1、多元線性回歸多元線性回歸b=regress( Y, X )npnnppxxxxxxxxxX.1.1.1212222111211nYYYY.21pb.101、確定回歸系數的點估計值：確定回歸系數的點估計值：ppxxy.110統計工具箱中的回歸分析命令統計工具箱中的回歸分析命令對一元線性回歸，取p=1即可。3、畫出殘差及其置信區間：畫出殘差及其置信區間： rcoplot（r，rint）2、求回歸系數的點估計和區間估計、并檢驗回歸模型：求回歸系數的點估計和區間估計、并檢驗回歸模型： b, bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)回歸系數的區間估計殘差用于檢驗回歸模型的

2、統計量，有三個數值：相關系數r2、F值、與F對應的概率p置信區間 顯著性水平（缺省時為0.05） 相關系數 r2越接近 1，說明回歸方程越顯著； F F1-（k，n-k-1）時拒絕 H0，F 越大，說明回歸方程越顯著； 與 F 對應的概率 p時拒絕 H0，回歸模型成立.例例1解：解：1、輸入數據：輸入數據： x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164; X=ones(16,1) x; Y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;2、回歸分析及檢驗：

3、回歸分析及檢驗： b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X) b,bint,stats得結果：b = bint = -16.0730 -33.7071 1.5612 0.7194 0.6047 0.8340 stats = 0.9282 180.9531 0.0000即7194. 0,073.1610；0的置信區間為-33.7017，1.5612, 1的置信區間為0.6047,0.834;r2=0.9282, F=180.9531, p=0.0000p0.05, 可知回歸模型 y=-16.073+0.7194x 成立.題目3、殘差分析，作殘差圖：、殘差分析，作殘差圖： r

4、coplot(r,rint) 從殘差圖可以看出，除第二個數據外，其余數據的殘差離零點均較近，且殘差的置信區間均包含零點，這說明回歸模型 y=-16.073+0.7194x能較好的符合原始數據，而第二個數據可視為異常點. 4、預測及作圖：、預測及作圖：z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,k+,x,z,r)246810121416-5-4-3-2-101234Residual Case Order PlotResidualsCase Number多多 項項 式式 回回 歸歸 （一）一元多項式回歸（一）一元多項式回歸 （1）確定多項式系數的命令：p，S=polyfit（x，y，m）（2）一

5、元多項式回歸命令：polytool（x，y，m）1、回歸：、回歸：y=a1xm+a2xm-1+amx+am+12、預測和預測誤差估計：、預測和預測誤差估計：（1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回歸多項式在x處 的預測值Y；（2）Y，DELTA=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得的回歸多項式在x處的預測值Y及預測值的顯著性為1-alpha的置信區間Y DELTA；alpha缺省時為0.5t (s)1/302/303/304/305/306/307/30s (cm)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13t (s)8/3

6、09/3010/3011/3012/3013/3014/30s (cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48方法一方法一 直接作二次多項式回歸：直接作二次多項式回歸： t=1/30:1/30:14/30; s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48; p,S=polyfit(t,s,2)1329. 98896.652946.4892tts得回歸模型為 ：法二法二化為多元線性回歸：化為多元線性回歸：t=1/30:1/30:1

7、4/30;s=11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48;T=ones(14,1) t (t.2);b,bint,r,rint,stats=regress(s,T);b,stats22946.4898896.651329. 9tts得回歸模型為 ：Y=polyconf(p,t,S) plot(t,s,k+,t,Y,r)預測及作圖預測及作圖（二）多元二項式回歸（二）多元二項式回歸命令：rstool（x，y，model, alpha）nm矩陣顯著性水平（缺省時為0.05

8、）n維列向量 例例3 設某商品的需求量與消費者的平均收入、商品價格的統計數 據如下，建立回歸模型，預測平均收入為1000、價格為6時 的商品需求量.需求量10075807050659010011060收入10006001200500300400130011001300300價格5766875439方法一方法一 直接用多元二項式回歸：x1=1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;x2=5 7 6 6 8 7 5 4 3 9;y=100 75 80 70 50 65 90 100 110 60;x=x1 x2; rstool(x,y,purequa

9、dratic) 在畫面左下方的下拉式菜單中選”all”, 則beta、rmse和residuals都傳送到Matlab工作區中.在左邊圖形下方的方框中輸入1000，右邊圖形下方的方框中輸入6。 則畫面左邊的“Predicted Y”下方的數據變為88.47981，即預測出平均收入為1000、價格為6時的商品需求量為88.4791.在Matlab工作區中輸入命令： beta, rmse結果為: b = 110.5313 0.1464 -26.5709 -0.0001 1.8475 stats = 0.9702 40.6656 0.0005方法二方法二 2222211122110 xxxxy將 化

10、為多元線性回歸：非線性回非線性回 歸歸 （1）確定回歸系數的命令： beta，r，J=nlinfit（x，y，model, beta0）（2）非線性回歸命令：nlintool（x，y，model, beta0，alpha）1、回歸：、回歸：殘差Jacobian矩陣回歸系數的初值是事先用m-文件定義的非線性函數估計出的回歸系數輸入數據x、y分別為 矩陣和n維列向量，對一元非線性回歸，x為n維列向量。mn2、預測和預測誤差估計：、預測和預測誤差估計：Y，DELTA=nlpredci（model, x，beta，r，J）求nlinfit 或nlintool所得的回歸函數在x處的預測值Y及預測值的顯著

11、性為1-alpha的置信區間Y DELTA.例例 4 對第一節例2，求解如下：2、輸入數據： x=2:16; y=6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76; beta0=8 2;3、求回歸系數： beta,r ,J=nlinfit(x,y,volum,beta0)； beta得結果：beta = 11.6036 -1.0641即得回歸模型為：xey10641. 16036.114、預測及作圖： YY,delta=nlpredci(volum,x,beta,r ,J)； plot(x

12、,y,k+,x,YY,r)例例5 財政收入預測問題：財政收入與國民收入、工業總產值、農業總產值、總人口、就業人口、固定資產投資等因素有關。下表列出了1952-1981年的原始數據，試構造預測模型。 解解 設國民收入、工業總產值、農業總產值、總人口、就業人口、固定資產投資分別為x1、x2、x3、x4、x5、x6，財政收入為y，設變量之間的關系為：y= ax1+bx2+cx3+dx4+ex5+fx6使用非線性回歸方法求解。1 對回歸模型建立對回歸模型建立M文件文件model.m如下如下: function yy=model(beta0,X) a=beta0(1); b=beta0(2); c=be

13、ta0(3); d=beta0(4); e=beta0(5); f=beta0(6); x1=X(:,1); x2=X(:,2); x3=X(:,3); x4=X(:,4); x5=X(:,5); x6=X(:,6); yy=a*x1+b*x2+c*x3+d*x4+e*x5+f*x6; 2. 主程序主程序liti6.m如下如下:X=598.00 349.00 461.00 57482.00 20729.00 44.00 . 2927.00 6862.00 1273.00 100072.0 43280.00 496.00;y=184.00 216.00 248.00 254.00 268.00

14、286.00 357.00 444.00 506.00 . 271.00 230.00 266.00 323.00 393.00 466.00 352.00 303.00 447.00 . 564.00 638.00 658.00 691.00 655.00 692.00 657.00 723.00 922.00 . 890.00 826.00 810.0;beta0=0.50 -0.03 -0.60 0.01 -0.02 0.35;betafit = nlinfit(X,y,model,beta0) betafit = 0.5243 -0.0294 -0.6304 0.0112 -0.023

15、0 0.3658即y= 0.5243x1-0.0294x2-0.6304x3+0.0112x4-0.0230 x5+0.3658x6結果為結果為:逐逐 步步 回回 歸歸逐步回歸的命令是： stepwise（x，y，inmodel，alpha） 運行stepwise命令時產生三個圖形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History. 在Stepwise Plot窗口，顯示出各項的回歸系數及其置信區間. Stepwise Table 窗口中列出了一個統計表，包括回歸系數及其置信區間，以及模型的統計量剩余標準差（RMSE）、相關系數（R-square）

16、、F值、與F對應的概率P.矩陣的列數的指標，給出初始模型中包括的子集（缺省時設定為全部自變量）顯著性水平（缺省時為0.5）自變量數據, 階矩陣mn因變量數據， 階矩陣1n例例6 水泥凝固時放出的熱量y與水泥中4種化學成分x1、x2、x3、 x4 有關，今測得一組數據如下，試用逐步回歸法確定一個 線性模 型.1、數據輸入：、數據輸入：x1=7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10;x2=26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68;x3=6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8;x4=60 52 20 47 33 22 6

17、 44 22 26 34 12 12;y=78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4;x=x1 x2 x3 x4;2、逐步回歸：、逐步回歸：（1）先在初始模型中取全部自變量：）先在初始模型中取全部自變量： stepwise(x,y)得圖Stepwise Plot 和表Stepwise Table圖圖Stepwise Plot中四條直線都是虛線，說明模型的顯中四條直線都是虛線，說明模型的顯著性不好著性不好從表從表Stepwise Table中看出變量中看出變量x3和和x4的顯著的顯著性最差性最差.（

18、2）在圖）在圖Stepwise Plot中點擊直線中點擊直線3和直線和直線4，移去變量，移去變量x3和和x4移去變量移去變量x3和和x4后模型具有顯著性后模型具有顯著性. 雖然剩余標準差（雖然剩余標準差（RMSE）沒有太大的變化，）沒有太大的變化，但是統計量但是統計量F的的值明顯增大，因此新的回歸模型更好值明顯增大，因此新的回歸模型更好.（3）對變量）對變量y和和x1、x2作線性回歸：作線性回歸： X=ones(13,1) x1 x2; b=regress(y,X)得結果：b = 52.5773 1.4683 0.6623故最終模型為：y=52.5773+1.4683x1+0.6623x21、考察溫度x對產量y的影響，測得下列10組數據：溫