1、    探究小學數學概念整體建構的有效策略    摘 要：在理清了內容編排的“序”;同時深入思考確定了教學的“策”基礎上，采用對接對比促進分數量率雙生雙長，算用結合促進分數意義的深度理解，將量與率巧妙對接，感受量率的異同，并在算理理解與數量關系梳理中進一步促進學生理解分數意義，從而幫助學生很好地建構分數概念。關鍵詞：分數概念;整體建構;策略一、 尋查問題緣由利用分數知識解決問題是小學數學學習的重點與難點。分數概念比整數、小數更抽象，在度量、計算與解決問題方面與整數、小數存在較大差異。雖然很多一線教師在這方面做了一些研究，取得了一定的成果，但縱觀這些研究成

2、果，真正突破難點的不多。（一）學情調查近四年，筆者一直教六年級數學。六年級分數應用題，錯誤年年有，且錯誤之處年年相似。筆者歸納了教學過程中出現的常見錯誤，梳理發現主要存在以下幾個方面的問題：1. 分數“量”與“率”的意義混淆【例1】 把38米長的一根小棒平均分成3段，每段占全長的（  ），每段長（  ）。錯誤：第一空的錯誤率為19%，第二空的錯誤率為24.8%。分析：本題考查學生對于分數量與率的理解。第一空表示1段長與5段長的關系，第二空表示每一段的實際長度。可以看出，還有部分孩子無法從意義上做出準確識別，說明孩子們對分數量與率相混淆的原因在于對兩者的意義認識不明。2. 分

3、數的“份數定義”根深蒂固【例2】 通過畫一畫與寫一寫的方式，至少用兩種方法表示出23的含義。錯誤：此題錯誤率為8.6%，大部分學生能用畫圖或文字表達23的意思。分析：雖然孩子們用不同的圖示表達了23的含義，但它們的本質是一樣的，都把整體平均分成三份，表示其中的兩份。說明學生對分數的份數定義已經根深蒂固，習慣把分數看成是幾份中的幾份，不習慣把分數看成是兩個數的商或兩個數的比。3. 分數解決問題中數量關系不明實踐中，筆者時常發現學生不能對情境中的分數做出合理解釋，導致無法理清數量關系而解題失敗，對他們而言，分數概念的抽象性，直接影響了他們對問題解決中數量關系的理解。【例3】 一件襯衣售價200元，

4、比進價低了15，這件衣服進價多少元？錯誤：做錯人數占比為32.8%。分析：解決此題的關鍵是理解“比進價低了15”這句話的含義。錯的學生大多列式為200×1-15。說明學生只是記住了問題的結構特征，套用了解題模式，卻沒有從分數的意義出發把握數量關系。（二）教材分析筆者發現，學生在分數的學習過程中，所產生的一系列問題，與我們教材中的內容編排有很大的關聯：1. 內容安排重“率”輕“量”分數“率”的意義可以理解為兩部分之間的關系，而“量”是把分數作為一個數來理解。然而，“率”的意義理解則是分數教學的重點，也是核心：第一階段分數的初步認識單元圍繞分數的份數定義進行編排，體會部分與整體的關系，是

5、一個“率”。第二階段使學生認識部分與部分的關系，分數還是一個“率”，第三階段，在百分數的認識比的認識內容中，分數仍然是一個“率”。教材的編排重“率”輕“量”。從數與量的角度來認識分數，更利于學生把分數與整數、小數一樣納入數的認識的知識結構體系。“量”與“率”構成了分數意義的豐富性認識，為了區分兩者的含義，我們需要在某些例題和習題中，適當穿插量的概念，做適當補充。2. 度量意義的價值體現不夠從量的角度去學習理解分數時，要注意它的度量意義的滲透。教材中主要安排了“分數單位”的認識，對于“分數單位”，教材主要在于辨別誰的分數單位是誰，有幾個這樣的分數單位上，沒有充分體現分數單位的價值。“假分數”內容

6、，教材沒有從分數單位累加的角度呈現形成過程，而是讓學生看分數涂色來發現分子分母的大小關系（如下圖），教學中，看分數畫圖與看圖寫分數對學生而言都是困難的，而利用分數單位的疊加，引導學生“數”分數單位的個數，能幫助學生有效建構起假分數的概念，并為學生理解“分數和整數一樣是一個數”奠定基礎。（三）教學審視同時，教師在教學過程中，也存在教材怎么編，我就怎么教的問題，學生已有哪些認知，教師也沒有做很好的學情分析：1. 缺乏對分數教學的整體把握大多數一線教師對分數知識的教材體系缺少系統研讀與梳理，沒有做到整體把握，使得教學內容孤立單一。如在分數的初步認識單元，教師只注重引導學生觀察平均分了幾份，涂了幾份，

7、再寫出幾分之幾，到五年級下冊分數意義單元，仍強調幾份中的幾份，忽略了分數可表示兩個量的關系，致使學生無法判斷分數問題中誰是標準量，誰是比較量，從而對題意理解不明無法解答。因此，只有教師正確把握分數概念的本質，有的放矢、適當拓展，才能幫助學生建構起分數概念。2. 知識抽象性與思維形象性沖突學生學習分數概念時，還習慣于具體的形象思維，抽象的概念使得學生在理解上容易出現斷層，因此需要有個循序漸進的過程。如，分數的計算與應用，其計算原理和數量關系非常抽象，即使用我們所謂的直觀圖示，很難講清道理。如分數除法中“一個數除以分數”的例題，教材借助線段圖來說明“2÷23”的計算算理（如下圖），課堂上

8、我們發現，全班沒有一個學生能畫出這樣的線段圖，教師直接出示這副線段圖進行講解，大多數孩子仍表示難以理解。二、 探尋解決策略前面分析了學生的學習困難，接下來要尋找解決問題的策略，我們認為可以從研讀教材開始，理清教材編排的“序”，然后確定教學的“策”，即打通分數教學的各個節點，整體認知分數。（一）研讀教材，理清編排的“序”對分數內容進行精細化地研究與整理，可以發現人教版教材教學線索是從率到量，是在學習分數“率”的意義基礎上，再逐漸滲透分數“量”的意義的過程。如果說“率”的教學是一條明線，“量”的教學就是一條暗線，兩條線相互交織。第一階段認識的分數均不帶單位，是“率”。分數“量”第一次出現在三年級上

9、冊分數單元最后。然后是在五年級下冊分數與除法一課，溝通分數與除法之間的聯系，從數學知識的內部發展闡述了分數產生的必要性，使學生明白分數也可像整數、小數一樣作為計算的結果。自此，在后續的內容中兩種含義均有出現。教師要抓住這兩條知識線，理清脈絡，雙管齊下，促進兩種意義為學生所理解。（二）深入思考，確定教學的“策”教學中如何突破，我們的思考如下：1. 弱化學材的“份數定義”學生在“平均分”的基礎上理解分數的“份數定義”并不難，根據直觀圖示，學生都能正確地填出幾分之幾，但如果僅僅如此，只會讓學生對分數的理解停留于淺層次，因而應向更為抽象的分數定義轉移。如果只是讓學生關注平均分的份數以及表示的份數，那么

10、就只是前一節課的延續，仍是基于分物活動基礎上的份數意義的理解。筆者認為，可以把份數定義稍加拓展，自然過渡到分數的度量意義。可引導學生進一步思考：1分米的110就是110分米，3個110分米就是310分米，7個110分米就是710分米，教師一邊引導，一邊動畫演示分數單位疊加過程，讓學生思考：繼續疊加，8個，9個，10個這樣的單位又是多少？如果是11個呢？（見下圖）這樣既讓學生體會到分數可看作分數單位累積的結果，也能避免份數定義中“分數小于1”的局限，為學習分數單位和假分數奠定基礎。2. 借助模型過渡到“商定義”在教學中我們時常發現，學生在計算整數除法遇到不能整除時，往往用小數來表示商，而不選擇分

11、數來表示計算結果。在計算35的比值時，也習慣用 0.6，而不寫成35。顯然，學生對于分數作為除法運算結果的認可需要一個較長的接受過程，這也從另一個側面表明，學生對于分數是一個數的認知不到位。因此，當學生對分數的份數定義有了一定的認識后，當除法得不到整數商時，需要適時過渡到“商定義”，使學生明白，除了小數，還可用分數來表示計算的結果。教師可先引導學生根據以下問題列出算式，并選用較為抽象的長方形圖來表示問題計算結果，接著引導學生在數軸上找到3、2、13、15、18的位置，使學生明白分數也可以像整數一樣，在數軸上找到相應的點，且這個點有位置又有順序。3. 深化概念溝通“比定義”筆者認為在教學“比的意

12、義”一課時，應該對分數的多種意義進行整合與溝通。教師可引導學生從三種角度來理解14，14可以表示4份中的1份;14可以表示平均分的結果;14可以表示1份與4份的比（如下圖）。通過對分數與除法、比概念的對比整合，進一步強化學生對分數的認知。三、 采擷實踐過程根據上述教材的“序”與教學的“策”，我們又確定了具體的教學對策，實踐過程如下：（一）對接對比促進分數量率雙生雙長學生雖然經歷了較長的學習過程，但對于分數“量”與“率”的定義仍沒有達到本質上的理解。教師在教學中可創設有效的情景或設計針對性習題，使兩種含義整體呈現，引導學生進行對比，發現它們的聯系與區別，使學生建立正確的量與率的概念。1. 提前滲

13、透，量與率巧妙對接教材中對分數“量”與“率”的編排不盡相同。我們的人教版、蘇教版、北師大版教材，都是從“率”引入，再從“率”到“量”。而臺版教材是從“量”的意義引入，后續的分數比大小，真分數與假分數、分數與除法的關系等知識的學習都是基于量的意義展開。大陸教材中分數教學都是先“率”后“量”，但臺版教材給了我們一個啟示：分數的學習也可是一個從“量”到“率”的過程。筆者認為在分數的初步認識中，就可以對分數量的意義做適當滲透，使量與率巧妙對接。于是，筆者進行了以下的教學實踐：首先，通過分月餅的過程初步認識一個月餅的12，知道一個月餅的12就是12個月餅。接著，整體出現4組材料，讓學生思考這四組材料有什

14、么共同地方？有什么不同的地方？讓學生感受分的東西都是它的12，但得到的12的量大小不同。通過以上材料的運用，由分數率自然地過渡到分數量，學生在對比中掌握了12的本質，同時感受當分的物體是1個單位的時候，分數量與率的數值相等，體現了分數率意義是單位“1”的重要性。2. 對比題組，感受量率的異同分數量與分數率的本質區別在于“量”表示一個固定的值，而“率”指的是份數比，它體現了分數的無量綱性。雖然分數“率”與“量”的意義不同，但在某些具體情境中存在著一定的聯系。如：2米的14是12米，10米的14是52米，但當這個整體正好是一個整數量時，分數量與率的數值又正好相等，如1米的14就是14米。分數“量”

15、與“率”的特別意義對學生來說較難理解。教師可設計對比題組，引導學生進行分析，感受異同，從而把握本質，做到較好區分。教師可經常設計如上述過程中類似的對比題組，借助圖示表征，引導學生發散思維，幫助學生辨析，使學生在辨析中感受異同，進而提升認識。（二）算用結合促進分數意義的深度理解分數的計算及解決問題是分數知識的綜合運用，學生需要充分思考數量關系，才能解決現實問題。但是，教師往往只在認識分數的起始課中注重對分數意義的教學，到了分數的綜合運用階段，往往忽略對意義的進一步討論與思考。所以，我們不僅要注重起始階段意義的教學，也要注重后續學習中分數的應用與拓展。1. 分數運算中深化分數意義的理解分數加減法是

16、計數單位的增減過程，對這一原理的理解能使學生進一步掌握分數單位的概念，彌補教材對分數單位度量意義不足的缺陷。同時，利用數形結合的方法（如下圖），注重與整數加減法和小數加減法的算理溝通，加深學生對分數的認識。分數乘除法學生在直觀進行分數乘除法操作時，理解單位“1”的轉換是理解算理的關鍵。如“分數乘分數”例3中，算理的理解是基于學生對分數意義的理解，同樣，教師借助圖形講清算理的過程，是學生對分數意義理解的又一次鞏固與深化，如上述過程，學生不僅認識到單位“1”的重要性，還能感受到量與率是可以互相轉化的，如12公頃可以看成1公頃的12，110公頃可以看成1公頃的110。2. 數量關系梳理促進分數意義的理解前面的例3，錯誤率達32.8%，其原因是學生不理解“比進價低15”的具體意義，也就無法做到破題。那該如何引導學生破題？筆者認為，可以關鍵句作為破題的突破口，對句中分數的意義做深入解讀，努力引導學生由一種表述轉換成多樣表述，在不斷的轉換中把握數量關系。【例1】 關鍵句：男生比女生少15圖示：關鍵句的轉換：少的15是