1、高等院校非數學類本科數學課程 多元微積分學多元微積分學 大大 學學 數數 學學（二二）第六講第六講 向量的概念及向量的表示向量的概念及向量的表示 主講教師 彭亞新第一章第一章 向量代數與空間解析幾何向量代數與空間解析幾何第一節第一節 向量的概念及向量的表示向量的概念及向量的表示本節教學要求： 正確理解向量、向量的模、單位向量的概念。 熟悉二、三維向量的幾何表示法及其運算的三角形法則。 熟悉空間坐標系。 熟悉向量在軸上的投影，向量間的夾角。 熟悉基本單位向量、向量的方向余弦。 掌握向量的坐標表示法及向量線性運算的坐標形式。 知道向量的分量表示法。一一. 向量的基本概念向量的基本概念第一節第一節

2、向量的概念及向量的表示向量的概念及向量的表示二二. 空間直角坐標系及向量的坐標表示空間直角坐標系及向量的坐標表示一一. 向量的基本概念向量的基本概念1. 向量及其幾何表示.2. 向量的加減法、向量與數乘.3. 向量在軸上的投影.1. 向量及其幾何表示物理量物理量標量標量: 僅用數值大小就可描述的量.例如, 面積、體積、質量、溫度、功向量向量: 除用數值描述其大小外, 還要 指明它在空間中的方向的量.例如, 速度、加速度、力、位移向量、模，稱為向量。，同時由方向確定的量在空間中，由數值大小個非負數。稱為向量的模，它是一表示向量大小的數值， 向量的幾何表示)( 起點a)( 終點b) ( aab |

3、 |表示向量的模。和aab 一般說來，向量間不能比較大小，但向量的模可以比較大小。向量相等 )( | | 1.；模相等ba . 2，方向相同: 滿足下列條件和若向量ba。相等，記為與則稱向量baba 行的直線上，位于同一直線或兩條平和若向量 ba方向相同。與且指向相同，則稱 ba 在這種定義下，向量可以在空間中任意平移。 具有這種性質的向量稱為“自由向量”。零向量、單位向量、向量的負向量。零向量，記為模等于零的向量，稱為 0 . 1定。意的，可根據需要來確規定零向量的方向是任。，表示為空間中的一個點幾何上，0 |0| 0 1 . 2的的向量，稱為同向，且模為與已知的非零向量aa) 1 | (

4、00aa 。單位向量，記為 | 0aaa的負向量，記向量，稱為的模相等，方向相反的與 . 3aa。為a aa2. 向量的加減法、向量與數乘向量的加法abcdabacadabcba平行四邊形法力的合成與分解。物理學中 ,abcab三角形法acbcabcba首尾相接封閉邊例ab 同向： :ba封閉邊首尾相接 cba 反向：ab :ba封閉邊首尾相接 cbaabcnrrncba封閉邊首尾相接 向量的減法 逆運算：向量的減法是其加法的 , , 記為之差與為向量向量則稱若bacacb。 , cbabacabcab三角形法cbacabcbacbaabcdabdbadabcba平行四邊形法項的終點由減項的終

5、點指向被減向量與數乘 ：為滿足下列條件的向量的乘積與實數向量aa ; | | | . 1aa , , 0 . 2同向與時aa , , 0反向與時aa 0 , 0。時a向量與數相乘，。或反向進行拉長或縮短相當于將向量沿原方向aaaa向量平行行的直線上，位于同一直線或兩條平和若向量 ba。平行，記為與向量則稱baba/ 與任何一個向量平行。規定： 0 。為非零向量，則與設ababba / 向量運算的性質, abba),()(cbacbacba,0aa, 0aa),( baba, 00a, 00,) 1(aa,aa),()(aaa,)(aaa。baba )(, anaan 個例例。為非零向量，則設|

6、 0aaaa證證。，所以，可令是非零向量，故因為|1 0 | aaa同向。與，所以，由于 0 aa，又 1 |1 | | aaaa是一個單位向量。故 a。的單位向量，即為綜上所述，0| aaaaaa0| aaa例例。，求，設vuabvcbau 342 解解)3()42(abcbavuabcba342。cba452例例證證，的兩條對角線相互平分已知四邊形 abcd形。證明它是一個平行四邊abcdo如圖所示，引入向量,ao,oc,do,ob的概念可知由已知條件及向量相等。obdoocao , , dcocdoabobao而, dcab故為平行四邊形。，所以，四邊形即abcddcab/ 3. 向量在

7、軸上的投影向量間的夾角 是兩個非零向量。與設ba此時它們可確定的起點重合使它的起點與平移 , ab ,的夾角稱為正向間小于與一個平面。在該平面上ba等。、或的夾角，記為與向量 , babaabb , ,baba0 ,aa , 0ba空間中一點在軸上的投影aua向量在軸上的投影在和終點的起點設向量 baa則稱和上的投影分別為軸 , bau為的值上的有向線段軸babau 記為上的投影在軸向量 , uabaaprju的縮寫是 projectprj有正負aprjaprjuu )(ababau投影定理投影定理投影定理 1cos| aaprju。其中ua , 投影定理投影定理 2。nkkunkkuaprj

8、aprj11影的和。上的投影等于各向量投有限個向量的和在某軸投影定理投影定理 3。aprjaprjuu 為實數。其中證證 （投影定理 1）ababaub , , 重合點與使起點平移將aaa。如圖所示得到向量)( ba ,段相等由平行平面間的平行線。得aabba , , , ,aprjbauau其中, cos| cos| ababa 故。從而 cos| aaprju投影定理 1 獲證。證證 （投影定理 2） 運用數學歸納法證之。 : 2 時當 n如圖所示。進行平移整理后和設對向量 , 21aa1a2a21aauacb , , 21cbaprjacaprjuu于是 , 故而cbacab )(212

9、1。aprjaprjaaprjuuu, 1 , , 11時則有時設knaprja prjknkiiukiiu, )( 21abaaprju) (1111kkiiukiiuaaprjaprj11kukiiuaprjaprj。 1111kiiukukiiuaprjaprjaprj投影定理 2 證畢。可作圖驗證 , ：則可得到向量間的投影換成向量將軸u投影定理投影定理 1 的推論的推論 , 。則若bprjaprjbauu 。該推論的逆命題不成立uabab bprjaprjuu ,cos| 。baaaprjb二二.空間直角坐標系及向量的坐標表示空間直角坐標系及向量的坐標表示1. 空間直角坐標系 . 2

10、3中點的坐標空間 r3. 空間中兩點間的距離4. 空間中點的向徑5. 向量的坐標表示形式6. 向量的方向余弦7. 向量運算的坐標形式1. 空間直角坐標系xyzo右手系橫軸縱軸豎軸三根數軸兩兩相互垂直相交于一點長度單位相同原點 軸（豎軸）。軸（縱軸）、軸（橫軸）、三根坐標軸：zyx平面。平面、平面、三個坐標面： xzyzxyxyyzzivvivviixyviiiiiiiiio 8 3個卦限為三個坐標面分空間 rzyx卦限卦限xzyo . 23中點的坐標空間 r0 x0y0zrqp0m ),( , 00000000。記為、的坐標為點zyxmzyxm),( zyxm 橫坐標x 縱坐標y 豎坐標z平面

11、上位于點 )0 ,( xyyx平面上位于點 ), 0( yzzy平面上位于點 ), 0 ,( xzzx軸上位于點 )0 , 0 ,( xx軸上位于點 )0 , 0( yy軸上位于點 ), 0 , 0( zz為坐標原點 )0 , 0 , 0(xyz),(zyxm3. 空間中兩點間的距離oq222| |qmoqomxyzz222)(zyx222zyx ),d( ),( ：到坐標原點的距離點omzyxm ),d(222zyxom ),( ),( , 0003：間的距離與點點中空間zyxmzyxmr。 )()()(),d(2020200zzyyxxmm晨晨 練練 ？前面哪位要減肥！前面哪位要減肥！前面

12、哪位要減肥！例到坐標原點求點中在空間 )5 , 0 , 4( , 3pr )6 , 3 , 1( 。的距離及點q解解。 41504),d(222op。 35)65()30()1(4(),d(222qp4. 空間中點的向徑xzyo0 x0y0zrqp0mo。記為對應的向徑為點 , ),( 0000000omromzyxm0r引入三個基本單位向量引入三個基本單位向量xzyorqpkij),(0000zyxm00mqqoomq0mqqpoporoqop, 0ixop, 0jyoq, 0kzor。 0000kzjyixom00 omprjxxox軸上的分量在00 omprjyyoy軸上的分量在00 o

13、mprjzzoz軸上的分量在0 x0y0z向徑的分量、坐標表示xzyorqpkij),(0000zyxmq。 1 | | | ; , ,kjikji ),( , 00003所對應的向徑為點中空間zyxmr , 0000kzjyixom 或表示為 ) , , (0000。zyxom ) (分量形式 ) (坐標形式 , 00則記rom。 0000krprjjrprjirprjomozoyoxmm05. 向量的坐標表示形式xzyo0mm ),( , ),( 0000zyxmzyxm設 0。rra , 3其對應的向徑中任意兩點為r。和分別為rr 0r0ra , 0則記mma 由投影定理kaprjjap

14、rjiaprjaozoyox krrprjjrrprjirrprjozoyox )( )( )(000krprjrprjjrprjrprjirprjrprjozozoyoyoxox )( )( )(000。 )( )( )(000kzzjyyixx。 )( )( )(0000kzzjyyixxmm ) (分量形式 ) (坐標形式 記為 ) , , (0000。zzyyxxmm , , , , 3則記aprjaaprjaaprjaraozzoyyoxx。 kajaiaazyx ) (分量形式。 ) , ,(zyxaaaa ) (坐標形式。 )0 , 0 , 0(0 , ) 1 , 0 , 0(

15、, )0 , 1 , 0( , )0 , 0 , 1 (kji6. 向量的方向余弦xzyoa 3中的非零向量設 r) , ,(zyxaaaa , , 正向間的夾與坐標軸ozoyox, , , 角依次為 則由投影定, cos| aaprjaoyy, cos| aaprjaozz 故有 , |cosaax , |cosaay |cos。aaz , cos| ,aaprjaoxx得理 cos ,cos ,cos , , 的方向余弦。為；的方向角為稱aa) | ( 1coscoscos , 222222zyxaaaa顯然。 )cos , cos , (cos0a , |cosaax , |cosaay

16、 |cos。aaz。0 | aaa ) , ,(kajaiaaaaazyxzyx222 |zyxaaaa。 )0 , 0 , 0(0 , ) 1 , 0 , 0( , )0 , 1 , 0( , )0 , 0 , 1 (kji例 6 ,3 ,4 ,3 。的向量模等于求方向角a解解)cos ,cos ,(cos0a )3cos ,4cos ,3(cos , )21 ,22 ,21 (00 6 | aaaa ) 3 , 23 , 3() 21 ,22 ,21 ( 6。7. 向量運算的坐標形式 , ) , ,( kajaiaaaaazyxzyx設 , , 為實數, ) , ,(kbjbibbbbbz

17、yxzyx 則; ) , , ( zyxzyxaaakajaiaa )( )( )(kbajbaibabazzyyxx ; ) , ,(zzyyxxbababa ; , , zzyyxxbabababa。 / /zzyyxxbababababa例 , 163 4 , 42 , 5 2 kjickjbkjia設軸上的投影、的坐標表示式、在求 4 xcbam 。軸上的分量、方向余弦在 y解解) 163 4() 42() 5 2( 4kjikjkjimkji )16(4)5(4( )324( )424( 3 4。ji )0 , 3 , 4( 。的坐標形式： mm 4 。軸上的投影：在mprjxmox

18、 3 。軸上的分量：在jym 0cos , 53cos , 54344cos 22。的方向余弦：m , 2 平面上。位于即此時xym例 , , , )0 , 3 , 2( 軸上的投影依次為在的起點為設zyxaaa 21 , 7 , 4 , 4。以及的終點求abba解解 , ) , 3 , 2( , ) , ,( zyxabazyxb則設終點為, 42 x , 43y, 7z。 7 , 1 , 2zyx ) 27 , 2 , 2 (21 , ) 7 , 1 , 2 ( , 。終點為于是abb , ) 7 , 4 , 4 ( ,故由已知條件a例分成求將線段和點已知點 , ),( ),( 222111abzyxbzyxa ) 1( 。的分點定比m解解xzyoabm1r2rr引入向量如圖所示。 ,依題意 , mbam , , 21rrmbrram而 , )( 21rrrr故 1 21。即rrr ,的坐標為得分點由向量相等及向量運算m。 1 , 1 , 1 212121zzzyyyxxx例解解 ：力的合力的大小和方向求作用于同一點的三個。 54 3 , 432