1、最新人教版數學精品教學資料最新人教版數學精品教學資料高中數學 第二章 數列章末知識整合 新人教 a 版必修 5一、等差數列1定義：an1and(nn*)或anan1d(nn*，n2)2通項公式：ana1(n1)d(nn*)3如果數列an的通項公式是ananb(a、b是與n無關的常數)，那么數列an一定是等差數列4等差數列前n項和公式：snn（a1an）2，snna1n（n1）2d.5如果數列an的通項公式是snan2bn(a、b是與n無關的常數)，那么數列an一定是等差數列6.a、b、c成等差數列anb為a、c的等差中項2bac.7在等差數列an中，anam(nm)d(nn*)8在等差數列an

2、中，由mnpqamanapaq，若mn2paman2ap.9.在等差數列an中，sk，s2ksk，s3ks2k構成等差數列2(s2ksk)sk(s3ks2k)10已知an 、bn為等差數列，則anc，can，anbn，ankbn(其中c為常數，kn*)仍是等差數列11已知an 為等差數列，若k1，k2，k3，kn為等差數列，則ak1，ak2，ak3，akn仍是等差數列12.若三個數成等差數列，則設這三個數為ad，a，ad，可簡化計算13證明等差數列的兩種方法(1)定義：an1and(nn*)(2)等差中項 2anan1an1(nn*，n2)二、等比數列1定義：an1anq(nn*)或anan1

3、q(nn*，n2)2通項公式：ana1qn1(nn*)3等比數列前n項和：sna1anq1qa1（1qn）1q(q1)；snna1(q1)4a，b，c成等比數列b為a、c的等比中項b2ac.5在等比數列an中，anamqnm(nn*)6在等比數列an中，由mnpqamanapaq，若mn2pamana2p.7.在等比數列an中，sk，s2ksk，s3ks2k構成等比數列(s2ksk)2sk(s3ks2k)(sk0)8已知an 、bn為等比數列，則can，anbn，anbn(其中c為不為 0 的常數，kn*)仍是等比數列9已知an 為等比數列，若k1，k2，k3，kn為等差數列，則ak1，ak2

4、，ak3，akn仍是等比數列10若三個數成等比數列，則設這三個數為aq，a，aq，可簡化計算11證明等比數列的兩種方法(1)利用定義：an1anq或anan1q(nn*，n2)(2)等比中項：a2nan1an1(nn*，n2)三、通項公式的求法數列的通項公式是數列的重要內容之一， 它把數列各項的性質集于一身 常用的求通項的方法有觀察法、公式法、累加法、累乘法、前n項和作差法、輔助數列法累加法： 數列的基本形式為an1anf(n)(nn*)的解析式， 而f(1)f(2)f(n)的和可求出累乘法：數列的基本形式為an1anf(n)(nn*)的解析關系，而f(1)f(2)f(n)的積可求出前n項和作

5、差法：利用ans1（n1） ，snsn1（n2） ，能合則合待定系數法：數列有形如an1kanb(k1)的關系，可用待定系數法求得(ant)為等比數列，再求得an.四、特殊數列的前n項和利用等差、等比數列求和公式是最基本最重要的方法數列的求和除記住一些公式外，還應注重對通項公式的分析與整理，根據其特征求和，常用的方法技巧有分組求和法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法等分組求和法：有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，但如果將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，那么就可以分別求和，再將其合并即可倒序相加法： 這是在推導等差數列的前n項和公式時所用的方法， 就是將一個數列倒

6、過來排列(反序)，再把它與原數列相加，就可以得到n個a1an.錯位相減法： 這是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法， 這種方法主要用于求數列anbn的前n項和，其中an、bn分別是等差和等比數列裂項相消法： 這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用 裂項法的實質是將數列中的每項(通項)分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的題型 1求數列的通項公式(一)觀察法就是觀察數列的特征，橫向看各項之間的關系結構，縱向看各項與項數 n 的內在聯系，從而歸納出數列的通項公式例 1數列 114，329，5316，7425，的通項公式為()aan(2n1)n（n1）2ban(2n1)n（

7、n1）2can(2n1)n（n1）2dan4n1（n1）2解析：114114，329329，53165316，an(2n1)n（n1）2.答案：b(二)公式法等差數列與等比數列是兩種常見且重要的數列， 所謂公式法就是先分析后項與前項的差或比是否符合等差、等比數列的定義，然后用等差、等比數列的通項公式表示它例 2已知數列an為無窮數列，若 an1an12an(n2 且 nn*)，且a24，a68，求通項an.解析：an1an12an，an1，an，an1成等差數列又n2 且nn*，數列an為等差數列，設首項為a1，公差為d.由a24，a68，可得a13，d1，通項an3(n1)1n2.(三)利用

8、an與sn的關系前n項和關系式有兩種形式：一種是sn與n的關系式，記為snf(n)，它可由公式ans1，n1，snsn1，n2直接求出通項an，但要注意n1 與n2 兩種情況能否統一；另一種是sn與an的關系式，記為f(an，sn)0，求它的通項公式an.例 3已知數列an的前n項和為sn，且an5sn3，求數列an的通項公式解析：當n1 時，a15a13，a134，當n2 時，an5sn3，an15sn13，anan15(snsn1)即anan15an，anan114，an是首項a134，公比q14的等比數列ana1qn13414n1(nn*)(四)累加法、累乘法有些數列， 雖然不是等差數列

9、或等比數列， 但是它的后項與前項的差或商具有一定的規律性，這時，可考慮利用累加或累乘法，結合等差、等比數列的知識解決例 4(1)已知a11，an1ann2n，求an；(2)已知數列an中，a11，anan1n(n2)，求數列an的通項公式解析：(1)當n2 時，ana1a2a1a3a2anan11314253n1n1n（n1）2.而a11 也適合上式故an的通項公式an12n(n1)(nn*)(2)anan1n(n2)，a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n.將這n1 個等式兩邊分別相加得ana123n，an123nn（n1）2(n2)當n1 時，a11（11）21 成立

10、ann（n1）2(nn*)(五)構造法有些數列直觀上不符合以上各種形式，這時，可對其結構進行適當變形，以利于使用以上各類方法形如已知a1，an1panq(p、q為常數)形式均可用構造等比數列法，即an1xp(anx)，anx為等比數列，或an2an1p(an1an)，an1an為等比數列例 5 設數列an是首項為 1 的正項數列，且an1anan1an0(nn*)，求an的通項解析：an1anan1an0.1an11an1.又1a11，1an是首項為 1，公差為 1 的等差數列，故1ann，an1n(nn*)若數列an滿足a11，an112an1，求an.分析：根據遞推公式求出前幾項，再觀察規

11、律，猜想通項公式，有時比較困難可變換遞推公式，利用構造等差或等比數列的技巧，從而求通項公式解析：方法一an112an1，an212an11，兩式相減得：an2an112(an1an)，令bnan1an(n1，2，3，)，則b1a2a132112，bn112bn，數列bn是以12為首項，12為公比的等比數列ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)a1b1b2bn1112112n1112212n1(nn*)方法二設an1a12(ana)，則an112an12aa，根據an112an1 可得：12aa1，即a2，an1212(an2)令bnan2，則b1a121，bn112bn，數列bn是以1

12、 為首項，12為公比的等比數列bnb1qn1(1)12n1，an2bn212n1(nn*)題型 2數列求和的方法數列中求前 n 項和是數列運算的重要內容， 高考題中涉及此部分與通項的綜合問題， 對于等差數列與等比數列可依據公式求其和， 對于某些具有特殊結構的非等差、 等比數列可轉化為利用等差或等比數列前 n 項和公式能求和的形式， 常用方法有公式法、 分組法、 裂項法、錯位相減法等要對通項進行深入研究，找出規律，確定恰當的解題方法例 7等差數列an中，a13，公差 d2，sn為前 n 項和，求1s11s21sn.解析：等差數列an的首項 a13，公差 d2，前 n 項和 snna1n（n1）2

13、d3nn（n1）22n22n(nn*)，1sn1n22n1n（n2）121n1n2 ，1s11s21sn12(1 13) (1214) (1315) (1n11n1) (1n1n2) 342n32（n1） （n2）.例 8 設數列an滿足a13a232a33n1ann3(nn*)(1)求數列an的通項；(2)設bnnan，求數列bn的前n項和sn.解析：(1)a13a232a33n1ann3，當n2 時，a13a232a33n2an1n13，由得 3n1an13，an13n，在中，令n1，得a113，數列an的通項公式an13n(nn*)(2)bnnann3n，sn3232333n3n，3sn

14、32233334n3n1.由得 2snn3n1(332333n)n3n13（13n）13，sn（2n1）3n1434.題型 3數列的應用問題例 9(2013廣東卷)設數列an的前 n 項和為 sn.已知 a11，2snnan113n2n23，nn*.(1)求a2的值；(2)求數列an的通項公式(3)證明：對一切正整數n，有1a11a21an74.(1)解析：依題意，2s1a213123，又s1a11，所以a24.(2)解析：當n2 時，2snnan113n3n223n，2sn1(n1)an13(n1)3(n1)223(n1)，兩式相減得 2annan1(n1)an13(3n23n1)(2n1)23，整理得(n1)annan1n(n1)，即an1n1ann1，又a22a111，故數列ann是首項為a111，公差為 1 的等差數列，所以ann1(n1)1n，當n1時，上式顯然成立所以ann2(nn*)(3)證明：當n1 時，1a1174；當n2 時，1a11a21145474；當n3 時，1an1n21（n1）n1n11n，此時，1a11a21an1141321421n21141213 1314 1n11n114121n741n74，綜上，對