1、參考答案一 (15分計算(1) 已知A可逆，求)CAtdt (用矩陣A或其逆矩陣表示)；T(2) 設a = (araca4)是給泄的常向量，X=UJ2x4是矩陣變量，求CIagt):CLV(3)設3階方陣A的特征多項式為園4| =才(幾6),且A可對角化，求Iiml人工(1)(2)由 Xa =447 a.丿2IJ4-J=IZnIl|=(X741(Xa)dXa)dX(Xa)6(Xa)FQX 26(X)7dx6(Xaf琳36(Xa)丁&238(Xaf堆48(Xa)7dx24O ai O a4O CllO a3OClA)(3) A的特征根為人=6, =0, P(A) = 6.由于A可對角化，

2、即存在可逆矩陣C,使(6 C",從而-C000丿P(A)<0丿A = CC".故-（15分）設微分方程組dx=AXZ 508rdr<,A =316，Xo =1-2 0 -31X(O) = Xo / /（1）求A的最小多項式InAa）:求（3）求該方程組的解。解(1) 2Z-AI = (2-l) h(2) = (2-1)2;'l + 4f08r、(2) r() = a+b = et(t + l-t), eAt = r(A) = e3/16/、力01_億rl + 12(3) X(r) = e, 1+9/一6/三（15分）對下而矛盾方程組Ax = bx3 =

3、1V X + X2 + X3 = 1x1 + x2 = 1（1）求A的滿秩分解A = FG:（2）由滿秩分解計算As（3）求該方程組的最小2范數最小二乘解XLS解"0 01<0"1 o'(1) A =1 11=11.0 0 1；=FG （不唯一）<1 10>1XOy /探6探(2) A+ =-112-11242 -2四(1()分)設A = y2求矩陣A的QR分解(要求R的對角元全為正數，方法不限)解五(1()分)設A = a(0aeRn2)(1) 證明A的最小多項式是m) = 2- tr(A)2(2) 求A的JOrdan形(需要討論)。證(1)易知

4、rank(A) = 1 , tr() = 1 a .故In(A) = A2 - Ir(A)A = (0，a)A 一 (0 a)A = O又對任意的一次多項式g() = + c, S(A) = A+ dO.反證，如果A + cI=O 當C = O時，A = O9 矛盾。當CHO時，rank(A) = rank(-c) = n2 ,矛盾。(2)由 w(2) = 2(-tr(A)=0 m知，A 的特征值只能是0或tr(A) = 7,當tr(A) = 1 a O時，m()無重根,A可對角化，再由rank(A) = 1知 '0 、A-J =0、當tr(A) = 1 a = 0時,A的特征值全是l

5、o = 0,由n - rank(>/ -A) = H-I知/IO=O對應的特征向量只有”-1的線性無關的，從而'0 、AJ =0 1< >六(1()分)設 A W R；U(1)證明 rank( 一 A+A) = n-r(2)AX = O 的通解是 X =(人- AA)y9y e Rfl。-1 OyUIUro T(IrO、(1) Z-A+A = Z-VVr=/ -VrnH2 o丿2O"OO丿Vr(I o T(O O 'VI-rVr=Vk,O O丿丿9 I"Vr所以rank( - A+A) = n-r(2)由 A(Zzi-A+A) = A-AA

6、M = A-A = O,知In-AA 的列都是 AK = O的解,其中又有H-r個線性無關的，故其線性組合yye Rn就是AV = O通解。七（1（）分）證明矩陣2334347222_34n,衛 + 1（77+ I）2（!）能與對角矩陣相似：（2）特征值全為實數。G&互不交，說明A有川個不同的特征值，從而可對角化。（2） G*關于實軸對稱，如果A有復特征值必成對共輒出現，而G&中只有一個特征值，所以必 為實數。八（15分）設A是可逆矩陣，丄1 = ,B-A = 0 （這里矩陣范數都是算子范數），IlAIl如果<a.證明（1）3 是可逆矩陣；（2） IIB-IIl -1-;

7、 （3） IB-I-A-1II o1111 a-1111 aa-）證（方法一）（I）IwIIAwlh悶弓 I（AF卄列l(-M÷IIM)f 制+卻圖(*)(-0) 非 Il 糾因此，xOBO,說明B可逆。（2）由式嚴），取X = By9 -0)| 礦,y KIyII = IIyIl => | 礦圳 土 IlyIl由算子范數的泄義得IIB-II 廳-獷| = |附（A-B）獷Il屮州ArlWl土（方法二）引理：設 Ax 若 IIAlI<1,則 I-A 可逆，并 WII(Z-A)-, (1) IIZ- A-IBi = IIA-I (B - A)II IIA-1IB-Al = <1由引理知，A"B = -(-A&quo