1、 Today: 2021-11-21第五章第五章 常見概率分布律常見概率分布律難度級：難度級： Today: 2021-11-21第一節(jié)二項分布第一節(jié)二項分布第二節(jié)泊松分布第二節(jié)泊松分布第三節(jié)正態(tài)分布第三節(jié)正態(tài)分布第四節(jié)其他概率分布律第四節(jié)其他概率分布律內容提要內容提要 Today: 2021-11-21教學重點：教學重點：1. 正態(tài)分布、二項分布、泊松分布的概率 計算方法及應用；2. 正態(tài)分布標準化的方法3. 正態(tài)分布表、t值表的用法教學要求：教學要求：掌握正態(tài)分布、二項分布、泊松分布的概率計算方法及應用 Today: 2021-11-21一、貝努利試驗及其概率公式一、貝努利試驗及其概率公式

2、（一）獨立試驗和貝努利試驗（一）獨立試驗和貝努利試驗 對于n次獨立的試驗，如果每次試驗結果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對立事件 與 之一; 在每次試驗中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p（0p0,q0,p+q=1）,則稱隨機變量X服從參數(shù)為n和p的二項分布，記為n.,k,qp)k(PknkknnC210=n.,k,qp)k(P)kX(PknkknnnC210=)p,n(Bx Today: 2021-11-21（二）二項分布的性質（二）二項分布的性質 二項分布是一種離散型隨機變量的概率分布，由n和p兩個參數(shù)決定，參數(shù)n稱為離散參數(shù)離散參數(shù)，只能取正整數(shù)；p是連續(xù)參數(shù)連續(xù)參數(shù)，取值為0與1之間的任何數(shù)值。 二項分布具有概率分布

3、的一切性質，即： （k=0,1,2,n） 二項分布的概率之和等于1，即：0(k)P=k)=P(Xn10=+=nnkknkkn)pq(qpC Today: 2021-11-21m0=kknkknnqpC=m)(kP=m)P(Xnm=kk-nkknnqpC=m)(kP=m)P(X)()()(21-212121mmqpCmkmPmXmPmmkknkknn Today: 2021-11-21 三、二項分布的平均數(shù)與標準差三、二項分布的平均數(shù)與標準差 統(tǒng)計學證明，服從二項分布B(n,p)的隨機變量之平均數(shù)、標準差與參數(shù)n、p有如下關系： 當試驗結果以事件當試驗結果以事件A A發(fā)生次數(shù)發(fā)生次數(shù)k k表示時

4、表示時 當試驗結果以事件當試驗結果以事件A A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率k kn n表示時，表示時，也稱率的標準誤。pnpq=np=/n(pq)=p=pp Today: 2021-11-21四、二項分布的概率計算及其應用條件四、二項分布的概率計算及其應用條件（一）概率計算（一）概率計算 直接利用二項概率公式 例例66有一批種蛋，其孵化率為0.85，今在該批種蛋中任選6枚進行孵化，試給出孵化出小雞的各種可能情況的概率。 這個問題屬于貝努里模型(?)，其中 ，孵化6枚種蛋孵出的小雞數(shù)x服從二項分布 .其中x的可能取值為0，1，2，3，4，5，6。6=n0.15=0.85-1=q0.85,=p)85. 0

5、 , 6(B Today: 2021-11-210000113901501508500660066.).().().(C)(P=0003872801508506150850151161166.).().().().(C)(P=00548648015085015150850242262266.).().().().(C)(P=04145344015085020150850333363366.).().().().(C)(P=17617711015085015150850424464466.).().().().(C)(P=3993347801508506150850515565566.).().

6、().().(C)(P=37714952085015085066066666.).().().(C)(P=思考：求 至少孵出3只小雞的概率是多少？ 孵出的小雞數(shù)在2-5只之間的概率是多大？其中： Today: 2021-11-21 【例例4.10】 設在家畜中感染某種疾病的概率為設在家畜中感染某種疾病的概率為20，現(xiàn)有兩種疫苗，用疫苗，現(xiàn)有兩種疫苗，用疫苗A 注射了注射了15頭家畜后頭家畜后無一感染，用疫苗無一感染，用疫苗B 注射注射 15頭家畜后有頭家畜后有1頭感染頭感染。設各頭家畜沒有相互傳染疾病的可能，問：應。設各頭家畜沒有相互傳染疾病的可能，問：應該如何評價這兩種疫苗該如何評價這兩種疫

7、苗? 假設疫苗假設疫苗A完全無效，那么注射后的家畜感染的完全無效，那么注射后的家畜感染的概率仍為概率仍為20，則，則15 頭家畜中染病頭數(shù)頭家畜中染病頭數(shù)x=0的概的概率為率為 0352.080.020.0)0(150015Cxp Today: 2021-11-21 同理，如果疫苗同理，如果疫苗B完全無效，則完全無效，則15頭家畜中頭家畜中最多有最多有1頭感染的概率為頭感染的概率為 由計算可知由計算可知 ， 注射注射 A 疫苗無效的概率為疫苗無效的概率為0.0352，比，比B疫苗無效的概率疫苗無效的概率0.1671小得多。因小得多。因此，可以認為此，可以認為A疫苗是有效的，但不能認為疫苗是有效

8、的，但不能認為B疫苗也是有效的。疫苗也是有效的。 1671. 08 . 02 . 08 . 02 . 0) 1(141115150015CCxp Today: 2021-11-21（二）應用條件（三個）（二）應用條件（三個） n個觀察單位的觀察結果互相獨立觀察結果互相獨立; 各觀察單位只具有互相對立的一種結果只具有互相對立的一種結果，如陽性或陰性，生存或死亡等，屬于二項分類資料。 已知發(fā)生某一結果已知發(fā)生某一結果(如死亡) 的概率為的概率為p p，其對立結果的概率則為1-P=q，實際中要求p 是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值。 Today: 2021-11-21要觀察到這類事件，樣本含量n必

9、須很大 。在生物、醫(yī)學研究中，服從泊松分布的隨機變量是常見的。 此外，由于泊松分布是描述小概率事件的，因而二項分布中當p很小n很大時，可用泊松分布 Today: 2021-11-21 泊松分布是用來描述和分析稀有事件稀有事件即小概率事件分布規(guī)律的函數(shù)。 在生物、醫(yī)學研究中，服從波松分布的隨機變量是常見的。如， 一定種群中某種患病率很低的非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)， 種群中遺傳的畸形怪胎數(shù)， 每升飲水中大腸桿菌數(shù)，計數(shù)器小方格中血球數(shù)， 單位空間中某些野生動物或昆蟲數(shù)等，都是服從波松分布的。 Today: 2021-11-21一、泊松分布的意義一、泊松分布的意義（一）定義（一）定義 若隨機變量X

10、(X=k)只取零和正整數(shù)值，且其概率分布為 則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X XP()P()。（二）特征（二）特征 =2 2=2.7182=e0;0,1,=k ek!=k)=P(Xk Today: 2021-11-21 【例例4.13】 調查某種豬場閉鎖育種群仔豬畸形調查某種豬場閉鎖育種群仔豬畸形數(shù)，共記錄數(shù)，共記錄200窩，窩， 畸形仔豬數(shù)的分布情況如畸形仔豬數(shù)的分布情況如表表4-3所示。試判斷畸形仔豬數(shù)是否服從波松所示。試判斷畸形仔豬數(shù)是否服從波松分布。分布。 Today: 2021-11-21 表表4-3 畸形仔豬數(shù)統(tǒng)計分布畸形仔豬數(shù)統(tǒng)計分布 樣本均數(shù)和方差樣本均數(shù)和方差S2計算結果如

11、下：計算結果如下： =fk/n =(1200+621 +152+23+14)/200 S2 =0.51 x =0.51，S2=0.52,這兩個數(shù)是相當接近的這兩個數(shù)是相當接近的 ， 因此因此可以認為畸形仔豬數(shù)服從波松分布。可以認為畸形仔豬數(shù)服從波松分布。 xx52. 01200200/ )10241322151620120(1/)(222222222nnfkfks Today: 2021-11-21 是波松分布所依賴的唯一參數(shù)。是波松分布所依賴的唯一參數(shù)。 值愈小值愈小分布愈偏倚，隨著分布愈偏倚，隨著的增大的增大 ，分，分 布趨于對稱。當布趨于對稱。當= 20時分布接近于正態(tài)分布；當時分布接近

12、于正態(tài)分布；當=50時，時， 可以可以認認 為波松分布呈正態(tài)分布。為波松分布呈正態(tài)分布。 所以在實際工作中，所以在實際工作中，當當 20時就可以用正態(tài)分布來近似地處理波松分時就可以用正態(tài)分布來近似地處理波松分布的問題。布的問題。 Today: 2021-11-21 二、波松分布的概率計算二、波松分布的概率計算 由由(4-23)式可知，波松分布的概率計算，依式可知，波松分布的概率計算，依賴于參數(shù)賴于參數(shù) 的確定，只要參數(shù)的確定，只要參數(shù)確定了確定了 ，把，把k=0，1，2， 代入代入(4-23)式即可求得各項的概率。式即可求得各項的概率。 但是但是在大多數(shù)服從波松分布的實例中，分布參數(shù)在大多數(shù)服

13、從波松分布的實例中，分布參數(shù)往往往往是未知的，只能從所觀察的隨機樣本中計算出相是未知的，只能從所觀察的隨機樣本中計算出相應的樣本平均數(shù)作為應的樣本平均數(shù)作為 的的 估計值，將其代替估計值，將其代替(4-23)式中的式中的，計算出，計算出 k = 0，1，2， 時的各項時的各項概率。概率。 Today: 2021-11-21 如如【例例4.13】中已判斷畸形仔豬數(shù)服從波中已判斷畸形仔豬數(shù)服從波松分布，并已算出樣本平均數(shù)松分布，并已算出樣本平均數(shù)=0.51。將。將0.51代代替公式（替公式（4-23）中的）中的得：得： (k=0,1,2,) 因為因為e-0.51=1.6653，所以畸形仔豬數(shù)各項的

14、，所以畸形仔豬數(shù)各項的概率為：概率為： P(x=0)=0.510(0!1.6653)=0.6005 P(x=1)=0.511(1!1.6653)=0.3063 P(x=2)=0.512(2!1.6653)=0.0781 51.0!51.0)(ekkxPkP(x=3)=0.513(3!1.6653)=0.0133P(x=4)=0.514(4!1.6653)=0.0017 把上面各項概率乘以總觀察窩數(shù)把上面各項概率乘以總觀察窩數(shù)(n=200)即得各即得各項按波松分布的理論窩數(shù)。項按波松分布的理論窩數(shù)。 波松分布與相應的頻波松分布與相應的頻率分布列于表率分布列于表4-4中。中。 0001. 0999

15、9. 01)(1)4(40kkxpxP Today: 2021-11-21 表表4-4 畸形仔豬數(shù)的波松分布畸形仔豬數(shù)的波松分布 將實際計算得的頻率與根據(jù)將實際計算得的頻率與根據(jù)=0.51的泊松分的泊松分布計算的概率相比較布計算的概率相比較 ，發(fā)現(xiàn)畸形仔豬的頻率，發(fā)現(xiàn)畸形仔豬的頻率分布與分布與 =0.51 的的 波松分布是吻合得很好的波松分布是吻合得很好的 。這進一步說明了畸形仔豬數(shù)是服從波松分布的這進一步說明了畸形仔豬數(shù)是服從波松分布的。 【例例4.14】 為監(jiān)測飲用水的污染情況，為監(jiān)測飲用水的污染情況， 現(xiàn)檢驗某現(xiàn)檢驗某社區(qū)每毫升飲用水中細菌數(shù)社區(qū)每毫升飲用水中細菌數(shù) ， 共得共得400個

16、記錄如下個記錄如下： 試分析飲用水中細菌數(shù)的分布是否服從波松分布試分析飲用水中細菌數(shù)的分布是否服從波松分布。若服從，按波松分布計算每毫升水中細菌數(shù)的概。若服從，按波松分布計算每毫升水中細菌數(shù)的概率及理論次數(shù)并將頻率分布與波松分布作直觀比較率及理論次數(shù)并將頻率分布與波松分布作直觀比較。 Today: 2021-11-21 經(jīng)計算得每毫升水中平均細菌數(shù)經(jīng)計算得每毫升水中平均細菌數(shù) =0.500,方差方差S2=0.496。兩者很接近，。兩者很接近， 故可認為每毫升故可認為每毫升水中細菌數(shù)服從波松分布。以水中細菌數(shù)服從波松分布。以 =0.500代替（代替（4-23）式中的）式中的，得，得 (k=0,1

17、,2)計算結果如表計算結果如表45所示。所示。 x5.0!5.0)(ekkxPkxx表表45 細菌數(shù)的波松分布細菌數(shù)的波松分布 可見細菌數(shù)的頻率分布與可見細菌數(shù)的頻率分布與=0.5的波松分布是相的波松分布是相當吻合的當吻合的 ， 進一步說明用波松分布描述單位容積進一步說明用波松分布描述單位容積(或面積或面積)中細菌數(shù)的分布是適宜的。中細菌數(shù)的分布是適宜的。 Today: 2021-11-21 注意，二項分布的應用條件也是波松分布的注意，二項分布的應用條件也是波松分布的應用條件。比如二項分布要求應用條件。比如二項分布要求n 次試驗是相互獨次試驗是相互獨立的，這也是波松分布的要求。然而一些具有傳立

18、的，這也是波松分布的要求。然而一些具有傳染性的罕見疾病的發(fā)病數(shù)，因為首例發(fā)生之后可染性的罕見疾病的發(fā)病數(shù)，因為首例發(fā)生之后可成為傳染源，會影響到后續(xù)病例的發(fā)生，所以不成為傳染源，會影響到后續(xù)病例的發(fā)生，所以不符合波松分布的應用條件。對于在單位時間、單符合波松分布的應用條件。對于在單位時間、單位面積或單位容積內，所觀察的事物由于某些原位面積或單位容積內，所觀察的事物由于某些原因分布不隨機時，如細菌在牛奶中成集落存在時因分布不隨機時，如細菌在牛奶中成集落存在時，亦不呈波松分布。，亦不呈波松分布。 Today: 2021-11-21一、正態(tài)分布的定義及其特征一、正態(tài)分布的定義及其特征（一）定義（一）

19、定義 若連續(xù)性隨機變量若連續(xù)性隨機變量X X的概率分布密度的概率分布密度函數(shù)為：函數(shù)為： 其中，其中，為平均數(shù)，為平均數(shù)，2 2 為方差，則稱隨機變?yōu)榉讲睿瑒t稱隨機變量量服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布, ,記為記為( (, ,2 2).).相應的概率相應的概率分布函數(shù)為分布函數(shù)為0,+x,e21=f(x)222)(xx2)(x22e21=F(x) Today: 2021-11-21（二）特征（二）特征正態(tài)分布密度曲線是以= 為對稱軸的單峰、對稱單峰、對稱的懸懸鐘形；鐘形；f(x)在=處達到極大值,極大值為f(x)是非負數(shù)，以x軸為漸進線；正態(tài)分布正態(tài)分布密度函數(shù)曲線密度函數(shù)曲線 21=f）（ Tod

20、ay: 2021-11-21正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即平均數(shù)和標準差。是位置參位置參數(shù)數(shù)，是變異度參數(shù)變異度參數(shù)。分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1，即：正態(tài)分布正態(tài)分布密度函數(shù)曲線密度函數(shù)曲線 1=dxe21=)+xP222)(x+（ Today: 2021-11-21 相同而相同而不同的三個正態(tài)總體不同的三個正態(tài)總體 相同而相同而不同的三個正態(tài)總體不同的三個正態(tài)總體 Today: 2021-11-21（一）定義（一）定義 稱=0, =0, 2 2=1=1的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布。標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)如下： 若隨機變量服從標準正態(tài)分布，記作(0, 1)22de21=()

21、,e21）(22二、標準正態(tài)分布二、標準正態(tài)分布standard normal distribution Today: 2021-11-21（二）標準化的方法（二）標準化的方法 對于任何一個服從正態(tài)分布(,2)的隨機變量 ，都可以通過標準化變換：u=(- )/ 即減平均數(shù)后再除以標準差減平均數(shù)后再除以標準差，將其變換為服從標準正態(tài)分布的隨機變量。 對不同的及P(Uu)值編成函數(shù)表，稱為正態(tài)分布表，從中可以查到任意一個區(qū)間內曲線下的面積，即為概率。 Today: 2021-11-21三、正態(tài)分布的概率計算三、正態(tài)分布的概率計算（一）標準正態(tài)分布的概率計（一）標準正態(tài)分布的概率計 設u服從標準正態(tài)

22、分布，則落在1,2內的概率due21=)uuP(u212uu2u21due21-due21=1222u2uu2u)(u)(u=12可由附表查)(u與)(u而12 Today: 2021-11-210.99=2.58)u2.58P(0.95=1.96)u1.96P(0.9973=3)u3P(0.9545=2)u2P(0.6826=1)u1P(0.99=)2.58+x2.58P(0.95=)1.96+x1.96P(0.9973=)3+x3P(0.9545=)2+x2P(0.6826=)+xP(應熟記的幾種標準正態(tài)分布概率應熟記的幾種標準正態(tài)分布概率 Today: 2021-11-21（二）一般正態(tài)

23、分布的概率計算（二）一般正態(tài)分布的概率計算 將區(qū)間的上下限標準化將區(qū)間的上下限標準化：服從正態(tài)分布的隨機變量落在1,2內的概率，等于服從標準正態(tài)分布的隨機變量u落在 的概率。查標準正態(tài)分布表查標準正態(tài)分布表/x,/x21 Today: 2021-11-21 【例例4.6】 已知已知uN(0，1)，試求：，試求： (1) P(u-1.64)? (2) P (u2.58)=? (3) P (u2.56)=? (4) P(0.34u1.53) =? Today: 2021-11-21 利用利用(4-12)式，查附表式，查附表2得：得： (1) P(u-1.64)=0.05050 (2) P (u2.

24、58)=(-2.58)=0.024940 (3) P (u2.56) =2(-2.56)=20.005234 =0.010468 (4) P (0.34u1.53) =(1.53)-(0.34) =0.93669-0.6331=0.30389 Today: 2021-11-21 例例 若服從=30.26,2 =5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64x32.98)。 令u=(-30.26)/5.10,則u服從標準正態(tài)分布，故0.6564=1.69)(0.53)=0.53)91.6P(=)5.1030.2632.985.1030.26x5.1030.2621.64P(=32.98)xP(21.64 Today: 2021-11-21 高梁品種三尺三的株高服從正態(tài)分布N(156.2,4.822),求：（1）X164cm的概率；（3）X在152162cm的概率。解：（1）根據(jù)P(X164)= -(164-156.2)/4.82= (-1.62) =0.05262 = 1- (164-156.2)/4.82=1-0.94738 =0.05262(3)P(152XP(x=)1.96P(x=)2.58P(x)k-P(x=)kP(x Today: 2021-11-21標準正態(tài)雙側分位數(shù)的查法：附表附表3 3 標準正態(tài)分布為雙側臨界值 u為雙側