d 點的橫坐標為6 將 x

8、6 代入1)2x(41y2,得 y 3, d(6, 3); 根據拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側拋物線上存在點d,使得四邊形odcb 是平行四邊形,此時 d 點的坐標為 (2,3), 當 ob 為對角線即四邊形ocbd 是平行四邊形時,d 點即為 a 點 ,此時 d 點的坐標為 (2,1) 如圖 2，由拋物線的對稱性可知:ao ab,aob abo. 若 bop 與 aob 相似 ,必須有 pob boa bpo 設 op 交拋物線的對稱軸于a 點,顯然 a(2, 1) 直線 op 的解析式為x21y由xx41x212, 得6x,0 x21.p(6, 3) 過 p 作 pex 軸,在 rtb

9、ep 中,be2,pe 3, pb134.pb ob, bop bpo, pbo 與 bao 不相似 , 同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的p 點. 所以在該拋物線上不存在點p,使得 bop 與 aob 相似 . eaoabpyx圖 2 coabdyx圖 1 練習 1、解： （1）由已知可得：333755 30420ababc解之得，25 3033abc，因而得，拋物線的解析式為：225 333yxx（2）存在設q點的坐標為()mn，則225 333nmm，要使,bqpbocppbqcpoc，則有3333nm，即225 3333333mmm解之得，122 32mm，當12 3m

10、時，2n，即為q點，所以得(2 32)q，要使,bqpbocpqbpoccp，則有3333nm，即225 3333333mmm解之得，123 33mm，當3m時，即為p點，當13 3m時，3n，所以得(3 33)q，故存在兩個q點使得ocp與pbq相似q點的坐標為(2 3 2) (3 33)，（3）在rtocp中，因為3tan3cpcopoc所以30cop當q點的坐標為(2 3 2)，時，30bpqcop所以90opqocpbqao因此，opcpqbopqoaq，都是直角三角形又在rtoaq中，因為3tan3qaqoaao所以30qoa即有30poqqoaqpbcop所以opcpqboqpoq

11、a，又因為qpopqaoa，30poqaoq，所以oqaoqp練習 2 解： （ 1）ocd與ade相似。理由如下：由折疊知，90cdeb，1290，139023.，又90coddae，ocdade。（2）3tan4aeedaad，設 ae=3t ，則 ad=4t 。由勾股定理得de=5t 。358ocabaeebaedettt。由（ 1）ocdade，得occdadde，845tcdtt，10cdt。在dce中，222cddece，222(10 )(5 )(5 5)tt，解得 t=1。oc=8 ，ae=3 ，點 c 的坐標為（ 0，8） ，點 e 的坐標為（ 10，3） ，設直線 ce 的解

12、析式為y=kx +b，1038kbb，解得128kb，o x y 圖 1 c b e d 3 1 2 a 圖 2 o x y c b e d p m g l n a f 182yx，則點 p 的坐標為（ 16， 0） 。（3）滿足條件的直線l 有 2 條： y=2x+12 ，y=2x12 。如圖 2：準確畫出兩條直線。練習 3 解： （ 1）二次函數圖象頂點的橫坐標為1，且過點(2 3)，和( 312)，由1242393212.baabcab，解得123.abc，此二次函數的表達式為223yxx（2）假設存在直線:(0)lykx k與線段bc交于點d（不與點bc，重合） ，使得以bod，為頂點

13、的三角形與bac相似在223yxx中，令0y，則由2230 xx，解得1213xx，( 1 0)(3 0)ab，令0 x，得3y(0 3)c，設過點o的直線l交bc于點d，過點d作dex軸于點e點b的坐標為(3 0)，點c的坐標為(0 3)，點a的坐標為( 10)，4345.abobocobc，22333 2bc要使bodbac或bdobac，已有bb，則只需bdbobcba，或.bobdbcba成立若是，則有3 3 29 244bo bcbdbay x b e a o c d 1xl而45obcbede，在rtbde中，由勾股定理，得222229 224bedebebd解得94bede（負值

14、舍去） 93344oeobbe點d的坐標為3 94 4，將點d的坐標代入(0)ykx k中，求得3k滿足條件的直線l的函數表達式為3yx或求出直線ac的函數表達式為33yx，則與直線ac平行的直線l的函數表達式為3yx此時易知bodbac，再求出直線bc的函數表達式為3yx聯立33yxyx，求得點d的坐標為3 94 4， 若是，則有3 42 23 2bo babdbc而45obcbede，在rtbde中，由勾股定理，得222222(22)bedebebd解得2bede（負值舍去） 321oeobbe點d的坐標為(12)，將點d的坐標代入(0)ykx k中，求得2k滿足條件的直線l的函數表達式為

15、2yx存在直線:3lyx或2yx與線段bc交于點d（不與點bc，重合） ，使得以bod，為頂點的三角形與bac相似，且點d的坐標分別為3 94 4，或(12)，（3）設過點(0 3)(10)ce，的直線3(0)ykxk與該二次函數的圖象交于點p將點(10)e，的坐標代入3ykx中，求得3k此直線的函數表達式為33yx設點p的坐標為(33)xx，并代入223yxx，得250 xx解得1250 xx，（不合題意，舍去） 512xy，點p的坐標為(512)，此時，銳角pcoaco又二次函數的對稱軸為1x，點c關于對稱軸對稱的點c的坐標為(2 3)，當5px時，銳角pcoaco；當5px時，銳角pco

16、aco；當25px時，銳角pcoaco練習四解：（ 1）令0y，得210 x解得1x令0 x，得1y a( 1,0)b(1,0)c(0, 1)（2） oa=ob=oc=1bac =ac o=bc o=45apcb ，pab =45過點 p 作 pex軸于 e，則ape 為等腰直角三角形令 oe=a，則 pe=1ap( ,1)a a點 p 在拋物線21yx上 211aa解得12a，21a（不合題意，舍去）pe=3四邊形 acb p 的面積s=12ab?oc+12ab?pe=112 123422(3) 假設存在pab=bac =45paacx b e a o c 1xp c圖 1 c p b y

17、a oxmgx軸于點 g，mga=pac =90在 rtaoc 中， oa=o c=1ac=2在 rtpae 中， ae=pe=3 ap= 3 2設 m 點的橫坐標為m，則 m 2( ,1)m m點 m 在y軸左側時，則1m() 當amg pca 時，有agpa=mgcaag=1m，mg=21m即2113 22mm解得11m（舍去）223m（舍去）() 當mag pca 時有agca=mgpa即21123 2mm解得：1m（舍去）22mm( 2,3) 點 m 在y軸右側時，則1m() 當amg pca 時有agpa=mgcaag=1m，mg=21m2113 22mm解得11m（舍去）243mm

18、4 7(,)3 9() 當magpca 時有agca=mgpa即21123 2mm解得：11m（舍去）24mm(4,15)存在點m，使以 a、m、g 三點為頂點的三角形與pca 相似g m 圖 3 c b y p a oxg m 圖 2 c b y p a oxm 點的坐標為( 2,3)，4 7(,)3 9，(4,15)練習 5、解： （ 1）點( 3 0)a，(1 0)c，4ac，3tan434bcbacac，b點坐標為(13)，設過點ab，的直線的函數表達式為ykxb，由0( 3)3kbkb得34k，94b直線ab的函數表達式為3944yx（2）如圖 1，過點b作bdab，交x軸于點d，在

19、rtabc和rtadb中，bacdabrtrtabcadb，d點為所求又4tantan3adbabc，49tan334cdbcadb134odoccd，1304d，（3）這樣的m存在在rtabc中，由勾股定理得5ab如圖 1，當pqbd時，apqabd則133413534mm，解得259m如圖 2，當pqad時，apqadb則133413534mm，解得12536m中考數學專題復習全等三角形一、選擇題1. （今年山東省濰坊市）如圖, rtabc 中,ab ac,ad bc,平分 abc ，交 ad 于 e，efac ，下列結論一定成立的是（）a.ab=bf b.ae=ed c.ad=dc d.

20、abe= dfe，abcdqoyx圖 1 pabcdq oyx圖 2 p2.(今年成都市 )如圖，在 abc 與 def 中，已有條件ab=de ， 還需添加兩個條件才能使abc def，不能添加的一組條件是( ) (a) b= e,bc=ef （b）bc=ef， ac=df (c)a= d， b= e （d） a= d，bc=ef 3（綿陽市）如圖，o 是邊長為 1 的正 abc 的中心，將 abc 繞點 o 逆時針方向旋轉180， 得 a1b1c1 ，則 a1b1c1 與 abc 重疊部分（圖中陰影部分）的面積為（） abcd4.(今臺灣 )如圖， 有兩個三角錐abcd 、efgh ，其中

21、甲、 乙、丙、丁分別表示、。若，則下列敘述何者正確？( ) (a) 甲、乙全等，丙、丁全等(b) 甲、乙全等，丙、丁不全等(c) 甲、乙不全等，丙、丁全等(d) 甲、乙不全等，丙、丁不全等5.（今年湖南省邵陽市）如圖（四），點是 上任意一點，還應補充一個條件，才能推出從下列條件中補充一個條件，不一定能推出的是（）abcd6.（今年江蘇省無錫市）如圖，繞點逆時針旋轉到 的位置，已知，則等于（）二、填空題1、 （今年山東省濱州市）如圖，c 為線段 ae 上一動點（不與點a，e 重合） ，在 ae 同側分別作正三角形abc 和正三角形cde 、ad 與 be 交于點 o，ad 與 bc 交于點 p，

22、 be 與 cd 交于點 q，連結 pq.以下五個結論： ad=be ； pqae ； ap=bq ； de=dp； aob=60 . 恒成立的結論有_（把你認為正確的序號都填上）。2. （今年山東省濱州市）將一個正三角形紙片剪成四個全等的小正三角形，再將其中的一個按同樣的方法剪成四個更小的正三角形，如此繼續下去，結果如下表：所剪次數1 2 3 4 n 正三角形個數4 7 10 13 an 則 an=_（用含 n 的代數式表示）. 3.（今年江蘇省南通市）已知：如圖，oad obc，且 o70， c25，則 aeb _度. 4 （廈門市）如圖，點是 的重心，的延長線交于 ， ， ， ，將 繞點

23、旋轉得到，則cm，的面積cm25 （莆田市）在正三角形，正四邊形，正五邊形和正六邊形中不能單獨密鋪的是_. 6.（今佳木斯市3）如圖，請你添加一個條件：，使 （只添一個即可） 7. (今山東濟寧 )用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖如圖所示，則說明的依據是三、簡答題1、 （今年四川省宜賓市）已知:如圖 ,ad=bc,ac=bd.求證 :od=oc 2、 （今年浙江省衢州市）如圖，abcd (1)用直尺和圓規作的平分線 cp，cp 交 ab 于點 e(保留作圖痕跡，不寫作法) (2)在(1)中作出的線段ce 上取一點f，連結 af。要使 acf aef，還需要添加一個什么條件？請你寫出這個條

24、件(只要給出一種情況即可；圖中不再增加字母和線段；不要求證明)。3.（今浙江金華）如圖，在abc 和dcb 中， ac 與 bd 相交于點。， ab = dc ，ac = bd. (1) 求證 : abc dcb ；(2) 0bc 的形狀是。(直接寫出結論，不需證明) 。4.（今山東威海） （1）把兩個含有45角的直角三角板如圖1 放置，點d 在 bc 上，連結be，ad ， ad的延長線交be 于點 f求證： afbe（2）把兩個含有30角的直角三角板如圖2 放置，點 d 在 bc 上，連結be，ad ，ad 的延長線交be 于點 f問 af 與 be 是否垂直？并說明理由5. （今年山東省

25、臨沂市）已知man ，ac 平分 man 。在圖 1 中，若 man 120， abc adc 90，求證： ab ad ac; 在圖2 中，若 man 120， abc adc 180，則中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明 ;若不成立，請說明理由; 在圖 3 中：若 man 60， abc adc 180，則 ab ad _ac; 若 man （0 180） ， abc adc 180，則 abad _ac（用含 的三角函數表示），并給出證明。6.(今年浙江省紹興市)學完“幾何的回顧”一章后，老師布置了一道思考題：如圖，點分別在正三角形的 邊上，且 ， 交于點求證：（1）請你完成這道思

26、考題；（2）做完（ 1）后，同學們在老師的啟發下進行了反思，提出了許多問題，如：若將題中“”與“”的位置交換，得到的是否仍是真命題？若將題中的點分別移動到的延長線上，是否仍能得到？若將題中的條件“點分別在正三角形的 邊上”改為“點分別在正方形的 邊上” ，是否仍能得到？請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：；并對，的判斷，選擇一個給出證明7.(今年天津市 )已知 rtabc 中， ，有一個圓心角為，半徑的長等于的扇形繞點 c 旋轉，且直線ce，cf 分別與直線交于點 m，n（）當扇形繞點 c 在 的內部旋轉時，如圖，求證：；思路點撥： 考慮符合勾股定理的形式，需轉化為在直角三角形中解決

27、可將沿直線對折，得，連 ，只需證， 就可以了請你完成證明過程：（）當扇形cef 繞點 c 旋轉至圖的位置時，關系式是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由8.(今年沈陽市 )已知：如圖所示，在和 中， ， ，且點在一條直線上，連接分別為的中點（1）求證：；是等腰三角形（2）在圖的基礎上，將繞點按順時針方向旋轉，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結論是否仍然成立；（3）在（ 2）的條件下，請你在圖中延長交線段于點求證：9.(今年樂山市 )如圖（ 10） ，ac de， bcef，ac de 求證： afbd 10 （今年陜西省）已知：如圖，三點在同一條直線上， ，

28、求證：11.（今年江蘇省無錫市）已知一個三角形的兩條邊長分別是1cm 和 2cm，一個內角為（1）請你借助圖1畫出一個滿足題設條件的三角形；（2）你是否還能畫出既滿足題設條件，又與（1）中所畫的三角形不全等的三角形？若能，請你在圖1 的右邊用“尺規作圖”作出所有這樣的三角形；若不能，請說明理由（3）如果將題設條件改為“三角形的兩條邊長分別是3cm 和 4cm，一個內角為” ，那么滿足這一條件，且彼此不全等的三角形共有個友情提醒：請在你畫的圖中標出已知角的度數和已知邊的長度，“尺規作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡12.（今年江蘇省蘇州市）如圖，四邊形的對角線與 相交于點， 求證：（1） ；（

29、2） 13.(今湖南懷化 )如圖 10，四邊形abcd 、defg 都是正方形，連接ae、cg,ae 與 cg 相交于點m，cg 與 ad 相交于點n求證：；14.(今重慶 )已知：如圖，在梯形abcd 中， ad bc，bc=dc ，cf 平分 bcd ，dfab ，bf 的延長線交 dc 于點 e。求證：（1） bfc dfc； （2）ad=de 15.(今湖北荊門 )將兩塊全等的含30角的三角尺如圖(1)擺放在一起，它們的較短直角邊長為3(1) 將 ecd 沿直線 l 向左平移到圖(2)的位置，使e 點落在 ab 上，則 cc=_；(2) 將 ecd 繞點 c 逆時針旋轉到圖(3)的位置

30、，使點e 落在 ab 上，則 ecd 繞點c 旋轉的度數 =_；(3) 將 ecd 沿直線 ac 翻折到圖 (4)的位置， ed與 ab 相交于點f，求證 af=fd 16.(今四川廣安 )如圖，在梯形abcd 中， ad bc，e 為 cd 中點，連接ae 并延長 ae 交 bc 的延長線于點 f（1）求證： cf=ad ；（2）若 ad=2 ，ab=8 ，當 bc 為多少時，點b 在線段 af 的垂直平分線上，為什么？17.(今河北 )如圖 1， 的邊在直線上，且； 的邊也在直線上，邊與邊重合，且（1）在圖 1 中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出與 所滿足的數量關系和位置關系；（2）將沿直

31、線向左平移到圖2 的位置時，交 于點，連結， 猜想并寫出與 所滿足的數量關系和位置關系，請證明你的猜想；（3）將沿直線向左平移到圖3 的位置時，的延長線交的延長線于點，連結， 你認為（ 2）中所猜想的與 的數量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由18.（今四川瀘州）如圖4，e 是正方形 abcd 的邊 dc 上的一點，過點a 作 fa ae 交 cb 的延長線于點 f，求證： de=bf 19.(今河南 )復習“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業題：“如圖，已知，在abc 中， ab ac， p是 abc 中內任意一點，將ap 繞點 a 順時針旋轉至aq，使 q

32、ap bac ，連結 bq、cp 則 bqcp。 ”小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖的分析，證明了abc acp，從而證得bqcp。之后，他將點 p 移到等腰三角形abc 外，原題中其它條件不變，發現“bqcp”仍然成立，請你就圖給出證明。20 （今湖北黃石）如圖，是 上一點，交 于點， ， 求證：21(今北京 )已知：如圖，為 上一點，點分別在兩側， ， 求證：22(今安徽 )已知：點到 的兩邊所在直線的距離相等，且（1）如圖 1，若點在邊上，求證：；（2）如圖 2，若點在 的內部，求證：；（3）若點在 的外部，成立嗎？請畫圖表示23.(今泰安 ) 兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1

33、 所示放置，圖2 是由它抽象出的幾何圖形，在同一條直線上，連結（1）請找出圖2 中的全等三角形，并給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）；（2）證明：24.（今山西太原）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖中的兩張三角形膠片和 。將這兩張三角形膠片的頂點b 與頂點 e 重合，把繞點 b 順時針方向旋轉，這時ac 與 df 相交于點o。（1）當旋轉至如圖位置，點b（e） ，c，d 在同一直線上時，與 的數量關系是。（2）當繼續旋轉至如圖位置時，（ 1）中的結論還成立嗎？請說明理由。（3）在圖中，連接bo， ad, 探索 bo 與 ad 之間有怎樣的位置關系，并證明。25.（今浙江

34、湖州）如圖，在 abc 中， d 是 bc 邊的中點， f、e 分別是 ad 及延長線上的點，cfbe，（1）求證： bde cdf （2）請連結 bf、ce，試判斷四邊形becf 是何種特殊四邊形，并說明理由。26.（今四川達州市） （6 分）含角的直角三角板（ ）繞直角頂點沿逆時針方向旋轉角（ ） ，再沿的對邊翻折得到， 與 交于點， 與 交于點， 與 相交于點（1）求證：（2）當時，找出與 的數量關系，并加以說明27.(今黑龍江哈爾濱)已知：如圖， b、e、 f、c 四點在同一條直線上，abdc，becf， b c求證： oa od28.（今福建省泉州市）已知：如圖，e、c 兩點在線段b

35、f 上， be=cf ，ab=de ，ac=df, 求證 : 29.(今山東濟寧 )如圖，在中， （1）在邊上找一點，使 ，分別過點作 的垂線，垂足為（2）在四條線段中，某些線段之間存在一定的數量關系請你寫出一個等式表示這個數量關系（等式中含有其中的2 條或 3 條線段），并說明等式成立的理由30.（今湖北宜昌市）.如圖，在 abc 和 abd 中， bc=bd ，設點 e 是 bc 的中點，點f 是 bd 的中點 . （1）請你在圖中作出點e 和點 f； （要求用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法與證明）（2）連接 ae、af.若 abc= abd ，請你證明 abe abf. 31.（今桂林

36、市）已知：為等邊三角形，為上任意一點，連結（）在左下方，以為一邊作等邊三角形（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（）連結，求證：32.（今廣東肇慶市）如圖 4， e、f、g 分別是等邊 abc 的邊 ab 、bc、ac 的中點 . （1） 圖中有多少個三角形？（2） 指出圖中一對全等三角形，并給出證明. 全等三角形答案一.選擇題1.a 2.d 3.c 4.b 5.b 6.d 二.填空題1. （1） （ 2） （3） （5）2. 3n+1 3. 120 4. 2，18 5. 正五邊形6. 或 或 或 7. 全等三角形的對應角相等三.解答題1. 證明：連結ab 在 adb 與 acb 中 adb

37、acb oc=od. 2. 解： (1)作圖略；(2)取點 f 和畫 af 正確 (如圖 )；添加的條件可以是：f 是 ce 的中點；afce； caf= eaf 等。 (選一個即可 ) 3. (1)證明：在 abc 和dcb 中abc dcb(sss) (2)等腰三角形。4. 證明：（1）證明：方法一：在acd 和 bce 中，acbc，dca ecb90，dcec， acd bce（ sas） 2 分 dac ebc3 分 adc bdf ， ebc bdf dac adc=90 bfd=90 afbe5 分方法二：ac bc，dcec，即 tandac tanebc dac ebc （下

38、略）3 分（2） afbe6 分 abc dec 30， acb dce90，tan607 分 dca ecb8 分 dac ebc9 分 adc bdf， ebc bdf dac adc=90 bfd=90 afbe10 分5. 解:證明 :ac 平分 man ， man 120， cab cad 60， abc adc 90， acb acd 30， 1 分ab ad ac，2 分ab ad ac 。3 分成立。r4 分證法一：如圖，過點c 分別作 am 、an 的垂線，垂足分別為e、f。ac 平分 man ， cecf. abc adc 180,adc cde 180, cde abc,

39、5 分 ced cfb90， ced cfb,edfb,6 分ab ad afbfaeedafae,由知 afaeac, ab ad ac 7 分證法二：如圖，在an 上截取 ag ac，連接 cg. cab 60,agac, agc 60,cgac ag, 5 分 abc adc 180,abc cbg 180, cbg adc, cbg cda, 6 分bg ad, ab ad ab bgag ac，7 分;8 分 .9 分證明：由知，edbf,ae af，在 rtafc 中，,即 , ,10 分ab ad afbfaeedafae2 ， 11 分6. 解： （1）證明：， ， ，（2）是

40、；是；否的證明：如圖， ， ，的證明：如圖， ，又，即7. （）證明將沿直線對折，得，連，則 1 分有 ， ， ， 又由，得2 分由 ，得 3 分又 ， 4 分有 ， 5 分在 rt 中，由勾股定理，得 即6 分（）關系式仍然成立7 分證明將沿直線對折，得，連，則 8 分有 ， ， 又由，得由 ，得 9 分又 ， 有 ， ， ， 在 rt 中，由勾股定理，得 即10 分8. 證明：（1），3 分由得 ，分別是的中點，4 分又，即為等腰三角形6 分（2） （1）中的兩個結論仍然成立8 分（3）在圖中正確畫出線段由（ 1）同理可證又， 和 都是頂角相等的等腰三角形10 分，12 分9. 證明：ac

41、de， bcef ，又ac=de , ab=df af=bd 10. 證明：， 、 ）又 ，又 ， （6 分11. 解： （ 1）如圖 1；（2）如圖 2；（3） 4（8 分）12.證明：（1）在和 中（2） ， 又， 13. 證明：四邊形和四邊形都是正方形14. 證明： （ 1） 平分， 在 和 中，（2）連結， ， ， 又 是公共邊，15. 解： (1) 3- ；(2)30；(3)證明：在 aef 和 dbf 中，ae=ac-ec, d b=d c-bc，又 ac=d c,ec=bc， ae=d b又 aef=d bf=180 -60 =120， a= cde=30， aef d bf af=fd 16. （1）證明： ad bc