1、-WOR曲式一專業資料-可編輯-勾股定理全章知識點總結大全一.基礎知識點：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c 的平方。(即：a2+b2=c2)要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是 直角三角形的重要性質之一，其主要應用：(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊(在 ABC中，C 90 ,貝 | c Va2b2 , b 4ca2 , a 4cb2 )(2)已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求 直角三角形的另兩邊(3)利用勾股定理可以證明線段平方關系的問題2:勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c,則有關系a2+b2 = c2,那么這個三角形是直角三角形。要點

2、詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角 三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確 定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：(1)首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；(2)驗證c2與a2+b2是否具有相等關系，若c2 = a2+b2,則 AB0以/C為直角的直角三角形(若c2>a2+b2,則4 AB徨以/C為鈍角的鈍角 三角形；若c2<a，b2,則 ABC7銳角三角形)。(定理中a, b, c及a2 b2 c2只是一種表現形式，不可 認為是唯一的，如若三角形三邊長a, b, c滿足a2 c2 b2, 那么以a, b, c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為 斜邊

3、)3：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆 定理是判定定理；聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相 反，都與直角三角形有關。4：互逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的 結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把 其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。5:勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙, 面積不會改變根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等 式，推導出勾股定理常見方法如下：方法一：4sS正方形EFGHSE方形abcd,

4、 4 ab (b a)c2,化簡可證.四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正 方形的面積.四個直角三角形的面積與小正方形面積的禾口 S 41ab c2 2ab c2 2大正方形面積為S (a b)2 a2 2ab b2所以 a2 b2 c2方法三：S弟形2(a b) (a b),bCS弟形2Sade Sabe 2 2ab ；c2 ,化簡得證6:勾股數能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為 勾股數,即a2 b2 c2中,a, b, c為正整數時,稱a, b, c為一組勾股數記住常見的勾股數可以提高解題速度，如345；6,8,10；5,12,13；7,24,25 等用含字母的代數式表示

5、n組勾股數：n2 1,2n,n2 1（n 2, n為正整數）；2n 1,2n2 2n,2 n2 2n 1 （ nm2 n2,2mn,m2 n2 （ m n, m n正整數）二、規律方法指導1 .勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等 式的關系相互轉化證明的。2 .勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系, 可以用于解決求解直角三角形邊邊關系的題目。3 .勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角 邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。4 .勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a,b, c有下列關系：a2+b2 = c2, ?那么這個三角形是直角 三角形；該逆定理給出判定一個三

6、角形是否是直角三 角形的判定方法.5 .?應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直 角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深 對“數形結合”的理解.我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題 如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆 命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）勾股定理典型例題及專項訓練專題一：直接考查勾股定理及逆定理例 1 .在 ABC 中1 ,C 90 .已知AC 6, BC 8 .求AB的長 已知AB 17, AC 15, 求BC的長分析：在乙/皿'中. /C-9U 4C-2. 1 ctn. BC工總 miCE 一出幾BC ACi/八=詞求BC, .C

7、41)求少I丈的面積:(2)求斜山.1%求扃CD.練習：1、如圖所示，在四邊形ABCD中,BAD= 90 , 求CD 。DBC= 90 , AD=3 , AB=4 , BC=12 ,2.已知等腰三角形腰長是10,底邊長是16,求這個 等腰三角形的面積。3、已知：如圖，/ B=/D=90° , /A=60AB=4, CD=2 。求：四邊形 ABCD的面積例2:已知直角三角形的兩邊長分別為5和三邊。12,求第練習：在ABC中,AB=13 , AC=15 ,局 AD=12 ,則BC的長為多少?例3:(1).已知ABC 則ABC為的二邊 a、b、c滿足(a b)2 (b c)2 0,三角形(

8、2).在 ABC 中，若 a2= (b + c) (b-c),則 ABC三角形，且90練習：1、已知x 12x y 25 與z2 10z 25互為相反數,試判斷以X、y、z為三邊的三角形的形狀2 、.若ABC的三邊a、b、c滿足條件a2 b2 c2 338 10a 24b 26c ,試判斷 ABC 的形狀。3 .已知VT飛2b 8 (c 10)2 0,則以a、b、c為邊 的三角形是例4:已知如圖，在4ABC中，/C=60° , AB=4<3AC=4 , AD是BC邊上的高，求BC的長。如圖，在 RtAABC 中，/ACB=90 ° , CD LAB 于D,設 AB=c

9、 , AC=b ,BC=aCD=h o求證:(1)1112-2-2a2b2h2(2) a b ch(3)以a b, h, c h為三邊的三角形是直角三角形經典圖形突破:B練習 1.如圖， AB，AB=AC , / A=45o AC的垂直平分線分別交 AB、AC于D、E,若CD=1 ,則BD等于（A.虛B. TD.春一12 .已知一直角三角形的斜邊長是 2,周長是2+6，求 這個三角形的面積.3 .AABC 中，D 是 AB 的中點，若 AC=12 , BC=5 , CD=6 . 5. 求證：ZXABC是直角三角形.4 .如圖，在正方形ABCD中，F為DC的中點，E 為BC上一點，且EC=；BC

10、,猜想AF?與EF的位置關系，并說明理由.5 .如圖Rt ABC, C 90 AC 3,BC 4,分別以各邊為直徑作半 圓，求陰影部分面積6 .如圖 2-10, AABC 中，AB=AC=20 , BC=32 , D是BC上一點，且 AD XAC ,求BD的長.7 .如圖 2-9, AABC 中，/ ACB=90 ° , AC=BC , P 是AABC 內一點，滿足 PA=3, PB=1, ?PC=2,求/ BPC的度數.8 .已知 ABC 中，/ACB=90 ° , AC=3,BC=4, (1)AD平分/ BAC,交BC于D點。求CD長(2) BE平分/ABC,交AC于E

11、,求A E C/ B =9 .如圖，在四邊形ABCD中，/A = 600,D = 900, BC = 2, CD =3,求 AB 的長ABp10 .如圖，P為4ABC邊BC上一點，PC = 2PB,已 知/ABC=450, /APC=600,求/ ACB 的度數11、已知 ABC 中，/BAC=750, /C = 600, BC =3 6,求 AB、AC 的長。DC =12、如圖， ABC中，AD是高，CE是中線,BE, DG LCE 于 G。(1)求證：G是CE的中點; / B= 2/BCE。(3)若 AC=6,AB=8 ,求 DG 的長。AGDB專題二勾股定理的證明1、利用四個全等的直角三

12、角形可以拼成如圖所示的圖 形，這個圖形被稱為弦圖.從圖中可以看到：大正方 形面積=小正方形面積十四個直角三角形面積.因而c2=+.化簡后即為C2= .a2、如圖，是2002年8月北京第24屆國際數學家大 會會標，由4個全等的直角三角形拼合而成，若圖中 大小正方形的面積分別為52和4,則直角三角形的兩 條直角邊的長分別為.3、2002年8月2028日在北京召開了第24屆國際是4、如圖，直線l上有三個正方形a, b, c,若a, c的面積分別為5和11,則b的面積為（）(A) 4(D) 55(B) 6(C) 165、一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發現了勾股定理的一種新的證明方法.如圖，火柴

13、盒的一個側面ABCD倒下到ABCD的位置，連結CC ,設AB a,BC b,AC c,請利用四邊形BCC D的面積證明勾股 定理：a2 b2 c2.6、如圖是2002年8月在北京召開的第24屆國際數學家大會會標中的圖案，其中四邊形 ABCD和EF都是正方形.證：ZXABFWZXDAE7、（2010年遼寧省丹東市）圖是一個邊長為（m n） 的正方形，小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀,能驗證的式子是（）A . （m n）2 （m n）2 4mn第7題圖B. (m n)2 (m2 n2) 2mnC . (m n)2 3 2mn m2 n2D . (m n)(m n) m2 n2專題三網格中的勾股定理

14、1、如圖1,在單位正方形組成的網格圖中標有 AB、 CD、EF、GH四條線段，其中能構成一個直角三角形 三邊的線段是()(A) CD、EF、GH。AB、CD、GH(B) AB、EF、GH(D) AB、CD、EF2、A.B. 1D. 3的頂點，則/ ABC的度數為()A. 90B. 60°C. 45D. 304、如圖，小正方形邊長為1,連接小正方形的三個得 到，可得 ABC ,則邊AC上的高為（）B. IO 5A. 3 22D. 4 555、如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是 1每個小格的頂點稱為格點，請以圖中的格點為頂點畫一個邊長為3、2內、后的三角形.所畫的三角形是直角三角

15、形嗎？說明理由.6、如圖，每個小正方形的邊長是1,在圖中畫出面積為2的三個形狀不同的三角形（要求頂點在交點處，其中至少有一個鈍角三角形）專題四實際應用建模測長1、如圖（8）,水池中離岸邊D點1.5米B1.SD的C處，直_J5立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端 B恰好落到 D點，并求水池的深度AC.2、有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內，燈就自動 打開，一個身高1.5米的學生，要走到離門多遠的地 方燈剛好打開？3、臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍 數十千米范圍內形成氣旋風暴，有極強的破壞力，如 圖，據氣

16、象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千 米B處有一臺風中心，其中心最大風力為 12級,每 遠離臺風中心20千米，風力就會減弱一級，該臺風 中心現正以15千米/時的速度沿北偏東30o方向往C 移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或 走過四級，則稱為受臺風影響.(1)該城市是否會受到這交臺風的影響？請說明理由.(2)若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市持續時間有多少？(3)該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？專題五梯子問題1、如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯 子可以到達建筑物的高度是多少米？B第20題圖2、一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子A底端離墻7米，(1)這個

17、梯子的頂端距地面有多高？7A,(2)如果梯子的頂端下滑了 4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？-3、如圖，梯子AB斜靠在墻面上，AC ±BC? AC=BC , 八 當梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時，梯足B沿CB方向滑動y米，則x與y的大小關系是bT ,CA. x yD.不能確定B. x yC. x y專題六最短路線1、如圖，學校教學樓旁有一塊矩形花鋪，有極少數同 學為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內走出了一條“路”.他們僅僅少走了（）步路（假設2步為1米），卻踩傷了花草.A、6B、5C、 4 D、 32、如圖，一圓柱體的底面周長為 20 cm,高AB為10 cm,一 . 、_.

18、一、， B 尸 cBC是上底面的直徑。一螞蟻從點 A出發，沿著""C圓柱的側面爬行到點C ,試求出爬行的最短路程。A D3、如圖，有一個圓柱體，底面周長為 20 cm,高AB為10 cm,在圓柱的下底面A點處有一只螞蟻，它想繞圓柱體側 面一周爬行到它的頂端C點處，那么它所行走的路程是多 少？C4、如圖，假如這是一個圓柱體的玻璃杯，AD是杯底直徑,C是杯口一點，其他已知條件不變,螞蟻從外部點A處爬到杯子的內壁到達高 呢？（杯子的厚度不計）CD的中點E處，最短該走多近 E5、為籌備迎新生晚會，同學們設計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖，已知 產，圓筒高10

19、8cm ,其圓筒底面周長為36cm ,如果 耍在表面纏繞油紙4圈，應裁剪多長油紙？J1米，且封閉的正方體盒問這只螞蟻爬行的6、如圖，一只螞蟻從一個棱長為 子外部的頂點A向頂點B爬行, 程為多少米？7、（ 2004?淄博）如圖是一塊長，寬，高分別是6cm , 4cm和3cm的長方體木塊一只螞蟻要從長方體木塊 的一個頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和 A 相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑 的長是（）A、（3+2 依）cmB、回cmC、展cmD、師cm8、如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm ,高 為20cm , 點B到點C的距離為5cm , 一只螞蟻如果要沿著長方體的 表面從

20、A點爬到B點，需要爬行的最短距離是多少？159、如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為9個 小正方形，其邊長都是1cm，假設一只螞蟻每秒爬行2cm , 則它從下地面A點沿表面爬行至右側面的B點，最少要花 幾秒鐘？10、如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為2m、0.3m、0.2m , A和B是臺階上兩個相 對的頂點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食 物，問螞蟻沿著臺階爬行到 B點的最短路程是多少？11、（2010福建泉州市惠安縣）如圖，長方體的底面 邊長分別為1cm和3cm ,高為6cm .如果用一根細線從點A開始經過 圈到達點B,如果從點A開始經過4個側面纏繞3府崗Cm

21、 B, 3cm那么所用細線最短需要 cm第17題圖專題七折疊三角形1、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊 AC=6 cm, BC=8 cm。現將直角邊AC沿直線AD折疊，使 它落在斜邊 AB上，且與AE重合，求CD的長.CB2、如圖，小潁同學折疊一個直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE,若已知AC=10cm , BC=6cm,你能求出CE的長嗎?3、三角形ABC是等腰三角形 AB=AC=13 , BC=10 , 將AB向AC方向對折，再將CD折疊到CA邊上， 折痕CE,求三角形ACE的面積C'4、如圖, AQ邊 BC=3, AC=4、AB=5,把 ABC沿最長邊AB翻折后得到

22、ABC',則CC 的長等于（A. 5BlC.15d.2410.如圖,在三角形紙片ABC中"ACB=901BC=3.AB=正在AC 上取一點£,以BE為折痕,使AB的一部分與BC重合，點A與 8C延長線上的點D重3則CE的長度為（）. 13asC73D 次專題八折疊四邊形求（1） C1、折疊矩形ABCD的一邊AD,點D落在BC邊上的點 F處，已知 AB=8CM,BC=10CM,F的長 （2） EC的長.2、在矩形紙片 ABCD 中，AD=4cm , AB=10cm , AE按圖所示方式折疊，使點B與點D重合，折 /痕為DC'EF,求（1） DE的長；（2） E

23、F的長3.（2010福建泉州市惠安縣）矩形紙片ABCD的邊長 AB=4, AD=2 .將矩形紙片沿EF折疊，使點A 與點C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則 著色部分的面積為.4、如圖2-3,把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點C落在C'的位置上，已知AB=?3,BC=7 ,重合部分 EBD的面積為.5、如圖5,將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E,交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點Go如果M為CD邊的中點，且DE=6,求正方形ABCD的面積6、矩形ABCD中，AB=6, BC=8 ,先把它對折，折痕為EF,展開后再沿BG折疊，使A 落在EF上的A

24、1 ,求第二次折痕BG 的長。7、如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊心 上的點卻處，點乂落在點燈處。(1 )求證：B'E = BF ；C'(2)設壁二冬3二8 BF二二)試猜想口，瓦c之間的一種關 系，并給予證明.8、如圖，/ B=90° , AB=BC=4 , AD=2 , dCD=6(1) AACD是什么三角形？為什么？(2) ACD沿直線AC向下翻折，CD交AB于點E,若重疊部分面積為4,求D'E的長。9、邊長為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐 標系的x軸和y軸上，若沿對角線AC折疊后，點B 落在第四象限B1處，設B1C交x軸于點D

25、,求（1） 三角形ADC的面積，（2）點B1的坐標，（3） AB 1所在的直線解析式.10、(2010年廣東省廣州市)如圖所示，四邊形OABC 是矩形，點A、C的坐標分別為(3, 0) , (0, 1),點D是線段BC上的動點(與端點B、C不 重合)，過點D作直線y = gx + b交折線OAB 于點E.(1)記4 ODE的面積為S,求S與b的函數關系式；(2)當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于 直線DE的對稱圖形為四邊形 OAiBiCi,試探究 OAiBiCi與矩形OABC的重疊部分的面積是否 發生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若 改變，請說明理由.專題九旋轉問題：1、如圖， ABC是直角三角形，BC是斜邊，將 ABP繞 點A逆時針旋轉后，能與 ACP '重合，若AP=3，求PP' 的長。2、如圖，P是等邊三角形ABC內一點，PA=2,PB=2；3,PC 求ABC的邊長.3、如圖， ABC為等腰直角三角形，/ BAC=90E、F是BC上的點，且/ EAF=45° ,B E試探究be2、c