1、幾何證明舉例幾何證明舉例1.如圖，在如圖，在ABC中，中，（1）如果）如果AB=AC，可得，可得 ,（2）如果）如果B=C，可得，可得 ,B=CAB=AC 預習預習檢測檢測2.2.等腰三角形的一邊長為等腰三角形的一邊長為3cm,3cm,另一邊長為另一邊長為4cm,4cm,則它的周長是則它的周長是 ；3.3.等腰三角形的一邊長為等腰三角形的一邊長為3cm,3cm,另一邊長為另一邊長為8cm,8cm,則它的周長是則它的周長是 。4.等腰三角形一個角為等腰三角形一個角為110,它的另外兩個角它的另外兩個角為為_ _。 ABC10 cm 或或 11 cm19 cm35，35幾何證明舉例1.1.進一步掌

2、握證明的基本步進一步掌握證明的基本步驟和書寫格式。驟和書寫格式。2.2.能用能用“公理公理”和和“已經證已經證明的定理明的定理”為依據，證明等為依據，證明等腰三角形的性質定理和判定腰三角形的性質定理和判定定理。定理。學習目標學習目標幾何證明舉例3這些性質都是真命題嗎？你能否用從基本事實這些性質都是真命題嗎？你能否用從基本事實出發，對它們進行證明？出發，對它們進行證明？1.我們學習了證明的相關知識，你還記得我們依據我們學習了證明的相關知識，你還記得我們依據哪些基本事實，證明了哪些定理？你能說出來嗎？哪些基本事實，證明了哪些定理？你能說出來嗎？ 回顧與思考回顧與思考2.我們已經學習過等腰三角形，我

3、們來回憶一下我們已經學習過等腰三角形，我們來回憶一下下列幾個問題：下列幾個問題：(1)什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定義）什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定義）(2)等腰三角形有哪些性質？等腰三角形有哪些性質？等腰三角形的兩底角相等（簡稱等邊對等角）。等腰三角形的兩底角相等（簡稱等邊對等角）。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（等腰三角形的三線合一）。互相重合（等腰三角形的三線合一）。幾何證明舉例證明：證明：等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等分析分析：常見輔助線做法：常見輔助線做法ABCD1 2幾何證明舉

4、例證明：證明：等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，ABAC求證：求證：BCABCD怎么想怎么想怎么寫怎么寫要證要證BC 只需證只需證ABD ACD只需有只需有 ABAC BAD CAD AD AD幾何證明舉例證明：過點證明：過點A作作BAC的的角平分線角平分線交交BC于點于點DD根據以上證明，我們還可以得到什么結論？根據以上證明，我們還可以得到什么結論？結論結論1：等腰三角形頂角的平分線平分底等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊。邊并且垂直于底邊。已知：已知：求證：求證：ABC中，中，ABAC 即得到即得到ADBC和和BD=CD A

5、B = AC (已知已知) BAD = CAD (已證已證) AD = AD (公共邊公共邊) BAD CAD(SAS) B = C (全等三角形對應角相等全等三角形對應角相等) BAD = CAD (角平分線定義角平分線定義) 在在BAD與與CAD中中幾何證明舉例已知：已知：ABC中，中，ABAC求證：求證： 證明：作證明：作BC邊上的邊上的中線中線 ADD AB = AC (已知已知) BD = CD （已證）（已證） AD = AD (公共邊公共邊) BAD CAD( SSS ) B = C (全等三角形對應角相等全等三角形對應角相等) BD = CD (中線定義中線定義) 在在 BAD

6、與與 CAD中中即得到即得到BAD=CAD和和ADBC根據以上證明，我們還可以得到什么結論？根據以上證明，我們還可以得到什么結論？ 等腰三角形底邊上的中線平分頂角并且等腰三角形底邊上的中線平分頂角并且 垂直于底邊。垂直于底邊。幾何證明舉例已知：已知：ABC中，中，ABAC求證：求證： 證明：過點證明：過點A作作ADBC交交BC于點于點DD AB = AC (已知已知) AD = AD (公共邊公共邊) BAD CAD( HL ) B = C (全等三角形對應角相等全等三角形對應角相等) BDA = CDA = 90 (垂直定義垂直定義) 在在Rt BAD與與Rt CAD中中即得到即得到BAD=

7、CAD和和BD=CD根據以上證明，我們還可以得到什么結論？根據以上證明，我們還可以得到什么結論？ 等腰三角形底邊上的高平分底邊并且等腰三角形底邊上的高平分底邊并且平分頂角。平分頂角。幾何證明舉例CBA等腰三角形的性質定理等腰三角形的性質定理1:等腰三等腰三角形的兩個底角相等。角形的兩個底角相等。在在ABC中，中， AC=AB（ ） B=C ( ）已知已知等邊對等角等邊對等角等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等是真命題。可以作為證明其他命題的依據。是真命題。可以作為證明其他命題的依據。符號表示：符號表示：幾何證明舉例交流與發現交流與發現這個結論是真命題，我們把它作為證明其他這個結論是

8、真命題，我們把它作為證明其他命題的依據，并且把它叫做命題的依據，并且把它叫做等腰三角形的性等腰三角形的性質定理！質定理！幾何證明舉例幾何證明舉例 寫出寫出“等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題，的逆命題，如何證明這個逆命題是正確的？如何證明這個逆命題是正確的？要求：（要求：（1）寫出它的逆命題：。）寫出它的逆命題：。（2）畫出圖形，寫出已知、求證，并進行證明。）畫出圖形，寫出已知、求證，并進行證明。幾何證明舉例ABCD如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。（簡稱等角對等邊個角所對的邊也相等。（簡稱等角對等邊）幾何證明舉

9、例如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。（簡稱等角對等邊個角所對的邊也相等。（簡稱等角對等邊）CBA符號表示：符號表示：在在ABC中，中， B=C （ ） AC=AB ( 等角對等等角對等邊邊）已知已知幾何證明舉例例例1.1.已知：如圖：已知：如圖： ABCABC的外角，的外角，ADAD平平分分ABCDEACABCBCDACBEADBCADDACEADEACAD/的角平分線是證明：證明：（ 已知已知 ）（角平分線定義）（角平分線定義）（ 已知已知 ）（兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，同位角相等）（兩直線平行，內錯角相等）（兩直線平行，

10、內錯角相等）（ 等量代換等量代換 ）（ 等角對等邊等角對等邊 ）幾何證明舉例例例2.求證：等邊三角形的每個內角都等于求證：等邊三角形的每個內角都等于60.ABC60CABCABABCCBA求證：。中，已知：如圖，6060180180,CBACCCCCBACBABACABCACBCAB又同理，中在 ABC證明：證明：（ 已知已知 ）（等要三角形的兩個底角相等（等要三角形的兩個底角相等 ）（ 等式的性質等式的性質 ）（三角形的內角和定理）（三角形的內角和定理）（ 等量代換等量代換 ）（ 等式的性質等式的性質 ）幾何證明舉例 如果一個三角形的每個內角都等于如果一個三角形的每個內角都等于60600 0

11、 ，那么這個三，那么這個三角形是等邊三角形。角形是等邊三角形。 等邊三角形判定定理：如果一個三角形的兩等邊三角形判定定理：如果一個三角形的兩個內角都等于個內角都等于60600 0 ，那么這個三角形是等邊三，那么這個三角形是等邊三角形。角形。逆命題是真命題：逆命題是真命題：逆命題減少一個等于逆命題減少一個等于600角后角后,仍然是真命題仍然是真命題.交流與探索交流與探索 思考：思考：等邊三角形的每個內角都等于等邊三角形的每個內角都等于600的逆命題是什的逆命題是什么？這個逆命題是真命題嗎？么？這個逆命題是真命題嗎？你能把這個逆命題的條件適當減少你能把這個逆命題的條件適當減少,使它仍然是真命題嗎？

12、使它仍然是真命題嗎？幾何證明舉例練練 習習ACABACBCDABCBDDCDBD求證：。平分，平分內的一點，且是如圖，,ABC1.的邊長。，求，且邊上一點，為中，如圖，在等邊ABCCEBDADEBCDABC2360. 2DABCE（2）CBAD（1）9幾何證明舉例 名名 稱稱 圖圖 形形 概概 念念 性質與邊角關系性質與邊角關系 判判 定定 等等 腰腰 三三 角角 形形A AB BC C有兩邊有兩邊相等的相等的三角形三角形是等腰是等腰三角形。三角形。2.2.等邊對等角等邊對等角, ,3. 3. 三線合一。三線合一。4.4.是軸對稱圖形是軸對稱圖形. .2.2.等角對等邊等角對等邊, ,1.1.

13、兩邊相等。兩邊相等。1.1.兩腰相等兩腰相等. . 小小 結結幾何證明舉例小小 結結v 在等腰三角形中，在等腰三角形中，頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高是常是常用的輔助線用的輔助線，通過添畫輔助線，把一個等腰三角形分成一，通過添畫輔助線，把一個等腰三角形分成一對全等三角形。對全等三角形。v等腰三角形的等腰三角形的性質定理性質定理是一個三角形中是一個三角形中由兩邊相等證明兩角由兩邊相等證明兩角相等相等的依據；等腰三角形的的依據；等腰三角形的判定定理判定定理，是一個，是一個由兩角相等證明由兩角相等證明兩邊相等兩邊相等的依據。的依據。v證明中常用的一種思考方法：從需要證明的結論出發，逆推證明中常用的一種思考方法：從需要證明的結論出發，逆推出要使結論成立所需要的條件，再把這樣的出要使結論成立所需要的條件，再把這樣的“條件條件”看作看作“結結論論”，一步一步逆推，直至歸結為已知條件。，一步一步逆推，直至歸結為已知條件。等邊三角形等邊三角形的性質定理：等邊三角形的每個內角都等于的性質定理：等邊三角形的每個內角都等于60600 0. .幾何證明舉例等腰三角形的判定方法有下列幾等腰三角形的判定方法有下列幾種：種：