1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 多元微積分學(xué)多元微積分學(xué) 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)（二二）第六講第六講 向量的概念及向量的表示向量的概念及向量的表示 主講教師 彭亞新第一章第一章 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何第一節(jié)第一節(jié) 向量的概念及向量的表示向量的概念及向量的表示本節(jié)教學(xué)要求： 正確理解向量、向量的模、單位向量的概念。 熟悉二、三維向量的幾何表示法及其運(yùn)算的三角形法則。 熟悉空間坐標(biāo)系。 熟悉向量在軸上的投影，向量間的夾角。 熟悉基本單位向量、向量的方向余弦。 掌握向量的坐標(biāo)表示法及向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)形式。 知道向量的分量表示法。一一. 向量的基本概念向量的基本概念第一節(jié)第一節(jié)

2、向量的概念及向量的表示向量的概念及向量的表示二二. 空間直角坐標(biāo)系及向量的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系及向量的坐標(biāo)表示一一. 向量的基本概念向量的基本概念1. 向量及其幾何表示.2. 向量的加減法、向量與數(shù)乘.3. 向量在軸上的投影.1. 向量及其幾何表示物理量物理量標(biāo)量標(biāo)量: 僅用數(shù)值大小就可描述的量.例如, 面積、體積、質(zhì)量、溫度、功向量向量: 除用數(shù)值描述其大小外, 還要 指明它在空間中的方向的量.例如, 速度、加速度、力、位移向量、模，稱為向量。，同時(shí)由方向確定的量在空間中，由數(shù)值大小個(gè)非負(fù)數(shù)。稱為向量的模，它是一表示向量大小的數(shù)值， 向量的幾何表示)( 起點(diǎn)a)( 終點(diǎn)b) ( aab |

3、 |表示向量的模。和aab 一般說(shuō)來(lái)，向量間不能比較大小，但向量的模可以比較大小。向量相等 )( | | 1.；模相等ba . 2，方向相同: 滿足下列條件和若向量ba。相等，記為與則稱向量baba 行的直線上，位于同一直線或兩條平和若向量 ba方向相同。與且指向相同，則稱 ba 在這種定義下，向量可以在空間中任意平移。 具有這種性質(zhì)的向量稱為“自由向量”。零向量、單位向量、向量的負(fù)向量。零向量，記為模等于零的向量，稱為 0 . 1定。意的，可根據(jù)需要來(lái)確規(guī)定零向量的方向是任。，表示為空間中的一個(gè)點(diǎn)幾何上，0 |0| 0 1 . 2的的向量，稱為同向，且模為與已知的非零向量aa) 1 | (

4、00aa 。單位向量，記為 | 0aaa的負(fù)向量，記向量，稱為的模相等，方向相反的與 . 3aa。為a aa2. 向量的加減法、向量與數(shù)乘向量的加法abcdabacadabcba平行四邊形法力的合成與分解。物理學(xué)中 ,abcab三角形法acbcabcba首尾相接封閉邊例ab 同向： :ba封閉邊首尾相接 cba 反向：ab :ba封閉邊首尾相接 cbaabcnrrncba封閉邊首尾相接 向量的減法 逆運(yùn)算：向量的減法是其加法的 , , 記為之差與為向量向量則稱若bacacb。 , cbabacabcab三角形法cbacabcbacbaabcdabdbadabcba平行四邊形法項(xiàng)的終點(diǎn)由減項(xiàng)的終

5、點(diǎn)指向被減向量與數(shù)乘 ：為滿足下列條件的向量的乘積與實(shí)數(shù)向量aa ; | | | . 1aa , , 0 . 2同向與時(shí)aa , , 0反向與時(shí)aa 0 , 0。時(shí)a向量與數(shù)相乘，?；蚍聪蜻M(jìn)行拉長(zhǎng)或縮短相當(dāng)于將向量沿原方向aaaa向量平行行的直線上，位于同一直線或兩條平和若向量 ba。平行，記為與向量則稱baba/ 與任何一個(gè)向量平行。規(guī)定： 0 。為非零向量，則與設(shè)ababba / 向量運(yùn)算的性質(zhì), abba),()(cbacbacba,0aa, 0aa),( baba, 00a, 00,) 1(aa,aa),()(aaa,)(aaa。baba )(, anaan 個(gè)例例。為非零向量，則設(shè)|

6、 0aaaa證證。，所以，可令是非零向量，故因?yàn)閨1 0 | aaa同向。與，所以，由于 0 aa，又 1 |1 | | aaaa是一個(gè)單位向量。故 a。的單位向量，即為綜上所述，0| aaaaaa0| aaa例例。，求，設(shè)vuabvcbau 342 解解)3()42(abcbavuabcba342。cba452例例證證，的兩條對(duì)角線相互平分已知四邊形 abcd形。證明它是一個(gè)平行四邊abcdo如圖所示，引入向量,ao,oc,do,ob的概念可知由已知條件及向量相等。obdoocao , , dcocdoabobao而, dcab故為平行四邊形。，所以，四邊形即abcddcab/ 3. 向量在

7、軸上的投影向量間的夾角 是兩個(gè)非零向量。與設(shè)ba此時(shí)它們可確定的起點(diǎn)重合使它的起點(diǎn)與平移 , ab ,的夾角稱為正向間小于與一個(gè)平面。在該平面上ba等。、或的夾角，記為與向量 , babaabb , ,baba0 ,aa , 0ba空間中一點(diǎn)在軸上的投影aua向量在軸上的投影在和終點(diǎn)的起點(diǎn)設(shè)向量 baa則稱和上的投影分別為軸 , bau為的值上的有向線段軸babau 記為上的投影在軸向量 , uabaaprju的縮寫(xiě)是 projectprj有正負(fù)aprjaprjuu )(ababau投影定理投影定理投影定理 1cos| aaprju。其中ua , 投影定理投影定理 2。nkkunkkuaprj

8、aprj11影的和。上的投影等于各向量投有限個(gè)向量的和在某軸投影定理投影定理 3。aprjaprjuu 為實(shí)數(shù)。其中證證 （投影定理 1）ababaub , , 重合點(diǎn)與使起點(diǎn)平移將aaa。如圖所示得到向量)( ba ,段相等由平行平面間的平行線。得aabba , , , ,aprjbauau其中, cos| cos| ababa 故。從而 cos| aaprju投影定理 1 獲證。證證 （投影定理 2） 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證之。 : 2 時(shí)當(dāng) n如圖所示。進(jìn)行平移整理后和設(shè)對(duì)向量 , 21aa1a2a21aauacb , , 21cbaprjacaprjuu于是 , 故而cbacab )(212

9、1。aprjaprjaaprjuuu, 1 , , 11時(shí)則有時(shí)設(shè)knaprja prjknkiiukiiu, )( 21abaaprju) (1111kkiiukiiuaaprjaprj11kukiiuaprjaprj。 1111kiiukukiiuaprjaprjaprj投影定理 2 證畢?？勺鲌D驗(yàn)證 , ：則可得到向量間的投影換成向量將軸u投影定理投影定理 1 的推論的推論 , 。則若bprjaprjbauu 。該推論的逆命題不成立uabab bprjaprjuu ,cos| 。baaaprjb二二.空間直角坐標(biāo)系及向量的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系及向量的坐標(biāo)表示1. 空間直角坐標(biāo)系 . 2

10、3中點(diǎn)的坐標(biāo)空間 r3. 空間中兩點(diǎn)間的距離4. 空間中點(diǎn)的向徑5. 向量的坐標(biāo)表示形式6. 向量的方向余弦7. 向量運(yùn)算的坐標(biāo)形式1. 空間直角坐標(biāo)系xyzo右手系橫軸縱軸豎軸三根數(shù)軸兩兩相互垂直相交于一點(diǎn)長(zhǎng)度單位相同原點(diǎn) 軸（豎軸）。軸（縱軸）、軸（橫軸）、三根坐標(biāo)軸：zyx平面。平面、平面、三個(gè)坐標(biāo)面： xzyzxyxyyzzivvivviixyviiiiiiiiio 8 3個(gè)卦限為三個(gè)坐標(biāo)面分空間 rzyx卦限卦限xzyo . 23中點(diǎn)的坐標(biāo)空間 r0 x0y0zrqp0m ),( , 00000000。記為、的坐標(biāo)為點(diǎn)zyxmzyxm),( zyxm 橫坐標(biāo)x 縱坐標(biāo)y 豎坐標(biāo)z平面

11、上位于點(diǎn) )0 ,( xyyx平面上位于點(diǎn) ), 0( yzzy平面上位于點(diǎn) ), 0 ,( xzzx軸上位于點(diǎn) )0 , 0 ,( xx軸上位于點(diǎn) )0 , 0( yy軸上位于點(diǎn) ), 0 , 0( zz為坐標(biāo)原點(diǎn) )0 , 0 , 0(xyz),(zyxm3. 空間中兩點(diǎn)間的距離oq222| |qmoqomxyzz222)(zyx222zyx ),d( ),( ：到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離點(diǎn)omzyxm ),d(222zyxom ),( ),( , 0003：間的距離與點(diǎn)點(diǎn)中空間zyxmzyxmr。 )()()(),d(2020200zzyyxxmm晨晨 練練 ？前面哪位要減肥！前面哪位要減肥！前面

12、哪位要減肥！例到坐標(biāo)原點(diǎn)求點(diǎn)中在空間 )5 , 0 , 4( , 3pr )6 , 3 , 1( 。的距離及點(diǎn)q解解。 41504),d(222op。 35)65()30()1(4(),d(222qp4. 空間中點(diǎn)的向徑xzyo0 x0y0zrqp0mo。記為對(duì)應(yīng)的向徑為點(diǎn) , ),( 0000000omromzyxm0r引入三個(gè)基本單位向量引入三個(gè)基本單位向量xzyorqpkij),(0000zyxm00mqqoomq0mqqpoporoqop, 0ixop, 0jyoq, 0kzor。 0000kzjyixom00 omprjxxox軸上的分量在00 omprjyyoy軸上的分量在00 o

13、mprjzzoz軸上的分量在0 x0y0z向徑的分量、坐標(biāo)表示xzyorqpkij),(0000zyxmq。 1 | | | ; , ,kjikji ),( , 00003所對(duì)應(yīng)的向徑為點(diǎn)中空間zyxmr , 0000kzjyixom 或表示為 ) , , (0000。zyxom ) (分量形式 ) (坐標(biāo)形式 , 00則記rom。 0000krprjjrprjirprjomozoyoxmm05. 向量的坐標(biāo)表示形式xzyo0mm ),( , ),( 0000zyxmzyxm設(shè) 0。rra , 3其對(duì)應(yīng)的向徑中任意兩點(diǎn)為r。和分別為rr 0r0ra , 0則記mma 由投影定理kaprjjap

14、rjiaprjaozoyox krrprjjrrprjirrprjozoyox )( )( )(000krprjrprjjrprjrprjirprjrprjozozoyoyoxox )( )( )(000。 )( )( )(000kzzjyyixx。 )( )( )(0000kzzjyyixxmm ) (分量形式 ) (坐標(biāo)形式 記為 ) , , (0000。zzyyxxmm , , , , 3則記aprjaaprjaaprjaraozzoyyoxx。 kajaiaazyx ) (分量形式。 ) , ,(zyxaaaa ) (坐標(biāo)形式。 )0 , 0 , 0(0 , ) 1 , 0 , 0(

15、, )0 , 1 , 0( , )0 , 0 , 1 (kji6. 向量的方向余弦xzyoa 3中的非零向量設(shè) r) , ,(zyxaaaa , , 正向間的夾與坐標(biāo)軸ozoyox, , , 角依次為 則由投影定, cos| aaprjaoyy, cos| aaprjaozz 故有 , |cosaax , |cosaay |cos。aaz , cos| ,aaprjaoxx得理 cos ,cos ,cos , , 的方向余弦。為；的方向角為稱aa) | ( 1coscoscos , 222222zyxaaaa顯然。 )cos , cos , (cos0a , |cosaax , |cosaay

16、 |cos。aaz。0 | aaa ) , ,(kajaiaaaaazyxzyx222 |zyxaaaa。 )0 , 0 , 0(0 , ) 1 , 0 , 0( , )0 , 1 , 0( , )0 , 0 , 1 (kji例 6 ,3 ,4 ,3 。的向量模等于求方向角a解解)cos ,cos ,(cos0a )3cos ,4cos ,3(cos , )21 ,22 ,21 (00 6 | aaaa ) 3 , 23 , 3() 21 ,22 ,21 ( 6。7. 向量運(yùn)算的坐標(biāo)形式 , ) , ,( kajaiaaaaazyxzyx設(shè) , , 為實(shí)數(shù), ) , ,(kbjbibbbbbz

17、yxzyx 則; ) , , ( zyxzyxaaakajaiaa )( )( )(kbajbaibabazzyyxx ; ) , ,(zzyyxxbababa ; , , zzyyxxbabababa。 / /zzyyxxbababababa例 , 163 4 , 42 , 5 2 kjickjbkjia設(shè)軸上的投影、的坐標(biāo)表示式、在求 4 xcbam 。軸上的分量、方向余弦在 y解解) 163 4() 42() 5 2( 4kjikjkjimkji )16(4)5(4( )324( )424( 3 4。ji )0 , 3 , 4( 。的坐標(biāo)形式： mm 4 。軸上的投影：在mprjxmox

18、 3 。軸上的分量：在jym 0cos , 53cos , 54344cos 22。的方向余弦：m , 2 平面上。位于即此時(shí)xym例 , , , )0 , 3 , 2( 軸上的投影依次為在的起點(diǎn)為設(shè)zyxaaa 21 , 7 , 4 , 4。以及的終點(diǎn)求abba解解 , ) , 3 , 2( , ) , ,( zyxabazyxb則設(shè)終點(diǎn)為, 42 x , 43y, 7z。 7 , 1 , 2zyx ) 27 , 2 , 2 (21 , ) 7 , 1 , 2 ( , 。終點(diǎn)為于是abb , ) 7 , 4 , 4 ( ,故由已知條件a例分成求將線段和點(diǎn)已知點(diǎn) , ),( ),( 222111abzyxbzyxa ) 1( 。的分點(diǎn)定比m解解xzyoabm1r2rr引入向量如圖所示。 ,依題意 , mbam , , 21rrmbrram而 , )( 21rrrr故 1 21。即rrr ,的坐標(biāo)為得分點(diǎn)由向量相等及向量運(yùn)算m。 1 , 1 , 1 212121zzzyyyxxx例解解 ：力的合力的大小和方向求作用于同一點(diǎn)的三個(gè)。 54 3 , 432